Các bài toán về giới hạn dãy số 1 Lý thuyết a) Dãy số có giới hạn 0 Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy s[.]
Các toán giới hạn dãy số Lý thuyết a) Dãy số có giới hạn Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vô cực, với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số kể từ số hạng trở đi, |un| nhỏ số dương Kí hiệu: lim u n hay lim un = hay u n n n b) Dãy số có giới hạn hữu hạn Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L lim (un – L) = Kí hiệu: limu n L hay lim un = L hay u n L n n c) Dãy số có giới hạn vơ cực y số un) có giới hạn n , un ớn ể từ ột số hạng trở ột số dương ý hiệu limu n ho c u n n y số un) có giới hạn n , lim u n ý hiệu limu n ho c u n n d) Một vài giới hạn đặc biệt limu n lim u n lim 0; n lim 0 limq n 0, k 0,k nk * ; limn k , k 0,k q q e) Định lý giới hạn hữu hạn * Nếu lim un = a lim = b c số hi ta có : lim(un + vn) = a + b lim(un - vn) = a - b lim(un vn) = a.b lim un a , b 0 b * t lim(cun ) = c.a lim|un | = |a| lim u n a Nếu u n với n a lim u n a * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) (wn): * v n u n w n , n N Nếu lim un = a lim v lim w a n n Hệ quả: Cho hai dãy số (un) (vn): u n v n , n N* Nếu lim un = lim v n f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực * Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn) Nếu limu n L 0, limvn (hay ) hi đó: lim (unvn) lim un = L lim lim (unvn) + + - - * Quy tắc tìm giới hạn thương lim un lim un lim un = L lim D u L Tùy ý 0 + - L>0 + - L 0), hi i un+1 = a a 1 (Loai) a Suy a a a a a a V y lim un = Dạng 8: Giới hạn tổng vơ hạn tích vô hạn Phương pháp giải: * Rút gọn (un) (sử dụng tổng c p số cộng, c p số nhân ho c phương pháp trội) * Rồi tìm lim un theo định lí ho c dùng nguyên í định lí kẹp * v n u n w n , n N * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) (wn): Nếu lim v lim w a n n lim un = a u n v n , n N* Hệ quả: Cho hai dãy số (un) (vn): Nếu lim un = lim v n Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 1 2n 1 2n 1 1.3 3.5 a) lim b) lim n 1 32 33 3n . n 1 Lời giải 1 2n 1 2n 1 1.3 3.5 a) lim 1 2 lim 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 3 2n 2n 1 lim 1 2n b) L lim n 1 32 33 3n . n 1 Xét tử số: Ta th y 1; 2; 3; 4; … ; n dãy số thuộc c p số cộng có n số hạng với u1 = d = Tổng n số hạng c p số cộng: Sn u1 u n n 1 n n 2 Xét mẫu số: Ta th y 1; ; 32 ; 33 ; … ; 3n dãy số thuộc c p số nhân có (n+1) số hạng với u1 = q = q n 1 3n 1 3n 1 Tổng (n + 1) số hạng c p số nhân: Sn 1 u1 1 q 1 1 n n hi : L lim n 1 n lim n 1 1 1 (n 1) n n n n 2n 2 n n lim Vì n 1 n 3.3 3 3 3 n Nên L lim n 3n 1 0 (Bằng quy nạp ta ln có n 2n , n 3n 1, n * * 3n 1 3n 2.3n 3n 1 3n ) 2n 2n Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim Lời giải Xét u n Ta có 2n 2n 2k 2k 2k 2k , k * 2k 2k 4k 4k 3 4 2n 2n 2n 2n 1 3 2n 1 2n 2n 2n 1 2n un o u n 1 , n lim 0 2n 2n Nên lim un = 2n 1 0 2n 2 V y lim Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Tổng c p số nhân ùi vô hạn S u1 u1q u1q u1 1 q q 1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính tổng a) S 1 b) S 0,9 0,9 0,9 Lời giải a) S 1 Nên S 1 tổng c p số nhân lùi vô hạn với u1 = q 1 1 b) S 0,9 0,9 0,9 c p số nhân lùi vô hạn với u1 = q = 0,9 Nên S 0,9 0,9 0,9 10 0,9 Ví dụ 2: Biểu diễn số th p phân vơ hạn tuần hồn phân số: a) a 0,32111 b) b 2,151515 Lời giải a) Ta có a 0,32111 Vì 32 1 100 10 10 10 1 1 u q tổng c p số nhân lùi vô hạn với 103 104 105 103 10 32 289 10 Nên b 100 900 10 b) Ta có b 2,151515 15 15 15 100 1002 1003 15 15 15 15 u tổng c p số nhân lùi vô hạn với 100 1002 1003 100 q 100 Vì 15 71 Nên b 100 33 1 100 Bài tập tự luyện Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề Sai? A lim n lim n 1 B lim n2 n 0 Câu Dãy số sau có giới hạn 0? C lim 1 n3 D n n 4 A 3 n 4 B 3 n 5 C 3 1 D 3 2n C lim 5n D C D Câu Dãy số sau có giới hạn 0? n 2n A lim 5n 5n 2n lim 5n 5n 2n B lim 5n Câu Tính giới hạn lim A sin n! n2 B Câu Cho dãy số (un) với u n A 2n 1 hi i un 3n B C Câu Cho dãy số (un) với u n A 2 D 1 1 hi i un 1.2 2.3 n n 1 B.1 C D Khơng có giới hạn Câu Tính lim n 8n 3n bằng: A B C -1 D Câu Tính lim n 4n n bằng: A B C D -4 C D 3n 2.5n Câu Tính lim bằng: 3.5n A B Câu 10 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? 2n A lim 2n 2n 1 n 3 B lim 2n C lim n 2n 2n D lim 3.2n 3n n 2n Câu 11 Cho dãy số (un) xác định u1 1, u n 1 2u n 1 với n un Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: A -1 B C Câu 12 Giới hạn dãy số (un) với u n 3n n 4n B A D C D n 2n Câu 13 Chọn kết đ ng lim 5n A B 1 1 Câu 14 Tổng S + + 4 2n A B n 1 bằng: C Câu 15 Biểu diễn số th p phân 1,24545454545… A 249 200 B D C 137 110 C D D 69 55 ột phân số: 27 22 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 C D D A A B B C D D B A D B B ... tử số: Ta th y 1; 2; 3; 4; … ; n dãy số thuộc c p số cộng có n số hạng với u1 = d = Tổng n số hạng c p số cộng: Sn u1 u n n 1 n n 2 Xét mẫu số: Ta th y 1; ; 32 ; 33 ; … ; 3n dãy. .. số nhân ùi vô hạn Tổng c p số nhân ùi vô hạn S u1 u1q u1q u1 1 q q 1 Các dạng tốn Dạng Tính giới hạn sử dụng vài giới hạn đặc biệt Phương pháp giải: Sử dụng giới hạn đ c biệt:... xác định u1 1, u n 1 2u n 1 với n un Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: A -1 B C Câu 12 Giới hạn dãy số (un) với u n 3n n 4n B A D C D n 2n