Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán về phép đồng dạng I Lý thuyết ngắn gọn 1 Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’; N’ của chúng ta có M''''N'''' kMN F(M) M'''' M''''N'''' kMN(k 0) F[.]
Các toán phép đồng dạng I Lý thuyết ngắn gọn Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M, N ảnh M’; N’ có: M ' N ' kMN F(M) M ' M ' N ' kMN(k 0) F(N) N ' Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k = - Phép vị tự V(I;k) phép đồng dạng tỉ số k - Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số p ta phép đồng dạng tỉ số pk - Phép đồng dạng tỉ số k hợp thành phép dời hình phép vị tự tỉ số k - k Nó hợp thành phép vị tự tỉ số k - k phép dời hình Phép đồng dạng tỉ số k có tính chất sau: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự giữ điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài ka - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k, biến góc thành góc - Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR Hai hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình II Các dạng phép đồng dạng Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép đồng dạng Phương pháp giải: Dùng định nghĩa tính chất phép đồng dạng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số k phép quay tâm O góc -45 độ Lời giải Vì d1 song song trùng với d nên phương trình có dạng x + y + c = Gọi d1 ảnh d qua phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số k Lấy M(1;1) d x ' (1 1) M '(x '; y') V (M) IM ' IM M '(0;0) d1 (I; ) 2 y' (1 1) Vậy phương trình d1 : x y Ảnh d1 qua phép quay tâm O góc -45 độ đường thẳng Oy Vậy phương trình d': x Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x – y + = Viết phương trình d’ ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng cách thực qua phép vị tự tâm I (1; 1), tỉ số k = phép tịnh tiến theo vectơ v (2; 1) Giải Ta có M(0;1) d Qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = ta có: V(I;2) (d) d1 Suy phương trình d1 có dạng x – y + c = Mặt khác: V(I;2) (M) M1 (x1;y1 ) d1 IM1 2IM M1 (1;1) Vậy d1 : x y Qua phép tịnh tiến theo vectơ v ta có: Tv (d1 ) d Suy phương trình d có dạng: x – y + d = M1 d1 Tv (M1 ) M2 (x ;y2 ) d M1M2 v M2 (2;1) Vậy d có phương trình x – y + = Qua phép đồng dạng đường thẳng d: x – y + = trở thành đường thẳng d2 : x y Dạng 2: Tìm phép dạng biến hình H thành hình H’ Phương pháp giải: Tìm cách biểu thị phép đồng dạng kết việc thực liên tiếp phép biến hình quen biết Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng Gọi I, F, J, E trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh tam giác AEO qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ phép vị tự tâm B, tỉ số Giải - Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ IJ đường trung trực AB EF Suy ra: DIJ (A) B;DIJ (E) F O IJ DIJ (O) O DIJ ( AEO) BFO BFO qua phép vị tự tâm B tỉ số Ta có: BC 2BF;BD 2BO Suy ra: C V(B;2) ;d V(B;2) (O) BCD V(B;2) ( BFO) Vậy ảnh tam giác AEO qua phép đồng dạng theo đề tam giác BCD Chứng minh ln có phép đồng dạng biến hình thành hình Ví dụ 4: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số chiều rộng chiều dài Giải Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ BC B'C' AB A'B' Phép tịnh tiến TAA ' biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B1C1D1 Phép quay Q(A '; ) với (A'B1;A'B') biến hình chữ nhật A'B1C1D1 thành hình chữ nhật A'B2C2 D2 Vì A'D2 A'D' A'D2 A'B2 A'C2 nên Từ suy phép vị tự A'B2 A'B' A'D' A'B' A'C' V(A ';k) với k A'D' A'D' biến hình chữ nhật thành A'B2C2D2 thành hình A'D2 AD chữ nhật A’B’C’D’ Vậy phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép biến hình TAA ,V(A ';k) biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A’B’C’D’ Dạng 3: Dùng phép đồng dạng để giải tốn Phương pháp giải: Dùng tính chất phép đồng dạng Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng a b cắt điểm C Tìm a b điểm A B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải: Ta thấy góc lượng giác (CA;CB) 45 CB CA Do xem B ảnh A qua phép đồng dạng F có cách thực liên tiếp phép quay tâm C, góc 45 phép vị tự tâm C, tỉ số Vì A a nên B aa" F(a) , B lại thuộc a Do B giao a” với b Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác BCA’, CAB’, ABC’ Gọi O1 ,O2 ,O3 tâm ba tam giác BCA’, CAB’, ABC’ Chứng minh tam giác O1O2O3 tam giác Lời giải: Để chứng minh tam giác O1O2O3 tam giác ta xét phép đồng dạng sau: Kí hiệu F(I, ,k) V(I,k) Q(I; ) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay Q(I;) phép vị tự V(I;k) Ta xét phép đồng dạng: F1 F C;30; F2 B;30; 3 Gọi I, J, K, H điểm CA',CA,BA',BO3 ,BO1 cho CI CO1,CJ CO2 ,BK BO1,BH AB,BE BA' F1 (O1 ) V(C; 3) Q(C;30) (O1 ) V(C; 3) (I) A' Tương tự: F1 (O2 ) V(C; F2 (A') V (B; F2 (A) V (B; 3) ) ) Q(C;30) (O2 ) V(C; Q(B;30) (A') V (B; Q(B;30) (A) V (B; 3) ) ) (J) A (E) O1 (H) O3 Vậy F2F1 (O2 ) F2 (A) O3 F2F1 (O1 ) F2 (A') O1 Mặt khác F F2F1 phép đồng dạng có tỉ số k k1k 1 2 60 nên F phép quay tâm O1 góc quay 60 Do đó: Q(O1 ;60) (O2 ) O3 nên tam giác O1O2O3 tam giác III Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh hai đa giác có số cạnh đồng dạng với Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b hai đỉnh A, B cố định Gọi I giao điểm hai đường chéo a Tìm tập hợp điểm c D thay đổi b Tìm tập hợp điểm I c D thay đổi câu a Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I Gọi E, F, G, H trung điểm AB, CD, CI, FC Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự tâm C tỉ số k = phép đối xứng tâm I biến tứ giác IGHF thành: A AIFD B BCFI C CIEB D DIEA Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đồng dạng F hợp thành phép vị tự tâm O (0; 0) tỉ số k = phép đối xứng trục Ox, biến đường thẳng d: x – y – = thành đường thẳng d’ có phương trình: A x - y + = B x + y - = C x + y + = D x - y + = Bài 5: Cho điểm I (2; 1) điểm M (-1; 0) phép đồng dạng hợp thành phép vị tự tâm I tỉ số k = -2 phép đối xứng trục Ox biến M thành M’’ có tọa độ ? Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (-2; -3) B (4; 1) Phép đồng dạng tỉ số k biến điểm A thành A , biến điểm B thành B Tính độ dài A'B' Bài 7: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Thực liên tiếp hai phép đồng dạng phép đồng dạng B Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k = C Phép vị tự có tính chất bảo tồn khoảng cách D Phép vị tự khơng phép dời hình Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Phép dời hình sau biến tam giác AMO thành tam giác CPO? A Phép tịnh tiến vectơ AM B Phép đối xứng trục MP C Phép quay tâm A góc quay 180 độ D Phép quay tâm O góc quay -180 độ Bài 9: Phép biến hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình sau phép đồng dạng tỉ số k = A Phép tịnh tiến phép đồng B Phép tịnh tiến phép quay C Phép dời hình phép vị tự tỉ số k D Phép tịnh tiến phép vị tự tỉ số k = -3 Bài 10: Phép đồng dạng F biến điểm M (x; y) thành M’ (x’; y’) thỏa mãn: x ' 2x 3y y' 3x y Ảnh điểm A (-2; 1) qua phép đồng dạng F là: A (6; 10) B (10; 6) C (6; -10) D (-6; 10) ... sau phép đồng dạng tỉ số k = A Phép tịnh tiến phép đồng B Phép tịnh tiến phép quay C Phép dời hình phép vị tự tỉ số k D Phép tịnh tiến phép vị tự tỉ số k = -3 Bài 10: Phép đồng dạng F biến điểm... (4; 1) Phép đồng dạng tỉ số k biến điểm A thành A , biến điểm B thành B Tính độ dài A''B'' Bài 7: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Thực liên tiếp hai phép đồng dạng phép đồng dạng B Phép. .. O1O2O3 tam giác ta xét phép đồng dạng sau: Kí hiệu F(I, ,k) V(I,k) Q(I; ) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay Q(I;) phép vị tự V(I;k) Ta xét phép đồng dạng: F1 F C;30;