§Ò tµi Gãp vµi phng ph¸p chøng minh Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 Chuyên đề 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN * Một số bất đẳng thức cần nhớ 1[.]
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN * Một số bất đẳng thức cần nhớ: a2 0; ;, dấu " = " xảy ab Bất đẳng thức Cô - si : a, b dấu " = " xảy a = b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dấu " = " xảy B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1: DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA A B A - B Chú ý đẳng thức: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0; * a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 Bài 1.1: Chứng minh với x, y ta ln có: a b x2 + y2 + xy + x + y; c x4 + y4 xy3 +x3y Giải: a Xét hiệu: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Vậy: Dấu "=" xảy 2x = y b x2 + y2 + - (xy + x + y) = 0 Vậy: x2 + y2 + xy + x + y c x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) = (x - y)2 0 Vậy: x4 + y4 xy3 + x3y Bài 1.2: Cho < a b c Chứng minh rằng: a b Giải: a = = = = ( o < a b c) Vậy: b (Vì a2c abc) Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 (Vì o < a b c) Vậy: Bài 1.3: Cho a < b < c < d Hãy xếp thứ tự tăng dần số sau: x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c) Giải: Xét hiệu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > (vì a < b < c < d) Suy ra: y > z Tương tự, xét hiệu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > Suy ra: z > y Vậy: x < y < z Bài 1.4: Cho abc = a3 > 36 Chứng minh rằng: Giải a2 a2 a2 2 b c ab bc ca b c ab bc ca 12 (Vì abc = a3 > 36 nên a > 0) Vậy: Bài 1.5: Cho a > b > So sánh hai số x, y với x = Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải: Ta có x,y > (Vì a > b> nên Vậy: x < y Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH BẮC CẦU: * AB => A C BC * x => x2 x (vì x - x2 = x (1 - x) 0) Bài 2.1: Cho x, y, x 1, Chứng minh rằng: a x + y + z - xy - yz - zx 1; b x2 + y2 + z2 + x2y + y2z + z2x Giải: a Ta có: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) (1) Mặt khác: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx - xyz (2) Từ (1) (2) suy ra: x + y + z - xy - yz - zx b Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x Ta có: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (vì x2 x, y2 y, z2 z) x + y +z - xy - yz - zx (câu a) Bài 2.2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh : a2 + b2 + c2 + 2abc < Giải: Nếu a từ b + c suy a + b + c > 2, vô lý! Vậy < a < Tương tự: < b < 1, < c < Ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy abc < ab + bc + ca - (vì a +b + c = 2) (1) Mà = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca), suy ra: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 ab + bc + ca = - (2) Từ (1) (2) suy ra: abc < Bài 2.3: Cho < a, b, c, d < Chứng minh rằng: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > - a - b - c - d Giải: Ta có: (1 - a) (1 - b) = - a - b + ab > - a - b (1) Vì - c > nên: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = - a - b - c + c (a + b) > - a - b - c (3) Từ (2) (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > - a - b - c Vậy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > - a - b - c - d (Vì d (a + b + c) > 0) Bài 2.4: Cho a, b, c thoả a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 Giải: Cách 1: Vì a + b + c = nên có ba số a, b, c không nhỏ 1, giả sử a Vì a nên: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + => a (3 - a) Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc (1) Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = - (ab + bc + ca) (theo (1)) Cách 2: Vì a, b, c nên: (2 - a) (2 - b) (2 - c) = - (a + b + c) + (ab + bc + ca) - abc Suy ra: - + (ab + bc + ca) - abc => ab + bc + ca 2+ Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) - = Bài 2.5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 4abc < Giải: Áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 S= với p = (a + b + c) = Do đó: S2 = 16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c) = - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc = - + (ab + bc + ca) - 8abc > Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca Mà: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = - (a2 + b2 + c2) Nên: 4abc + < - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc < Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Bài 3.1: a Với a,b, c > Chứng minh: b Cho a c > 0, b c Chứng minh: Giải: a a2 +b2 + c2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab (a + b - c)2 (hiển nhiên đúng) Vậy: b c (a - c) + c (b - c) + 2c Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 c2 - 2c (c - ( hiển nhiên đúng) Vậy: Bài 3.2: Cho biểu thức: Chứng minh < P < với x 1 Giải: Ta có: x4 - x3 + x - = x3 (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1) = (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1) x4 + x3 - x - = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1) = (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1) x5 - x4 + x3 - x2 + x - = (x - 1)(x4 + x2 + 1) = ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) Rõ ràng P > 16x4 + 16x2 + > (luôn đúng) Vậy: < Bài 3.3: Cho x > y xy = Chứng minh rằng: Giải: Ta có: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra: (x2 + y2)2 = (x - y)4 + (x -y)2 + Do đó: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 (x - y)4 - (x - y)2 + (x - y- 2)2 (luôn đúng) Vậy: Phương pháp 4: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ * x2 + y2 /xy/ * x2 + y2 2xy * ( x + y)2 4xy * x+ * , với x > * Bài 4.1: Cho a, b, c a + b + c = Chứng minh rằng: a + 2b + c (1 - a) (1 - b) (1 - c) Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b)2 (1 - b) (1 + b) (1 - b2) (1 + b = a + 2b + c Dấu "=" xảy a = , b = 0, c = Bài 4.2: Cho x, y > x + y - z = Chứng minh rằng: x + y 16xyz Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có: 16xyz 4z (x + y)2 (1) Ta chứng minh: 4z (x + y)2 x + y 4z ( x + y) 4z (1 + z) 4z2 + 4z + (2z + 1)2 Vậy: 4z (x + y)2 x + y (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 4.3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: Từ (a + b)2 4ab => (1) Tương tự: (2) (3) Cộng (1), (2), (3) ta điều phải chứng minh Bài 4.4: Cho a, b, c > Chứng minh Giải: Cách Ta có: (a + b + c) (Vì Suy ra: Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si: a+b+c3 Suy ra: ( a + b + c) Bài 4.5: Hai số dương a, b thoả mãn ab > a + b Chứng minh a + b > Giải: Từ ab > a + b => a > + b > + suy Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a+b>2+ (vì Bài 4.6: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Ta có: Do đó: Suy ra: Bài 4.7: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức: , ta có: (1) (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: 10 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta chứng minh: (3) Thật vậy: (3) (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd (a - c)2 + (b - d)2 (đpcm) Bài 4.8 Cho hai số dương a, b a + b = Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta có: Áp dụng bất đẳng thức: với x, y > 0, ta có: Dấu "=" xảy a = b = Bài 4.9 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: Giải: Ta có: = Áp dụng bất đẳng thức: , ta có: (đpcm) 11 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 5.1: Cho số dương a, b, c nhỏ Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a(2 - a) > ; b(2 - b) > ; c( - c) > Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng, nhân ba bất đẳng thức lại ta được: a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > (1) Mà < a (2 - a) = 2a - a2 = - (a - 1)2 Tương tự: 0< b(2 - b) < c(2 - c) 1, suy ra: abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) Mâu thuẫn với (1) Vậy có bất đẳng thức cho sai: Bài 5.2: Cho số tự nhiên khác nhỏ 108 Chứng minh chọn ba số chẳng hạn a, b, c cho a < bc, b < ca, c < ab Giải: Giả sử số tự nhiên khác a1 < a2 < < a6 < 108 Rõ ràng a2 2, a3 Với số x, y, z thoả mãn x < y < z ta ln có x < yz y < zx Nếu số a1, a2, , a6 khơng có số a, b, c thoả mãn a < b < c c < ab ta có: a4 a2a3 = 6, a5 a4a3 6.3 = 18, a6 a5a4 18.6 = 108, trái với giả thiết a6 < 108 Vậy phải có số a, b, c thoả a < bc, b < ca, c < ab Bài 5.3: Cho x, y,z > xyz = Chứng minh x + y + z > có ba số x, y, z lớn Giải: Ta có (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - =x+y+zSuy ra: (vì xyz = 1) (x - 1) (y - 1) (z - 1) > Trong ba số x - 1, y - 1, z - có số dương Thật vậy, số dương x, y, z > Khi xyz > 1, vơ lý! Vậy có 12 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 ba số x, y, z lớn Bài 5.4: Cho a, b, c, d > Chứng minh đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab Giải: Giả sử xảy đồng thời bất đẳng thức Từ hai bất đẳng thức đầu ta có: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab 3ab => cd > 3ab (1) Mặt khác, ta có: (a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Từ (1) (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý! Vậy ta có điều phải chứng minh Phương pháp 6: PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI a, b > Bài 6.1: Cho số dương a,b, c Chứng minh rằng: < Giải: Vì nên Tương tự: Cộng bất đẳng thức lại ta điều phải chứng minh Bài 6.2: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: 13 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 A= Vì khơng số ngun nên Tương tự: Cộng lại ta < A < 3, suy A số nguyên Bài 6.3: Với n nguyên dương lớn Chứng minh rằng: a b Giải: a Với k > ta có: b.Với k > ta có: Do đó: , đó: Suy ra: Bài 6.4: Cho dãy số a1 = 1, a2= Chứng minh rằng: 14 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Với n > Giải: Với k ta có: (vì ak > ak - 1) => ( ak - ak - = ) Do đó: =1+ Bài 6.5: Cho dãy số a1 = 1, a2 = + , , an = + + + + Chứng minh rằng: Giải: Ta có: ak - ak - 1= Do đó: Phương pháp 7: BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI a1, a2, , an 0: Dấu "=" xảy a1 = a2 = =an 15 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 7.1: Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd ad - bc =1 Chứng minh S Giải: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) Vì ad - bc = nên: + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: S = (a2 + b2) + (c2 + d2) + ac + bd 2 Rõ ràng: S > Đặt: x = ac + bd ta có: S2 Vậy: S (đpcm) Bài 7.2: Cho a, b c > thoả Chứng minh rằng: abc Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si: Tương tự: 16 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Nhân lại ta được: (đpcm) Bài 7.3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si, ta có: a2 + bc 2a b2 + ac 2b c2 + ab 2c Suy ra: Phương pháp 8: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI Bài 8.1: Cho x, y, z thoả x (x -1) + y(y - 1) + z (z - 1) Chứng minh rằng: x+y+z4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: (1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) Suy ra: (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Theo giả thiết, ta có: x2 + y2 + z2 - (x + y + z) 17 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Từ suy ra: (x + y + z)2 - (x+ y + z) S2 - 3S - (Với S = x + y + z) (S + 1) (S - 4) - S Vậy: x + y + z Bài 8.2: Giả sử phương trình x2 + ax + b = có nghiệm x0 Chứng minh rằng: Giải: x0 nghiệm phương trình x2 + ax + b = nên ta có: Bài 8.3: Cho tam giác ABC điểm Q tam giác Qua kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC M cắt BC N Qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB F cắt BC E Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC P cắt AB R Ký hiệu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) S = dt (ABC) Chứng minh rằng: a b Giải: a Ta có QMP BAC (Tỷ số ) , suy ra: Tương tự: 18 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Suy ra: Do đó: Suy ra: b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: S= (12 + 12 +12)(S1 +S2 + S3) Suy ra: S1 + S2 + S3 Dấu "=" xảy khi: S1 = S2 = S3 Q trọng tâm ABC Phương pháp 9: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NP Để chứng minh bất đẳng thức víi n n0 ta thùc hiƯn c¸c bíc sau: a Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 b Giả sử bất đẳng thức với n = k c Ta chứng minh bất đẳng thức víi n = k + Bµi 9.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta có: Giải: Với n = 2, ta có: (đúng) Giả sư víi n = k, ta cã: Ta ph¶i chøng minh: ThËt vËy, ta cã: 19 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 VËy bất đẳng thức với n=k +1,do bất đẳng hức với n Bài 9.2: Chứng minh r»ng: víi n N, n 1 Giải: Với n = 1; Ta có (đúng) Giả sử: Ta cần chứng minh: Ta có: Ta cần chứng minh: (1) Thật vậy: (1) (2k + 1)2 (3k + 4) (2k + 2)2 (3k + 1) k (đúng) Vậy bất đẳng thức với n 20 ... biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Bài 3.1: a Với a,b, c > Chứng minh: b Cho a c > 0, b c Chứng minh: Giải: a a2 +b2 + c2 (bc... minh bất đẳng thức với n = k + Bµi 9.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tự nhiên n ta có: Giải: Với n = 2, ta có: (đúng) Giả sử với n = k, ta cã: Ta ph¶i chøng minh: ThËt vËy, ta cã: 19 Timgiasuhanoi.com... với n=k +1,do bất đẳng hức với n Bµi 9.2: Chøng minh r»ng: víi n N, n 1 Giải: Với n = 1; Ta có (đúng) Giả sử: Ta cần chứng minh: Ta có: Ta cần chứng minh: (1) Thật vậy: (1) (2k + 1)2