đ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng đ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng N¨m häc 2011 2012 C©uI (1,5 ®iÓm) a/ Kh«ng dïng b¶ng sè hay m¸y tÝnh, h y so s¸nh vµ b/ Cho H y tÝnh C©uII (2,5 ®iÓm) a/ Rót[.]
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Năm học 2011-2012 CâuI: (1,5 điểm) a/ Không dùng bảng số hay máy tính, hÃy so sánh: b/ Cho: x2 6x 13 x 6x 10 1 H·y tÝnh: x 6x 13 x 6x 10 CâuII: (2,5 điểm) a/ Rút gọn biểu thức sau: A ( 1) 2 b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 12 18 128 a2 b2 víi a 1, b M a b CâuIII: (1,5 điểm) Giải phơng trình sau: y 2011 x 2010 z 2012 x 2010 y 2011 z 2012 C©uIV: (1,5 ®iĨm) Cho ba sè d¬ng a, b, c 2 CMR: a b c a b c b c a c a b CâuV: (3,0 điểm) Cho ABC; P ®iĨm n»m tam gi¸c cho PBA VÏ PM PN PCA lần lợt vuông góc với AB AC Gọi D trung điểm BC Chứng minh r»ng: a/ MP.NC = MB.NP b/ DM=DN (C¸n bé coi thi không giải thích thêm) Đáp án, thang điểm Câu I: (1,5 điểm) a/ (1,0 điểm) so sánh: vµ Ta cã: ( )2 = = 18 (0,25 ®iĨm) ( )2 = 12 (0,25 ®iĨm) Vì 12 < 18 nên 12 < 18 (0,25 điểm) (0,25 ®iĨm) suy > b/ (0,5 ®iĨm) Tacã: ( x 6x 13 x 6x 13 x 6x 10 1 x 6x 10)( x 6x 13 x 6x 10) ( x 6x 13 x 6x 10).1 (x 6x 13) (x 6x 10) ( x 6x 13 x 6x 10) ( x 6x 13 x 6x 10) (0,5 điểm) Câu II: (2,5 điểm) a/ (1,25 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc: A ( 1) 2 12 18 128 ( 1) 2 12 (4 ( 1) 2 2 4 ( 1) 2 ( 1)2 ( 1) 2 3 2)2 (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) (0,5 ®iĨm) ( 1) 2 ( 1) (0,25 ®iĨm) ( 1) 2( ) b/ (1,25 ®iĨm) ( 1) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: ( 1)( 1) a b2 víi a 1, b M a b Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) ®ã ta cã: a = x + vµ b = y + (x 1)2 (y 1)2 x 2x y 2y x y x y ®ã M= 1 x y x y (0,25 ®iĨm) (0,25 điểm) x đạt giá trị nhỏ y 1 áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dơng x, y, ta có; y x M đạt giá trị nhỏ khi: x y 1 1 x y 2 x y 4 Suy maxM = x y x y (0,5 ®iĨm) x x x 1 DÊu b»ng x¶y y 1 y y (0,25 điểm) CâuIII: (1,5 điểm) Giải phơng tr×nh sau: y 2011 x 2010 z 2012 (1) x 2010 y 2011 z 2012 x 2010 §iỊu kiƯn: y 2011 z 2012 a x 2010 b x 2011 Đặt: c x 2012 (0,25 ®iĨm) a b c Khi ®ã (1) tơng đơng với: 1 1 1 1 a b c ( ) ( ) ( ) 0 (2) a a b b c c a b c ( 1 1 1 ) ( ) ( ) 0 a b c (0,5 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) Do hạng tử vế trái không âm nªn: 1 2 1 (2) 2 1 2 0 a a 0 a b c 2 Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn b b c 0 c x 2014 Suy y 2015 Thoả mÃn z 2016 (0,25 điểm) (0,25 điểm) Vậy phơng trình có nghiệm là: ( x; y; z) = ( 2014; 2015; 2016) C©uIV: (1,5 điểm) Cho ba số dơng a, b, c 2 CMR: a b c a b c Vì a, b, c số dơng nên: b c a c a b 2 b c áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a b c (0,25 điểm) b c Ta cã: a + 2 b c a2 b c a bc (0,25 ®iĨm) a c b2 + 2 a c b2 a c b a c (0,25 ®iĨm) ab c2 + 2 ab c2 a b c a b (0,25 ®iĨm) Céng vÕ theo vÕ bất đảng thức ta đợc: 2 b c a c ab a2 + + b + + c + a b c 4 b c a c ab 2 a b c Hay: a + b + c (§PCM) b c a c a b (0,25 ®iĨm) (0,25 điểm) CâuV: (3,0 điểm) a/ (1,0 điểm) Chứng minh đợc hai tam giác BMP CNP đồng dạng vớiAnhau theo trờng hợp góc- góc suy tỉ số đồng dạng N b/ (2,0 điểm) Gọi I K lần lơt lần lợt M Trung điểm PB PC MI=IB=IP ( §êng trung tun P Øng víi cạnh huyền) ( 0,25 điểm) Ta có DB=DC (gt) I DK đờng trung bình K ( 0,25 ®iÓm) BPC DK=IP=IB=MI (1) B Ta cã: NK=KP=KC ( Đờng trung Tuyến ứng với cạnh huyền) D Ta có ID đờng trung bình ( 0,25 điểm) BPC nên ID=KP=KC=NK (2) Do MIB cân I (cã IM=IB) Nªn IMB=IBM Ta cã: MIP=IMB+IBM ( Gãc tam giác) ( 0,25 điểm) MIP=2MBI Chứng minh tơng tự: NKP=2NCK Mà ABI=NCK ( gt) MIP=NKP ( 0,25 điểm) Ta có Tứ giác IPKD hình bình hành ( có 1cặp cạnh song song nhau) Nên PID = PKD ( 0,25 điểm) MIP+ PID=NKP+PKD hay MID = NKD (3) Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra: MID = DKN (c.g.c) ( 0,25 ®iĨm) ( 0,25 ®iĨm) DM = DN C ... ( 1) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: ( 1)( 1) a b2 víi a 1, b M a b Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) ®ã ta cã: a = x + vµ b = y + (x 1)2 (y 1)2 x 2x y 2y x... (3,0 điểm) a/ (1,0 điểm) Chứng minh đợc hai tam giác BMP CNP đồng dạng vớiAnhau theo trờng hợp góc- góc suy tỉ số đồng dạng N b/ (2,0 điểm) Gọi I K lần lơt lần lợt M Trung điểm PB PC MI=IB=IP