Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán về phép đối xứng trục I Lý thuyết ngắn gọn 1 Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M′ sao cho d là đường trung[.]
Các toán phép đối xứng trục I Lý thuyết ngắn gọn Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M′ cho d đường trung trực đoạn thẳng MM′ gọi phép đối xứng qua đường thẳng d, hay gọi phép đối xứng trục d Ký hiệu: Dd Dd (M) M' IM IM' (Với I gối đẻm d với MM’) Dd H H d gọi trục đối xứng hình (H) 3.Trong mặt phẳng Oxy với điểm M (x; y), gọi M'(x';y') Dd (M) x ' x Nếu d trục Ox y' y x ' x Nếu d trục Oy y' y 4.Tính chất - Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm - Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính II Các dạng toán phép đối xứng trục Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép đối xứng trục Phương pháp giải: Để xác định ảnh (H′) hình (H) qua phép đối xứng trục ta dùng cách sau: - Dùng định nghĩa phép đối xứng trục - Dùng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục mà trục đối xứng trục tọa độ Ox, Oy - Dùng biểu thức vectơ phép đối xứng trục Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho A (1; -2) B (3; 1) Tìm ảnh A, B đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox Lời giải A’ ảnh A qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ A’ (1; 2) B’ ảnh B qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ B’ (3; -1) Ảnh đường thẳng AB qua phép đối xứng qua trục Ox đường thẳng A’B’ nên đường thẳng A’B’ có phương trình: x 1 y 1 3x 2y Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy có đường thẳng d có phương trình: 3x – y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy Lời giải Gọi M (x; y) tùy ý thuộc d Suy ra: 3x – y + = (1) x ' x x x ' M'(x '; y') DOy (M) y' y y y' Thay vào (1) được: 3(x') y' 3x' y' Vậy tọa độ M’ thỏa mãn phương trình d’: 3x + y – = Dạng 2: Dùng phép đối xứng trục để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: - Dựng điểm M: Tìm hình (H) cố định đường thẳng d cố định cho trước cho thực phép đối xứng trục d ta có ảnh hình (H’) giao với (C) cố định điểm M cần dựng - Thực phép đối xứng trục d để tìm điểm cịn lại từ ta có hình cần dựng Ví dụ 3: Dựng hình vng ABCD biết hai đỉnh A C nằm đường thẳng d1 hai đỉnh B, D thuộc hai đường thẳng d ,d3 Lời giải - Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa điều kiện toán Do A,C d1 AC trục đối xứng hình vng ABCD Mặt khác B d nên D d'2 d '2 đường thẳng đối xứng với d qua d1 Suy ra: D d'2 d3 - Cách dựng: Dựng d '2 Dd1 (d ) , gọi D d3 d'2 Dựng đường thẳng qua D vng góc với d1 O cắt d B Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d1 A, C (A, C theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD) - Nhận xét: TH1: d cắt d đó: Nếu d'2 d3 tốn có nghiệm hình Nếu d'2 / /d3 tốn có vơ nghiệm hình TH2: d / /d3 Khi Nếu d1 song song cách d d tốn có vơ số nghiệm hình Nếu d1 hợp với d d góc 45 tốn có nghiệm hình Nếu d1 song song khơng cách d ,d3 d1 không hợp với d ,d3 góc 45 tốn vơ nghiệm hình Ví dụ 4: Cho hai đường trịn (C), (C′) có bán kính khác đường thẳng d Hãy dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A, C nằm (C), (C′) hai đỉnh lại nằm d Lời giải - Dựng đường tròn (C1 ) ảnh (C) qua Dd - Gọi C giao điểm (C1 ) (C’) - Dựng điểm A đối xứng với C qua d - Gọi I AC d Lấy d hai điểm B, D cho: IB = ID = IA Khi ABCD hình vng cần dựng - Số nghiệm hình số giao điểm (C1 ) (C’) Dạng 3: Dùng phép đối xứng trục để giải tập hợp điểm Phương pháp giải: - Tìm quỹ tích điểm M: Từ giả thiết chọn điểm E di động cho EM nhận đường thẳng d cố định làm trục đối xứng - Xác định hình (H) quỹ tích E - Khi tập hợp điểm M (H’) - ảnh (H) qua phép đối xứng trục d Ví dụ 5: Cho A, B, C thuộc đường thẳng xx’ (B nằm A C) Một đường thẳng yy' xx' C Qua điểm A dựng đường thẳng di động cắt yy’ M Qua B dựng đường vng góc với cắt yy’ N Chứng minh quay quanh A đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN qua điểm cố định thứ hai Lời giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN: BN AM AC MN Nên suy B trực tâm tam giác AMN Gọi B’ giao điểm xx’ đường tròn (C) Dễ chứng minh yy’ trục đối xứng BB’ Do B thuộc đường tròn (C') D yy ' C Vậy B' C D yy ' C' Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động đường thẳng cố định Biết trực tâm H tam giác cố định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm cố định P khác H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm O Lời giải Gọi H' D (H) Suy H’ cố định thuộc đường trịn (O) Do O cách hai điểm cố định P H’ Suy O thuộc đường trung trực PH’ III Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (P)y2 x Hỏi parabol sau ảnh (P) qua phép đối xứng trục Oy A y x B y2 x C x y D x y Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép đối xứng trục Oy Điểm A (3; 5) biến thành điểm điểm sau: A (3; 5) B (-3; 5) C (3; -5) D (-3; -5) Bài 3: Cho ba đường trịn có bán kính đơi tiếp xúc ngồi với tạo thành hình (H) Hỏi (H) có trục đối xứng? A B C D Bài 4: Hình gồm hai đường thẳng d d’ vng góc với có trục đối xứng? A B C D Vô số Bài 5: Cho đường tròn (C) : x y2 6x 2y Tìm phương trình đường trịn đối xứng với (C) qua đường thẳng d : x y Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d: x - 5y + = d’: 5x – y – 13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d’ Bài 7: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Về phía ngồi tam giác dựng hai hình vng ABDE ACFG Chứng minh AH, CD, BF đồng quy Bài 8: Cho hình vng ABCD AB’C’D’ có cạnh a cạnh A chung Chứng minh thực phép đối xứng trục biến hình vng ABCD thành AB’C’D’ Bài 9: Cho tam giác ABC đường thẳng d khơng qua A khơng qua B, C Tìm ảnh tam giác ABC qua phép đối xứng Dd Bài 10: Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp I, P điểm nằm tam giác Gọi A′, B′, C′ điểm đối xứng với P đối xứng qua IA, IB, IC Chứng minh đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng quy ...Lời giải A’ ảnh A qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ A’ (1; 2) B’ ảnh B qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ B’ (3; -1) Ảnh đường thẳng AB qua phép đối xứng qua trục Ox đường thẳng A’B’... Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (P)y2 x Hỏi parabol sau ảnh (P) qua phép đối xứng trục Oy A y x B y2 x C x y D x y Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép đối xứng trục. .. trình d’: 3x + y – = Dạng 2: Dùng phép đối xứng trục để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: - Dựng điểm M: Tìm hình (H) cố định đường thẳng d cố định cho trước cho thực phép đối xứng trục d ta có