Các bài toán về phép đối xứng tâm I Lý thuyết ngắn gọn 1 Cho điểm I phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M′ sao cho I là trung điểm của MM′ được gọi là phép đ[.]
Các toán phép đối xứng tâm I Lý thuyết ngắn gọn Cho điểm I phép biến hình biến điểm I thành biến điểm M khác I thành điểm M′ cho I trung điểm MM′ gọi phép đối xứng tâm I, kí hiệu D I DI (M) M' IM IM' Nếu DI ((H)) (H) I gọi tâm đối xứng hình H Trong mặt phẳng Oxy cho I (a; b), M(x; y) Gọi M’ (x’; y’) ảnh M qua x ' 2a x phép đối xứng tâm I y ' 2b y Tính chất - Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách hai điểm - Phép đối xứng tâm biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không thay đổi thứ tự chúng - Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó; biến đa giác thành đa giác đa giác cho; biến đường trịn thành đường trịn có bán kính bán kính đường trịn cho II Các dạng toán phép đối xứng tâm Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép đối xứng tâm Phương pháp giải: Sử dụng biểu thức tọa độ tính chất phép đối xứng tâm Ví dụ 1: Cho điểm I(2; 2) đường thẳng d: x + 5y + = Tìm ảnh d qua phép đối xứng tâm I Lời giải Lấy điểm M x;y d x 5y (1) x ' x x x ' Gọi M' x '; y' DI M y' y y y' Thay vào (1) (4 x ') 5(4 y') x ' 5y' 25 Vậy ảnh d đường thẳng d’: x + 5y – 25 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (-1; 3) đường thẳng d có phương trình: x - 2y + = Tìm ảnh A d qua phép đối xứng tâm O ( với O gốc tọa độ) Lời giải Gọi A’ (x’; y’) ảnh A qua phép đối xứng tâm O (0; 0) Theo công thức tọa độ phép đối xứng ta có x ' x x x ' x ' A '(1; 3) y' y y y' y' Gọi M (x; y) điểm thuộc d M’ (x’; y’) điểm thuộc d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm O Theo công thức tọa độ phép đối xứng ta có: x ' x x x ' (x ') 2(y') x ' 2y' y' y y y' Do d’ có phương trình x - 2y – = Dạng 2: Xác định tâm đối xứng biết ảnh tạo ảnh Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + = d’: x - 2y = Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ biến trục Ox thành Lời giải Gọi M (x; y) thuộc d; M’ (x’; y’) thuộc d’, M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm I Giả sử tâm đối xứng I (a; b), theo cơng thức có: x ' 2a x (2a x) 2(2b y) x 2y 4b 2a y' 2b y Để trục Ox thành tâm đối xứng phải có dạng: I (a; 0) tức b=0 4b 2a a Suy ra: I(3;0) b b Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x - 2y + = d': x - 2y – = Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d' biến trục Oy thành Lời giải Giao hai đường thẳng d : x - 2y + = d ': x - 2y - = với trục Oy A (0; 1), A' (0; - 4) Theo giả thiết biến d thành d' biến trục Oy thành A biến thành A' 3 nên tâm đối xứng I trung điểm AA' I 0; Dạng 3: Tìm tâm đối xứng hình Phương pháp giải: Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi ta nói H hình có tâm đối xứng Ví dụ 5: Tìm tâm đối xứng biến điểm A (4; 3) thành điểm A' (6; 1) Lời giải 46 a I (a; b) trung điểm AA' b Vậy tâm đối xứng cần tìm I (5; 2) Ví dụ 6: Tìm tâm đối xứng đường cong (C) có phương trình: y x 3x Lời giải Lấy điểm M(x; y) (C) y x 3x (1) Gọi I (a; b) tâm đối xứng (C) M’ (x’; y’) ảnh M qua phép đối xứng tâm I x ' 2a x x 2a x ' Ta có: y' 2b y y 2b y' Thay vào (1) được: 2b y' (2a x ')3 3(2a x ') y' x '3 3x '2 (6 6a)x '2 (12a 12a)x ' 8a 12a 2b (2) Mặt khác M' C nên y' x '3 3x '2 Do (2) (6 6a)x '2 (12a 12a)x ' 8a 12a 2b 6 6a a 12a 12a b 8a 12a 2b Vậy I (1; 1) tâm đối xứng (C) Dạng 4: Sử dụng phép đối xứng tâm để giải tốn dựng hình Phương pháp giải: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay D I Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d, d’ điểm I Tìm điểm A d điểm B d’ cho I trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải -Dựng đường thẳng d1 ảnh d qua phép đối xứng tâm I -Dựng giao điểm B d’ d1 -Dựng A giao điểm đường thẳng BI đường thẳng d Số nghiệm hình số giao điểm đường thẳng d1 d’ - Nếu d’ d1 song song tốn vơ nghiệm -Nếu d’ d1 cắt tốn có nghiệm -Nếu d’ d1 trùng tốn có vơ số nghiệm Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng d1, d2 hai điểm A, G khơng thuộc d1, d2 Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G hai đỉnh B, C thuộc d1 d2 Lời giải Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán Gọi I trung điểm BC DI (C) B C d2 nên B d'2 với d’2 ảnh d2 qua phép đối xứng tâm I Ta lại có B d1 B d1 d'2 Cách dựng: -Dựng điểm I cho AI AG -Dựng đường thẳng d’2 ảnh d2 qua D I -Gọi B d1 d'2 -Dựng điểm C DI (B) Tam giác ABC tam giác phải dựng Dạng 5: Sử dụng phép đối xứng tâm để giải toán tập hợp điểm Phương pháp giải: Để tìm quỹ tích (tập hợp điểm), có phép đối xứng tâm O biến điểm M thành M' (C) tập hợp điểm M ảnh (C’) qua tâm đối xứng tâm O tập hợp M' Ví dụ 9: Cho đường tròn (O) hai điểm cố định B, C điểm A thay đổi Gọi H trực tâm tam giác ABC H’ điểm cho tứ giác BHCH’ hình bình hành Chứng minh A thay đổi H’ ln nằm đường trịn (O) Tìm tập hợp H Lời giải Gọi A’ điểm xuyên tâm đối A (O) Ta có: A’B AB ( ABA’ tam giác có cạnh huyền đường kính) CH AB (do CH đường cao) Nên AB // CH (1) Tương tự ta chứng minh A’C // BH (2) (1) (2) BHCA’ hình bình hành Lấy H’ trung với A’ Vậy BHCH’ hình bình hành H’ ln nằm đường trịn Trong hình bình hành BHCH’, có HH’ BC hai đường chéo nnen HH’ nhận trung điểm I BC cố định làm trung điểm Do H điểm đối xứng với H’ qua I Mà H’ (O) nên H đường tròn đối xứng với (O) qua I Ví dụ 10: Một hình bình hành ABCD có hai đỉnh A, C cố định, đỉnh B thay đổi đường thẳng d Tìm quỹ tích đỉnh D Lời giải Vì ABCD hình bình hành có hai đỉnh A, C cố định nên tâm O trung điểm đường chéo AC Suy ra: O cố định Mà tâm O trung điểm đường chéo BD Do phép đối xứng tâm O biến B thành D Mà B chạy đường thẳng d nên điểm D chạy đường thẳng d' ảnh d qua phép đối xứng tâm O Ngược lại với điểm D thuộc đường thẳng d' ta ln tìm điểm B thuộc d cho O trung điểm BD Vậy quỹ tích điểm D đường thẳng d' ảnh d qua phép đối xứng tâm O III Bài tập áp dụng Bài 1: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M’ ảnh điểm M (2; 1) qua phép đối xứng tâm I (3; -2) Bài 2: Một hình bình hành ABCD có hai đỉnh A, C cố định, cịn đỉnh B thay đổi đường trịn (O; R) Tìm quỹ tích đỉnh D Bài 3: Tìm tâm đối xứng hình sau đây: tam giác đều, hình bình hành, lục giác đều, đường trịn, hình gồm hai đường tròn Bài 4: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định, M điểm di động (O), M không trùng với A, B Hai đường tròn (O1), (O2) qua M tiếp xúc với AB A B Gọi N giao điểm thứ hai (O1) (O2) Tìm tập hợp điểm N M di động Bài 5: Tìm tâm đối xứng biến điểm A (5; 0) thành điểm A' (8; 8) Bài 6: Cho hình bình hành MNPQ nội tiếp hình bình hành ABCD (4 đỉnh nằm bốn cạnh) Chứng minh hai hình bình hành có tâm đối xứng Bài 7: Xác định ảnh qua phép đối xứng tâm I (4; -7) của: a Điểm A (3; -2) đường thẳng d: 3x - 6y + = b Đường tròn x y2 4x 2y Bài 8: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm I (-3; 5) của: a Điểm A (3; -4) b Đường thẳng d: 2x – y +1 = Bài 9: Cho phép đối xứng tâm I (p; 3) Tìm ảnh đồ thị hàm số (C): y = 2sin2x - Bài 10: Giả sử phép đối xứng tâm Do biến đường thẳng d thành đường thẳng d' Chứng minh d khơng qua tâm đối xứng O d' song song với d, O cách d d' ... dụng phép đối xứng tâm để giải toán tập hợp điểm Phương pháp giải: Để tìm quỹ tích (tập hợp điểm), có phép đối xứng tâm O biến điểm M thành M'' (C) tập hợp điểm M ảnh (C’) qua tâm đối xứng tâm O tập. .. nên tâm đối xứng I trung điểm AA'' I 0; Dạng 3: Tìm tâm đối xứng hình Phương pháp giải: Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi ta nói H hình có tâm đối xứng. .. – y +1 = Bài 9: Cho phép đối xứng tâm I (p; 3) Tìm ảnh đồ thị hàm số (C): y = 2sin2x - Bài 10: Giả sử phép đối xứng tâm Do biến đường thẳng d thành đường thẳng d'' Chứng minh d khơng qua tâm đối