Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song A Lý thuyết I Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Khi đó có thể xảy ra một tr[.]
Bài Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song A Lý thuyết I Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng a b khơng gian Khi xảy trường hợp sau: - Trường hợp Có mặt phẳng chứa a b Khi đó, ta nói a b đồng phẳng Theo kết hình học phẳng có khả xảy ra: i) a b có điểm chung M Ta nói a b cắt M kí hiệu a b M Ta viết a b M ii) a b khơng có điểm chung Ta nói a b song song với kí hiệu a // b iii) a trùng b, kí hiệu a b - Trường hợp Khơng có mặt phẳng chứa a b Khi ta nói a b chéo hay a chéo với b - Ví dụ Cho tứ diện ABCD Hãy cặp đường thẳng chéo Lời giải: Đường thẳng AB CD chéo Đường thẳng AC BD chéo Đường thẳng AD BC chéo II Tính chất - Định lí Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho - Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đơi song song với - Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) (SAD) (SBC) b) (MCD) (SAB), với M điểm thuộc cạnh SA Lời giải: S SAB SCD AB SAB a) Ta có: CD SCD AB//CD SAB SCD Sx , với Sx // AB // CD M SAB MCD AB SAB b) Ta có: CD MCD AB//CD SAB SCD My , với My // AB // CD - Định lí Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Ta có: a // c; b // c nên a // b hay a // b // c (ba đường thẳng song song) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J trung điểm cạnh SA, SB Chứng minh IJ // AB, từ suy IJ // CD Lời giải: Xét tam giác SAB có I, J trung điểm cạnh SA, SB nên IJ đường trung bình tam giác SAB Từ suy IJ // AB Lại có AB // CD (vì ABCD hình bình hành) nên từ ta có IJ // CD (vì song song với đường thẳng AB) B Bài tập tự luyện Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD hai đường thẳng chéo Lời giải: Giả sử AB CD không chéo nhau, nghĩa hai đường thẳng đồng phẳng Khi AB CD song song với cắt điểm trùng (vô lý ABCD tứ diện nên điểm A, B, C, D không đồng phẳng) Vậy AB CD chéo Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M điểm thuộc đoạn thẳng SD Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) d1 SAB SCD b) d SCD MAB Từ chứng minh d1 // d2 Lời giải: S SAB SCD AB SAB a) Ta có: CD SCD AB//CD SAB SCD d1 , với S d1 d1 // AB // CD (1) M MAB SCD AB MAB b) Ta có: CD SCD AB//CD MAB SCD d , với M d d2 // AB // CD (2) Từ (1) (2) suy ra: d1 // d2 Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm thuộc cạnh AB, AC AM AN cho ; I, J trung điểm BD, CD AB AC a) Chứng minh MN // BC b) Tứ giác MNJI hình Lời giải: a) Xét mp(ABC) có: AM AN , từ suy MN // BC (1) (Định lý Ta-lét đảo) AB AC b) Xét mp(BCD) có: I, J trung điểm BD, CD Nên IJ đường trung bình tam giác BCD Từ suy IJ // BC (2) Từ (1) (2) suy MN // IJ Vậy tứ giác MNJI hình thang Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD, biết (P) mặt phẳng qua điểm M song song với SC, AD Lời giải: Qua M kẻ đường thẳng MQ // AD với Q thuộc SD Có MO // SC (do MO đường trung bình tam giác SAC) Trong mp(ABCD), qua O dựng đường thẳng song song với AD cắt AB, CD N P OMQ SAD MQ OMQ SCD QP Từ ta có: OMQ ABCD PN OMQ SAB NM Vậy thiết diện tạo (P) hình chóp hình thang MNPQ ... song song với - Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy... My // AB // CD - Định lí Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Ta có: a // c; b // c nên a // b hay a // b // c (ba đường thẳng song song) Ví dụ Cho hình chóp... ta có IJ // CD (vì song song với đường thẳng AB) B Bài tập tự luyện Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD hai đường thẳng chéo Lời giải: Giả sử AB CD không chéo nhau, nghĩa hai đường thẳng đồng