Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách giải A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập K ( KRÌ ) Khi đó a) Nếu tồn tại một điểm 0x KÎ sao cho 0f(x) f(xx ), K£ " Î thì[.]
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách giải A LÝ THUYẾT Định nghĩa Ì ) Khi đó: Giả sử hàm số f(x) xác định tập K ( KR a) Nếu tồn điểm x0 ỴK cho f(x) £f(xx0 ), " ÎK số M=f(x ) Mmaxf(x) = xD Î gọi giá trị lớn hàm số f(x) K Kí hiệu: b) Nếu tồn điểm x0 ỴK cho f(x) ³f(xx0 ), " ÎK số m=f(x ) Mminf(x) = xD Î gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) K Kí hiệu: Nhận xét - Như để có M (hoặc m) giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f(x) K ta phải : a) f(x) £M (hoặc f(x) ³m ) với x ỴK 0Ỵ b) Tồn điểm xK cho f(x0 )=M (hoặc f(x0 )=m ) - Chú ý nói đến giá trị lớn hay giá trị nhỏ hàm số f(x) (mà khơng nói rõ “trên tập K’’) ta hiểu giá trị lớn giá trị nhỏ tập xác định - Mỗi hàm số liên tục đoạn [a;b] đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Hơn nữa: a) Nếu hàm số f(x) đồng biến đoạn [a;b] maxf(x)f(b) = b) Nếu hàm số f(x) nghịch biến đoạn [a;b] = ( ) = với yfx - Cho phương trình fxm minfxmmaxfx ( ) ££ D trình có nghiệm D xD Ỵ minf(x)f(b) = xD Ỵ và minf(x)f(a) = xD Ỵ maxf(x)=f(a) xD Ỵ ( ) hàm số liên tục D phương ( ) - Một hàm số đồng thời đạt giá trị lớn giá trị nhỏ tập K đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn không tồn hai giá trị Chẳng hạn: y=a+ x a) Xét hàm số bậc hai bx+c tập xác định K = ¡ + Khi a > hàm số có đạt giá trị nhỏ -b x= 2a cực tiểu hàm số + Khi a < hàm số có đạt giá trị lớn -b x= 2a cực đại hàm số x= -b 2a đồng thời giá trị x= -b 2a đồng thời giá trị xx b) Xét tập K = R hàm số bậc ba y=a+b+cx+ giá trị nhỏ K=\¡ c) Xét nhỏ d không tồn giá trị lớn -c ìü axb+ y= íý d hàm s ợỵ cxd+ khụng tn ti giỏ tr ln nht giá trị xx d) Xét hàm số trùng phương y=a+b +c tập xác định K = ¡ + Khi a > hàm số đạt giá trị nhỏ đồng thời giá trị cực tiểu hàm số + Khi a < hàm số đạt giá trị lớn đồng thời giá trị cực đại hàm số B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Phương pháp: Cho hàm số yfx = ( ) xác định liên tục [a;b] ¢ Bước Tính đạo hàm f(x) ¢ = tất iỴ Bước Tìm tất nghiệm x[a;b] phương trình f(x)0 ¢ khơng xác định [a;b] làm cho f(x) i điểm Bước Tính f(a) , f(b) , f(x)i , f()a i Bước So sánh giá trị tính kết luận Lưu ý: Mmaxf(x) = [a;b] , mminf(x) = [a;b] - Đối với tốn tìm GTLN, GTNN khoảng, nửa đoạn làm tương tự - Trong trường hợp khoảng khơng tồn giá trị f’(x) = khơng xác định kết luận khơng tìm GTLN, GTNN khoảng - Đối với toán xét tập xác định, tham khảo phần A.5 Lý thuyết Ví dụ minh hoạ đoạn [0;9 ] bằng: ( ) = 42 Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số fxx10x2 C - 26 B - 11 A - D - 27 Lời giải ( ) =Ta có f'x4x20x é x00;9 =Ỵ [ ê Û=Ỵ x50;9 [ ê ê x5=-Ï 0;9 ê ë f'x0 ( ) = Û-= 4x20x0 ( ) f02 ( ) =- ; f527 ; f95749 (=)= minfx27 ( ) =0;9 ] [ Vậy ] ] [ ] Chọn D = 32 Ví dụ Trên đoạn [2;1] , hàm số yx3x1 A x2=- B x0= đạt giá trị lớn điểm: C x1=- D x1= Lời giải Đặt y = f(x) = x3 3x2 y3x6xy0 Â=-ịÂ= Ta cú -=-=-=Ta có f(2)21;f(0)1;f(1)3 [2;1] - , x0= x0= é ê x2= ë Ta xét đoạn [2;1] nên loại x2= Do giá trị lớn hàm số đoạn Chọn B Ví dụ Tìm giá trị lớn M hàm số fxx13x2x4x3 ( ) =-+ -+ B M2.=- A M0.= = C M2 D M.= Lời giải TXĐ: D1;3 =[ ( =-+-££ ] Đặt tx13x2t2 ) 222 ắắđ=-+-+ ắắđ +-=tx13x2x13x2x4x32t ( ) =-++ Khi ú, tốn trở thành ''Tìm giá trị lớn hàm số gttt2 éù 2;2'' đoạn ëû gttt2 =-++ ( ) Xét hàm số Đạo hàm ¢( ) =-+ chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cần tìm = Diện tích hình chữ nhật: Sab Chu vi hình chữ nhật: Khảo sát hàm C2ab2a =+=+ ( 2S a ) 2S () a (0;+¥) , ta minfa4S= fa2a ( ) =+ aS= Chọn B Cách Ta có P2ab2.2ab4ab4S =+³== ( ) = xảy Û=ab Dấu '''' Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961m , người ta muốn mở rộng thêm phần đất cho tạo thành hình trịn ngoại tiếp mảnh vườn Biết tâm hình trịn trùng với tâm hình chữ nhật (xem hình minh họa) Tính diện tích nhỏ S phần đất mở rộng A S961961m =p- B S1922961m =p- ( ) ( ) C S1892946m =p- D S480,5961m =p- ( ) ( ) A B O C D Lời giải ( )ym ( Gọi xm, ( nhật; Rm y0 ) (x0,>> ) hai kích thước mảnh vườn hình chữ 22 ROB ) l bỏn kớnh hỡnh trũn ngoi tip mnh ắắđ== = Theo đề bài, ta có xy961m =-=ptronABCD Diện tích phần đất mở rộng: SSSRxy (xy+ ) =p-³p-=p.xy xy480,5961 22 Cosi 22 xy + 2xy 44 Chọn D = xảy ABCD hình vng Nếu phát Nhận xét Dấu '''' làm trắc nghiệm nhanh Bài tập vận dụng Câu Trong tất hình chữ nhật có chu vi 16 cm hình chữ nhật có diện tích lớn bằng: A 36cm B 20cm C 16cm D 30cm Câu Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc ( ) , gập nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh xcm nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x6= B x3= C x2= D x4= Câu Tính diện tích lớn S max hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn có bán kính 10cm, biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính đường trịn max = A S80cm max = C S160cm max = B S100cm max = D S200cm 2 = Câu Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đị từ A đến vị trí M bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc 6km/h Vị trí điểm M cách B khoảng gần với giá trị sau để người đến kho nhanh nhất? A 5km B M C 7km A 3,0km B 7,0km C 4,5km D 2,1km Câu Một sợi dây kim loại dài 60cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường trịn bán kính r a Để tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ tỉ số r bằng: a =1 A r a =2 B r a =3 C r a =4 D r Câu Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm chiều rộng 6cm Thực thao tác gấp góc bên phải cho đỉnh gấp nằm cạnh chiều dài lại Hỏi chiều dài L tối thiểu nếp gấp bao nhiêu? = cm A minL62 73 minL = cm C 93 minL = cm B = cm D minL92 Đáp án C C B C B B ... [ Câu 12 Trên nửa khoảng , hàm số : A Có giá trị lớn - 5, khơng có giá trị nhỏ B Khơng có giá trị lớn nhất, có giá trị nhỏ - C Có giá trị lớn - , giá trị nhỏ - D Khơng có giá trị lớn nhất, khơng... đoạn [- 1;1] B Hàm số có cực trị khoảng (- 1;1) C Hàm số giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [- 1;1] D Hàm số có giá trị nhỏ x = 1, giá trị lớn x = - =-++2 Câu Khi tìm giá trị lớn nhỏ hàm số yx3x4 sinh... A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ - D Hàm số đạt cực đại x0= đạt cực tiểu x1= 32 fxx3xa = + ( ) a Câu 24 Tìm giá trị thực tham số để hàm số