Bài toán về vị trí tương đối trong tọa độ không gian và cách giải I LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz ta xét các vị trí tương đối 1 Giữa hai mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối +) Song song +) Cắt nhau[.]
Bài tốn vị trí tương đối tọa độ không gian cách giải I LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz ta xét vị trí tương đối: Giữa hai mặt phẳng bao gồm vị trí tương đối: +) Song song +) Cắt (trong trường hợp có bao gồm mặt phẳng vng góc) +) Trùng Giữa đường thẳng mặt phẳng bao gồm vị trí tương đối: +) Song song +) Cắt +) Đường thẳng nằm mặt phẳng Giữa mặt cầu mặt phẳng bao gồm vị trí tương đối: +) Cắt (giao tuyến hình trịn) +) Tiếp xúc +) Khơng có điểm chung 4 Giữa đường thẳng mặt cầu bao gồm vị trí tương đối: +) Khơng cắt +) Tiếp xúc +) Đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Giữa đường thẳng đường thẳng bao gồm vị trí tương đối: +) Song song +) Cắt +) Trùng +) Chéo II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp giải: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = ( ) : A x + B2 y + C2 z + D = ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C D ( ) () A1 B1 C1 D1 = = A B2 C D ( ) ( ) B C A1 B1 B2 C A B2 ( ) ⊥ ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 30 = (Q): 4x – 6y + 8z + 40 = Vị trí tương đối (P) (Q) A Song song B Trùng C Cắt khơng vng góc D Vng góc Hướng dẫn giải Vì −3 30 = = nên (P) // (Q) −6 40 Chọn A Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Phương pháp giải: x = x + a 1t Cho đường thẳng: d : y = y0 + a t mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = z = z + a t x = x + a 1t y = y + a t Xét hệ phương trình: z = z + a t Ax + By + Cz + D = +) (*) có nghiệm +) (*) vơ nghiệm +) (*) vô số nghiệm (1) (2) (3) (*) (4) d cắt ( ) d // ( ) d ( ) Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – = đường x = −1 + 2t thẳng d : y = + 4t Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? z = 3t A d // (P) B d ( P ) C d cắt (P) D d ⊥ ( P ) Hướng dẫn giải Cách 1: x = −1 + 2t y = + 4t Ta giải hệ PT: z = 3t 3x – 3y + 2z – = x = −1 + 2t y = + 4t z = 3t 3 ( −1 + 2t ) − ( + 4t ) + 2.3t − = x = −1 + 2t y = + 4t z = 3t 0 = −17 Suy hệ PT vô nghiệm Vậy d // (P) Cách 2: Mặt phẳng (P) có VTPT a = ( 3; − 3;2 ) d có VTCP b = ( 2;4;3) a.b = Ta có A ( −1;3;0 ) d d / / ( P ) A ( P ) Chọn đáp án A Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Phương pháp giải: Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R tâm I (a; b; c) bán kính R mặt 2 phẳng (P): Ax + By + Cz + D = +) Nếu d (I; (P)) > R (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung +) Nếu d (I; (P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm +) Nếu d (I; (P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến 2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R đường trịn có phương trình: Ax + By + Cz + D = 2 Trong bán kính đường trịn r = R − d(I, (P)) tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 3= Mặt cầu (S) có bán kính R bằng: A R = B R = C R = D R = Hướng dẫn giải (S) tiếp xúc (P) R = d ( I; ( P ) ) = | 2.2 − 2.1 − 1.( −1) + | + ( −2 ) + ( −1) 2 =2 Chọn đáp án B Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp giải: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R đường thẳng Để xét vị trí tương đối (S) ta tính d ( I, ) so sánh với bán kính R +) d ( I, ) R : không cắt (S) +) d ( I, ) = R : tiếp xúc với (S) Tiếp điểm J hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng AB2 +) d ( I, ) R : cắt (S) hai điểm phân biệt A, B R = d + x y −1 z − = = mặt cầu −1 (S) :x + y2 + z2 − 2x + 4z + = Số điểm chung d (S) là: A Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : B C D Hướng dẫn giải Ta có: d : x y −1 z − = = −1 Do đường thẳng d qua M (0; 1; 2) có VTCP u = ( 2;1; − 1) Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) bán kính R = Ta có MI = (1; −1; −4 ) u,MI = ( −5;7; −3) u,MI d ( I,d ) = = |u| ( −5) + + ( −3) 22 + 12 + ( −1) 2 = 498 Vì d (I, d) > R nên d không cắt mặt cầu (S) Vậy d (S) khơng có điểm chung Chọn A Vị trí tương đối hai đường thẳng: Phương pháp giải: x = x + a 1t Cho đường thẳng: d : y = y0 + a t qua M, có VTCP u d z = z + a t x = x0 + a1 t d ' : y = y0 + a2 t có VTCP u d ' z = z + a t Khi ta có trường hợp: a) Nếu u d phương với u d ' ta có: u d = ku d ' +) d song song d’ M d M d ' u d = ku d ' +) d trùng d’ M d M d ' b) Nếu u d không phương với u d ' ta xét hệ phương trình: x + a1t = x0 + a1 t y0 + a t = y0 + a2 t (*) z + a t = z + a t 3 +) Nếu phương trình (*) có nghiệm d cắt d’ +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d d’ chéo Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x − y +1 z + = = Khi hai đường thẳng d d’ −2 A song song d': B trùng C cắt D chéo Hướng dẫn giải d có vectơ phương u d = ( 2;1;4 ) d’ có vectơ phương u d ' = ( 3; −2;1) Suy d d’ không phương x = + 3t ' x = + 2t d : y = + t , d ' : y = −1 − 2t ' z = −2 + t ' z = + 4t Ta xét hệ phương trình: x −1 y − z − = = 1 + 2t = + 3t ' t = −2 Khi hệ phương trình có nghiệm 7 + t = −1 − 2t ' t ' = − 3 + 4t = −2 + t ' Vậy d d’ cắt Chọn C III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = (Q): 6x – 9y + 12z + 40 = Vị trí tương đối (P) (Q) là: A Song song B Trùng C Cắt khơng vng góc D Vng góc Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = (Q): 6x – 9y + 12z + 60 = Vị trí tương đối (P) (Q) là: A Song song B Trùng C Cắt khơng vng góc D Vng góc Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz – = (Q): 6x – y – z – 10 = Tìm m để ( P ) ⊥ ( Q ) A m = B m = -4 C m = -2 D m = Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – = đường x = + 2t thẳng d : y = + 4t Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? z = + 3t A d // (P) B d ( P ) C d cắt (P) D d ⊥ ( P ) Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – = đường x = + t thẳng d : y = + 2t Số giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) là: z = − 3t A Vô số B C Khơng có D x = + 2t Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y = − 2t z = t x = −2t d ' : y = −5 + 3t Khi hai đường thẳng d d’ z = + t A song song B trùng C chéo D cắt Câu 7: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng d : x = −1 + t có vị trí tương đối là: d ' : y = −t z = −2 + 3t x −1 y + z − = = −2 A trùng B song song C chéo D cắt Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = điểm I (1; 0; 2) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: A ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 B ( x + 1) + y + ( z + ) = 2 C ( x + 1) + y + ( z + ) = 2 D ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 x +5 y−7 z = = điểm M −2 (4; 1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M, hai điểm A, B cho AB = Phương trình mặt cầu (S) là: 2 A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : B ( x + ) + ( y + 1) + ( z + ) = 18 2 C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 18 2 D ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = 16 2 Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) : x + y + z − 2x + 4y + 2z − = theo giao tuyến đường trịn có bán kính có phương trình là: A y – 2z = B y + 2z = C y + 3z = D y – 3z = ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A B A A A C D A C A án ... Vậy d d’ cắt Chọn C III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = (Q): 6x – 9y + 12z + 40 = Vị trí tương đối (P) (Q) là: A Song song... Trùng C Cắt khơng vng góc D Vng góc Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = (Q): 6x – 9y + 12z + 60 = Vị trí tương đối (P) (Q) là: A Song song B Trùng... Chọn đáp án B Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp giải: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R đường thẳng Để xét vị trí tương đối (S) ta tính d ( I, ) so sánh với bán kính R +)