50 bài tập về dãy số (có đáp án 2022) – toán 11

Các dạng toán về dãy số 1 Lý thuyết a) Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu *u  n u(n) Dạng khai triển u1; u2 ; u 3[.]

Các dạng toán dãy số Lý thuyết a) Định nghĩa dãy số * - Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên dãy số) * Kí hiệu: u : gọi dãy số vô hạn (gọi tắt  n u(n) Dạng khai triển: u1; u 2; u ; ; u n ; Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un = u(n) số thứ n hay số hạng tổng quát dãy số - Mỗi hàm số u xác định tập M = {1; 2; 3; ;m} với m số hữu hạn * gọi dãy Dạng khai triển u1; u ; u ; ; u m , u1 số hạng đầu um số hạng cuối - Ba cách cho dãy số: + Cho dãy số công thức số hạng tổng quát + Cho dãy số phương pháp mô tả + Cho dãy số phương pháp truy hồi b) Dãy số tăng, dãy số giảm - Dãy số (un) gọi tăng u n 1  u n với n  - Dãy số (un) gọi giảm u n 1  u n với n  * * c) Dãy số bị chặn - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho u n  M, n  * - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho u n  m, n  * - Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  u n  M, n  * Các dạng tập Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp giải: Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong f(n) biểu thức n) Hãy tìm số hạng uk → Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm  u1  a (với f(un) biểu thức un) u n 1  f (u n ) Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho  Hãy tìm số hạng uk → Tính u ; u ; ; uk cách u1 vào u2, u2 vào u3, …, uk-1 vào uk u1  a,u  b Hãy tìm số hạng uk u  c.u  d.u  e  n 2 n 1 n Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho  → Tính u ; u 4; ; uk cách u1; u2 vào u3; u2;u3 vào u4; … ; uk -2; uk-1 vào uk u1  a Trong f({n; un)}) kí u  f n,u     n  n 1 Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho  hiệu biểu thức un + tính theo un n Hãy tìm số hạng uk → Tính u ; u ; ; uk cách {1;u1} vào u2; {2;u2} vào u3; … ; {k-1;uk-1} vào uk Ví dụ minh họa: n  3n  Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định u n  Viết năm số hạng đầu n 1 dãy Lời giải Ta có năm số hạng đầu dãy 12  3.1  11 u1   11 22  3.2  17 u2   1 u3  32  3.3  25  1 42  3.4  u4  7 1 52  3.5  47 u5   1 Vậy năm số hạng đầu dãy là: 11 17 25 47 ; ; ;7;  u1   Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định sau:  Tìm số hạng n u  u   n 1 n   n  u11 A u11  11 C u11  B u11 = D u11 = Lời giải Chọn D Ta có: 1 u  (u1  1)  2 u  (u  1)  3 u  (u  1)  4 u  (u  1)  5 u  (u  1)  6 u  (u  1)  7 u  (u  1)  8 u  (u  1)  u10  9 (u  1)  10 u11  10 (u10  1)  11 u1  1;u  Tìm số u n 2  2u n 1  3u n  Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định sau:  hạng u8 A u8 = 3050 B u8 = 5003 C u8 = 3500 Lời giải D u8 = 3005 Chọn D Ta có: u3 = 2u2 + 3u1 + = 12 u4 = 2u3 + 3u2 + = 35 u5 = 2u4 + 3u3 + = 111 u6 = 2u5 + 3u4 + = 332 u7 = 2u6 + 3u5 + = 1002 u8 = 2u7 + 3u6 + = 3005 Dạng 2: Xét tính tăng giảm dãy số Phương pháp giải Cách 1: Xét hiệu un+1 – un - Nếu u n 1  u n  n  * - Nếu u n 1  u n  n  * (un) dãy số giảm Cách 2: Khi u n  n  * , ta xét tỉ số (un) dãy số tăng - Nếu u n 1  (un) dãy số tăng un - Nếu u n 1  (un) dãy số giảm un u n 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u n 1  u n n  * (hoặc u n 1  u n n  * Cơng thức giải nhanh số dạng tốn dãy số - Dãy số (un) có un = an + b tăng a > giảm a < - Dãy số (un) có un = qn + Không tăng, không giảm q < + Giảm < q < + Tăng q > - Dãy số (un) có u n  an  b với điều kiện cn  d  n  cn  d + Tăng ad – bc > + Giảm ad – bc < - Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm * * ) - Nếu dãy số (un) tăng giảm dãy số (qn un) (với q < 0) không tăng, không giảm Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm dãy số sau n  * : a) un = 3n + b) u n  n5 n2 c) u n  n  n  Lời giải a) Ta có u n  3n   u n 1  3 n  1   3n  Xét hiệu u n 1  u n   3n     3n     n  * Vậy (un) dãy số tăng b) Ta có u n  Xét hiệu u n 1  u n  n5 n 1 n   u n 1   n2 n 1 n  n  n   n   n     n   n  3 3     (do n 3 n 2  n   n  3  n   n  3 n số tự nhiên) Vậy (un) dãy số giảm  n  1 c) Ta có u n  n  n   u n 1  n   u n 1  u n   n      n  1 n 1  n  1 1  2 1    n  n      n  n2 1 0 Vậy (un) dãy số giảm  Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm dãy số sau n  5n a) u n  n b) u n  2n n! * : c) u n  n  n  Lời giải 5n a) Ta có u n   n  n *  u n 1  5n 1  n  1 u n 1 5n 1 n 5n Xét tỉ số   un  n  1 5n n  2n  n  2n   4n  2n   n  2n  2n  n  1  2n  1  1, n  n  2n  * Vậy (un) dãy số tăng 2n b) u n   0n  n! Ta có: 2n 1  u n 1   n  1! * u n 1 2n 1 2n 2n 1 n!  :  n   n  un (n  1)! n! (n  1)! n 1 * Vậy (un) dãy số giảm c) u n  n  n  Ta có: u n  n  n   n   u n 1  *  n  1   n  1  (n  1)2  (n  1)  u n 1 n  3n    >1 n  un n2  n  n2  n  * Vậy (un) dãy số tăng Dạng 3: Xét tính bị chặn hàm số Phương pháp giải: - Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) hàm số đơn giản Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n  f (n)  M, n  u n  f (n)  m, n  * * - Cách 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm bị chặn trên, dãy số (un) tăng bị chặn * Cơng thức giải nhanh số dạng tốn dãy số bị chặn Dãy số (un) có u n  q n  q  1 bị chặn Dãy số (un) có u n  q n  q  1 khơng bị chặn Dãy số (un) có un = qn với q > bị chặn Dãy số (un) có un = an + b bị chặn a > bị chặn a < Dãy số (un) có un = an2 + bn + c bị chặn a > bị chặn a < Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 + + a1n + a0 bị chặn am > bị chặn am < Dãy số (un) có u n  Pn P(n) Q(n) đa thức, bị chặn bậc Qn P(n) nhỏ bậc Q(n) Dãy số (un) có u n  Pn P(n) Q(n) đa thức, bị chặn bị Qn chặn bậc P(n) lớn bậc Q(n) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính bị chặn dãy số sau (với n  a) u n  * ): 4n  n 1 b) un = 3n – n3 c) u n  n 1 Lời giải 4n  n 1 4n   0, n  * Ta có u n  n 1 4n  4(n  1)  1 9  4     u n  , n  Mặt khác u n  n 1 n 1 n 1 2 Suy  u n  , n  * a) u n  Vậy dãy số (un) bị chặn b) un = 3n - Ta có: n   3n   3n    u n  n  Vậy (un) bị chặn dưới; không bị chặn * * n3 c) u n  n 1 n3 Ta có u n   0, n  n 1 * Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn bậc tử cao bậc mẫu Ví dụ 2: Xét tính bị chặn dãy số sau:  u1   a)  u  un 1 n   b) u n  1 1     2 n Lời giải  u1   a)  u n 1  u n  Ta dự đoán dãy số bị chặn (dùng máy Casio để tính vài số hạng) Ta chứng minh quy nạp: 2  u n  1, n  * Với n = ta có 2  u1   (đúng)` Giả sử mệnh đề với n  k  1: 2  u k  Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1 1 u k   2  u k     2  u k 1  2 2 Theo nguyên lí quy nạp ta chứng minh 2  u n  1, n  * Ta có: 2  u k   1  Vậy (un) bị chặn b) u n  Xét 1 1     2 n 1 1    , k  k  k  1 k k  k Suy un   1 1 1 1 1 1 1 1 3   1                       2  3  4  6  n 1 n  n   u n  , n  * Vậy (un) bị chặn Bài tập tự luyện Câu Cho dãy số (un) biết u n  Ba số hạng dãy số n 1 số đây? A 1 ; ; 1 B 1; ; C 1 ; ; 1 D 1; ; 2n  Viết năm số hạng đầu dãy số n2 11 A u1  1,u  ,u  ,u  ,u  Câu Cho dãy số (un) biết u n  B u1  1,u  11 ,u  ,u  ,u  C u1  1,u  11 ,u  ,u  ,u  D u1  1,u  7 11 ,u  ,u  ,u   u1  u5 bằng: u  2u   n 1 n Câu Cho dãy số (un) xác định  A 317 B 157 C 77 u1  2 Câu Cho dãy số (un) xác định  u n  2u n 1  n D 112 (n  2) Số hạng thứ tư dãy số A B 93 C D 34 u1  2,u  Tìm số hạng u8 u  5u  6u ; n   n 1 n n 1 Câu Cho dãy số (un) xác định bởi:  A u8 = - 1803 B u8 = - 5793 C u8 = - 18147 Câu Cho dãy số (un) biết u n  5n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu Cho dãy số (un) biết u n  A Dãy số tăng 10 Mệnh đề sau đúng? 3n B Dãy số giảm D u8 = - 537 D u n 1  C Dãy số không tăng, không giảm 10 1 n Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số giảm? n 4 A u n    3 B un = (- 1)n(5n - 1) C un = - 3n D u n  n  Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số không tăng, không giảm? A u n  n  n B un = 5n + 3n D u n   3 n  n C un = - 3n  u1   Câu 10 Cho dãy số (un) biết  3u n Mệnh đề sau đúng? u  n    un  A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số khơng tăng, khơng giảm D Có u10 = Câu 11 Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn? A u n  n  n B un = n + C u n  n 2n  D un = n2 + n + Câu 12 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: u n  1  n  n2 A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai 2n Câu 13 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: u n  n! A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 14 Xét tính bị chặn dãy số sau: u n  A Bị chặn B Không bị chặn 1    1.3 2.4 n.(n  2) C Bị chặn D Bị chặn Câu 15 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: un   1    2 n A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai C Dãy số giảm, bị chặn Đáp án 10 11 12 13 14 15 A B B D A A B C D B C C C A A ... Vậy (un) bị chặn Bài tập tự luyện Câu Cho dãy số (un) biết u n  Ba số hạng dãy số n 1 số đây? A 1 ; ; 1 B 1; ; C 1 ; ; 1 D 1; ; 2n  Viết năm số hạng đầu dãy số n2 11 A u1  1,u  ,u... - 18147 Câu Cho dãy số (un) biết u n  5n  Mệnh đề sau đúng? A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu Cho dãy số (un) biết u n  A Dãy số tăng 10 Mệnh...  n  * (un) dãy số giảm Cách 2: Khi u n  n  * , ta xét tỉ số (un) dãy số tăng - Nếu u n 1  (un) dãy số tăng un - Nếu u n 1  (un) dãy số giảm un u n 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un) cho hệ