50 bài tập về cách tính GTNN GTLN của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – toán 11

Cách tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu   [.]

Cách tính giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số lượng giác Lý thuyết a) Cho hàm số y = f(x) xác định miền D  - Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D f  x   M, x  D  x  D,f  x   M - Số thực m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D  f  x   m, x  D  x  D,f  x   m  b) Tính bị chặn hàm số lượng giác: 1  sin x  1x  1  cos x  1x  Các dạng tập Dạng Sử dụng tính bị chặn hàm số lượng giác Phương pháp giải: 1  sin  u(x)  ;  sin  u(x)  ;  sin  u(x)  1  cos  u(x)  ;  cos2  u(x)  ;  cos  u(x)  Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y = sin2x + b) y = 4sin2xcos2x +1 c) y = – 3cos23x Lời giải a) Ta có: 1  sin 2x  1x    sin 2x   4x  Vậy hàm số y = sin2x + có giá trị lớn giá trị nhỏ b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + Ta có: 1  sin 4x  1x   2  2sin 4x  2x   1  2sin 4x   3x  Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 c) Ta có:  cos2 3x  1x    3cos2 3x  3x   3  3cos2 3x  0x     3cos2 3x  5x  Vậy hàm số y = – 3cos23x có giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y   sin 2x b) y = cos2x + 4sinx - c) y = 4|cos(3x-1)| + Lời giải a) Điều kiện xác định:  sin 2x   sin 2x  (Luôn với x) Tập xác định D = R Ta có: 1  sin 2x  1x   1   sin 2x  1x     sin 2x  3x     sin 2x  3x  Vậy hàm số y   sin 2x có giá trị lớn giá trị nhỏ b) y = cos2x + 4sinx – = – 2sin2x + 4sinx – = -2sin2x + 4sinx – = -2(sin2x – 2sinx + 1) – = -2(sinx – 1)2 – Ta có: 1  sin x  1x   2  sin x   0x     sin x  1  4x   8  2  sin x  1  0x   10  2  sin x  1   2x  Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – có giá trị lớn -2 giá trị nhỏ -10 c) Ta có:  cos  3x  1  1x    cos  3x  1  4x    cos  3x  1   5x  Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + có giá trị lớn giá trị nhỏ Dạng Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0) Phương pháp giải: Bước 1: Ta đưa hàm số dạng chứa sin[u(x)] cos[u(x)]:  y = asinx + bcosx + c  a  b  a 2  a b sin x   cos x   c a  b2  b  y  a  b2 sin  x     c với  thỏa mãn cos  a a  b2 ; sin   b a  b2 Bước 2: Đánh giá 1  sin  x     1x    a  b2  a  b2 sin  x     a  b2 x    a  b2  c  a  b2 sin  x     c  a  b2  cx  Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y  sin 2x  cos 2x  b) y = 3sinx + 4cosx + Lời giải a) 1  cos 2x   y  sin 2x  cos 2x    sin 2x  2         sin 2x cos  cos 2x sin    2sin  2x    3 3     Ta có: 1  sin  2x     1x  3    2  2sin  2x    2x  3     1  2sin  2x     3x  3  Vậy hàm số y  sin 2x  cos 2x  có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 3 5 b) y = 3sinx + 4cosx +   sin x   cos x    3  4 Đặt cos   sin   (vì       1) 5 5  5 Ta được: y   sin x cos   cos xsin     5sin  x     Ta có: 1  sin  x     1x   5  5sin  x     5x    5sin  x      11x  Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + có giá trị lớn 11 giá trị nhỏ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  3sin 2x  sin x  cos x  Lời giải y  3sin 2x  sin x  cos x   3sin 2x   cos x  sin x    3sin 2x  cos2x     2 sin 2x  cos 2x          sin 2x cos  cos 2x sin   6     2sin  2x    6    Ta có: 1  sin  2x     1x  6    2  2sin  2x    x  6     1  2sin  2x     3x  6  Vậy hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 Dạng 3: Hàm số có dạng y  a1 sin x  b1 cos x  c1 a sin x  b cos x  c Lý thuyết: Phương trình asin x  bcos x  c có nghiệm a  b2  c2 (Lý thuyết có phần 7) Phương pháp giải: Bước 1: Điều kiện xác định: a sin x  b2 cos x  c2  Bước 2: y  a1 sin x  b1 cos x  c1 a sin x  b2 cos x  c2  ya sin x  yb2 cos x  yc2  a1 sin x  b1 cos x  c1   ya  a1  sin x   yb2  b1  cos x   yc2  c1 (*) Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x  ya  a1    yb2  b1     yc2  c1  2 Tìm đoạn chứa y, sau đưa kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y  sin x  2cos x  sin x  cos x  Lời giải Điều kiện xác định: sin x  cos x   Ta có: sinx + cosx +       2 sin x  cos x     sin x cos  cos x sin   4       sin  x        4  Do sin x  cos x   0x  Tập xác định: D = R Ta có y  sin x  2cos x  sin x  cos x   ysin x  ycos x  2y  sin x  2cos x    y  1 sin x   y   cos x   2y (*) Để phương trình (*) có nghiệm x  y  1   y    1  2y  2  y2  2y   y2  4y    4y  y2  2y2  2y     y  1 y     y    y  (Loai)   y   y      2  y     y    y      y     y  2 Vậy hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y  2sin x  2cos x sin x  cos x  Lời giải Điều kiện xác định: sin x  cos x   Ta có: sinx – cosx +       2 sin x  cos x     sin x cos  cos x sin   4       sin  x        4  Do sin x  cos x   0x  Tập xác định: D = R Ta có: y  2sin x  2cos x sin x  cos x   ysin x  ycos x  3y  2sin x  2cos x   y   sin x   y   cos x  3y (*) Để phương trình (*) có nghiệm x  y     y     3y  2  y2  4y   y2  4y   9y2  7y2   y  8 56 56  y  y 7 7 Vậy hàm số có giá trị lớn 56 56 giá trị nhỏ  7 Bài tập tự luyện Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=2sin5x – A y = -3, max y = B y = -1, max y = C y = -1, max y=3 D y = -3, max y =    3x  4  Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   3cos  A y = -2, max y = B y = 2, max y = C y = -2, max y = D y = -1, max y =   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos  2x  A max y = 1, y = B max y = 2, y = C max y = 1, y = -1 D max y = 2, y =   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  2cos  x    1 3  3 3 A y = 2, max y = B y = 1, max y = C y = 1,max y = D y = 1, max y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  2sin x  A max y  , y = B max y  , y  C max y  , y = D max y  , y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   2  sin 2x A y   2,max y   y   2,max y   B C y   2,max y   D y   2,max y   3 Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = – 2cos23x A y = 1, max y = B y = 1, max y = C y = 2, max y = D y = -1, max y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin2x – 4sinx + A max y = 9, y = B max y = 10, y = C max y = 6, y = D max y = 5, y = Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos2x + 4cosx – A max y = 3, y = -7 B max y = -1, y = -5 C max y = 4, y = -1 D max y = 3, y = -5 Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 3sin x + 4cosx + A max y = 6, y = -2 B max y = 4, y = -4 C max y = 6, y = -4 D max y = 6, y = -1 Câu 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x  A y = 2, max y = B y = 2, max y = C y = 4, max y = D y = 2, max y = Câu 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x A y = -5, max y = B y = -4, max y = C y = -3, max y = D y = -6, max y = Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = 2sin2x + 3sin2x – 4cos2x A y  3  1,max y   B y  3  1,max y   C y  3 2,max y   D y  3  2,max y   Câu 14 Giá trị lớn hàm số y  A B sin x  cos x sin x  cos x  C D Câu 15 Gọi M, m giá trị nhỏ hàm số y  cos x  2sin x  Giá 2cos x  sin x  trị M+m là: A 20 11 B 24 11 C 11 D 15 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 D A D C A A B B D C B A B A B ... sin 2x  3x  Vậy hàm số y   sin 2x có giá trị lớn giá trị nhỏ b) y = cos2x + 4sinx – = – 2sin2x + 4sinx – = -2sin2x + 4sinx – = -2(sin2x – 2sinx + 1) – = -2(sinx – 1)2 – Ta có: 1  sin x... trị lớn hàm số y  A B sin x  cos x sin x  cos x  C D Câu 15 Gọi M, m giá trị nhỏ hàm số y  cos x  2sin x  Giá 2cos x  sin x  trị M+m là: A 20 11 B 24 11 C 11 D 15 Bảng đáp án 10 11 12... 7y2   y  8 56 56  y  y 7 7 Vậy hàm số có giá trị lớn 56 56 giá trị nhỏ  7 Bài tập tự luyện Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=2sin5x – A y = -3, max y = B y = -1, max y =