Toán 12 bài 4 ôn tập chương 1

Ôn tập chương I Bài 1 trang 26 Toán lớp 12 Hình học Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào? Lời giải Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất Mỗ[.]

Ôn tập chương I Bài trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Các đỉnh, cạnh, mặt đa diện phải thỏa mãn tính chất nào? Lời giải: Các đỉnh, cạnh, mặt đa diện phải thỏa mãn tính chất: - Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh, ba mặt; - Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt; - Hai mặt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Bài trang 26 Tốn lớp 12 Hình học: Tìm hình tạo đa giác đa diện Lời giải: +) Ví dụ 1: Hình khơng phải đa diện có cạnh cạnh chung mặt phẳng + Ví dụ 2: Hình tạo đa giác khơng phải đa diện Vì EF giao hai đa giác ABCD EFJI khơng phải cạnh chung hai đa giác Bài trang 26 Tốn lớp 12 Hình học: Thế khối đa diện lồi Tìm ví dụ thực tế mô tả khối đa diện lồi, khối đa diện không lồi Lời giải: Định nghĩa: Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) thuộc (H) Cụ thể: Với hai điểm M N thuộc khối đa diện (H) điểm đoạn thẳng MN thuộc khối đa diện (H) Ta gọi (H) khối đa diện lồi + Ví dụ khối đa diện lồi: + Ví dụ khối đa diện khơng lồi: + Các ví dụ hình học: (Hai điểm M, N thuộc khối đa diện đoạn MN nằm khối đa diện) Bài trang 26 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình lăng trụ hình chóp có diện tích đáy chiều cao Tính tỉ số thể tích chúng Lời giải: Gọi S diện tích đáy h chiều cao hình lăng trụ hình chóp, ta có: - Thể tích khối lăng trụ là: V1 = Sh - Thể tích khối chóp là: V2 = Vậy Sh V1 Sh = = V2 Sh Bài trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với OA = a, OB = b, OC = c Hãy tính đường cao OH hình chóp Lời giải: Ta có: OA ⊥ OB OA ⊥ OC  OA ⊥ ( OBC)  OA ⊥ BC (1) Vẽ AE ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ ( AOE )  ( ABC) ⊥ ( AOE ) , ( ABC)  ( AOE ) = AE (3) Trong mặt phẳng AOE, vẽ OH ⊥ AE (4) Từ (3) (4) suy OH ⊥ ( ABC ) Do OH đường cao hình chóp O.ABC Mặt khác BC ⊥ ( AOE )  BC ⊥ OE Tam giác OBC vng O có OE đường cao nên: 1 = + OE OB2 OC2 (5) Tam giác AOE vuông O có OH đường cao nên: 1 = + 2 OH OA OE (6) Từ (5) (6) suy ra: 1 1 1 b 2c + a 2c + a b = + + = + + = a b 2c OH OA OB2 OC2 a b2 c2 Vậy OH = abc b 2c + a 2c + a b Bài trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60o Gọi D giao SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC Lời giải: a) Gọi H hình chiếu S lên (ABC)  AH hình chiếu SA lên (ABC)  (SA; ( ABC ) ) = SAH = 60 Gọi E trung điểm BC  AE = AC.sin ACB = a.sin 60 = a Lại có H trọng tâm tam giác ABC 2 a a  AH = AE = = 3 Ta có tam giác SAH vng H nên: SA = AH a 2a = : = cosSAH 3 Lại có: SA ⊥ ( DBC) ( gt )  SA ⊥ DE Khi tam giác DEA vuông D  AD = AE cosDAE = a a cos60 = Khi đó: SD = SA – AD = 2a a 5a − = 12  VS.DBC SD 5a 2a = = : = VS.ABC SA 12 b) Tam giác SAH vuông H nên: SH = SA − AH = 2 a − a =a 3 1 a2 S = AB.AC.sin 60  = a.a = Diện tích tam giác ABC là: ABC 2 Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 a2 a3 VS.ABC = SH.SABC = a = 3 12 Do thể tích khối chóp S.DBC là: VS.DBC 5 a 3 5a 3 = VS.ABC = = 8 12 96 Bài trang 26 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Lời giải: Từ S dựng SH ⊥ (ABC), H thuộc mặt phẳng (ABC), dựng HE ⊥ AB,HF ⊥ BC,HI ⊥ AC với E  AB,F  BC,I  AC Ta có: AB ⊥ SH ( SH ⊥ ( ABC ) )    AB ⊥ ( SHE ) AB ⊥ HE   AB ⊥ SE Tương tự ta chứng minh được: SF ⊥ BC,SI ⊥ AC Khi đó, góc hợp (SAB), (SBC), (SAC) với đáy (ABC) là: SEH = SFH = SIH = 60  SHE = SHF = SHI  HE = HF = HI = r (Với r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Chu vi tam giác ABC là: 5a + 6a + 7a = 18a Suy nửa chu vi tam giác ABC là: p = 18a : = 9a Theo công thức Hê – rơng, diện tích tam giác ABC là: SABC = 9a ( 9a − 5a )( 9a − 6a )( 9a − 7a ) = 6a Lại có: SABC SABC 6a 2a = p r  r = = = p 9a  SH = EH tanSEH = r.tan 60 = 2a = 2a Vậy thể tích S.ABC là: 1 V = SH.SABC = 2a 2.6a = 8a 3 (đvtt) 3 Bài trang 26 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy AB = a, AD = b, SA = c Lấy điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD cho AB’ vng góc với SB, AD’ vng góc với SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: Ta có: BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) )    BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ AB BC ⊥ AB ( hcnABCD )  Mà AB ⊥ SB Nên AB ⊥ (SBC )  AB ⊥ SC (1) Chứng minh tương tự ta được: AD ⊥ (SCD )  AD ⊥ SC (2) Từ (1) (2) suy SC ⊥ ( ABD) Ta lại có: SB = AB2 + SA = a + c2 SC = SA + AC2 = SA + AB2 + BC2 = a + b + c 1 Ta có: SSAB = SA.AB = AB.SB 2  AB = SA.AB c.a = SB a + c2 Tương tự: AD = SA.AD b.c SA.AC c a + b ; AC = = = SD SC b2 + c2 a + b2 + c2 Lời giải: a) Ta chia khối lăng trụ cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ C.A’BB’ Sh S diện tích đáy, S = SABC = SA’B’C’ h chiều cao hình lăng trụ Ta có: VA’.ABC = VC.A’B’C’ = Lại có: VABC.A’B’C’ = S.h Do đó, 1 VC.ABB = Sh − Sh − Sh = Sh 3 Trong đó, tam giác ABC tam giác có độ dài cạnh a nên S = SABC Vì hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’= CC’ = a Vậy thể tích khối chóp C.A’BB’ là: a2 a3 VC.ABB = a = 12 Do thể tích khối tứ diện A’BB’C VABBC b) a3 = VC.ABB = 12 a2 = Thể tích hình chóp C.A′B′FE tổng thể tích hai hình chóp: - V1 thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy tam giác CEF - V2 thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy tam giác A′EC Do (ABC) // (A′B′C′) nên dễ thấy EF // AB Ta có: EF = 2 AB = a 3 Hình chóp B′.CEF có chiều cao BB′ = a diện tích đáy là: 1 2a a a SCEF = EF.CG = (với G trọng tâm tam giác ABC) = 2 3 a2 a3 Từ ta có: V1 = a = 27 2 Do EC = AC = a 3 1 a2 Nên SAEC = AA.EC = a a = 2 3 BI ⊥ AC Gọi I trung điểm A′C′ ta có:   BI ⊥ ( ACCA )  BI ⊥ ( AEC ) BI ⊥ AA  Hình chóp B′.A′EC có chiều cao B′I 1 a a2 a3 V2 = BI.SAEC = = 3 18 Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE a 3 a 3 5a 3 V = V1 + V2 = + = 27 18 54 a nên: Bài 11 trang 27 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh BB’ DD’ Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện Lời giải: Gọi O tâm hình hộp tâm hình bình hành BB’D’D Khi O trung điểm EF Ta có: A’  CO (1) CO  (CEF) (2) Mặt khác A’E // CF, A’F // CE Nên mp(CEF) cắt hình hộp theo thiết diện hình bình hành A’ECF Mp(CEF) chia hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (Đ) (Đ’) Gọi (Đ) khối đa diện có đỉnh A, B, C, D, A’, E, F (Đ’) khối đa diện lại Phép đối xứng qua tâm O biến đỉnh A, B, C, D, A’, E, F đa diện (Đ) thành đỉnh C’, D’, A’, B’, C, F, E khối da diện (Đ’) Suy phép đối xứng qua tâm O biến (Đ) thành (Đ’), nghĩa hai hình đa diện (Đ) (Đ’) Vậy tỉ số thể tích (Đ) (Đ’) Bài 12 trang 27 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M trung điểm A’B’, N trung điểm BC a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi (H) khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V( H ) V( H) Lời giải: a) Gọi M’ hình chiếu M lên mp(ABCD) Khi MM’ = AA’ = a Ta có: SABCD = SABN + SAND + SCND a a  a = a + SAND + a 2 2  SAND a2 = Thể tích khối tứ diện ADMN là: VADMN = VM.ADN 1 a2 a3 = SAND MM = a = 3 b) Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF ME // ND, FN // DE chia hình lập phương thành hai khối đa diện (H) (H’), gọi phần khối lập phương chứa A, B, A’, mặt phẳng (DMN) (H) Chia (H) thành hình chóp F.DBN, D.ABFMA’ D.A’EM Ta có: FN // ED  FBN đồng dạng với DDE  BF DD 4 a 2a = =  BF = BN = = BN ED 3 3 Ta có: SBDN 1 a2 = SBDC = SABCD = 2 Thể tích khối chóp F.DBN là: VF.BDN 1 a 2a a = SBND FB = = 3 18 1 a a a2 Lại có: SFMB = FB.BM = = 2 12 a 11a Diện tích ngũ giác ABFMA’ là: SABFMA = SABBA − SFMB = a − = 12 12 Thể tích khối chóp D.ABFMA’ là: 1 11a 11a VD.ABFMA = DA.SABFMA = a = 3 12 36 Mặt khác ta có: SAME 1 a a a2   = A M.A E = = 2 16 Thể tích khối chóp D.A’EM là: VD.AEM 1 a2 a3 = SAEM DD = a = 3 16 48 Do thể tích (H) là: a 11a a 55a + = V( H ) = VF.DBN + VD.ABFMA + VD.AEM = + 18 36 48 144 Suy thể tích (H’) là: V( H) = VABCD.ABCD − V( H ) = a − Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 55a 89a = 144 144 V( H ) V( H) 55a 55 = 1443 = 89a 89 144 Câu hỏi trắc nghiệm chương I Bài trang 27 Tốn lớp 12 Hình học: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? (A) Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau; (B) Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt nhau; (C) Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh; (D) Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt Lời giải: + Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt mệnh đề nên đáp án B Ví dụ: Tứ diện có đỉnh bốn mặt + Hình lập phương có đỉnh mặt nên đáp án A sai + Giả sử khối đa diện có số cạnh số đỉnh nên Đ = C, suy p = 2, tức mặt có cạnh (vơ lí) Do đáp án C sai + Giả sử khối đa diện có số cạnh số mặt nên M = C, suy n = 2, tức đỉnh đỉnh chung cạnh (vơ lí) Do đáp án D sai Chọn đáp án B Bài trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số đỉnh, mặt hình đa diện cũng: (A) Lớn 4; (B) Lớn 4; (C) Lớn 5; (D) Lớn Lời giải: Số đỉnh, mặt hình đa diện lớn Hình tứ diện có đỉnh mặt Cịn lại hình đa diện có nhiều đỉnh mặt ... a − Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 55a 89a = 14 4 14 4 V( H ) V( H) 55a 55 = 14 4 3 = 89a 89 14 4 Câu hỏi trắc nghiệm chương I Bài trang 27 Toán lớp 12 Hình học: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?... a − = 12 12 Thể tích khối chóp D.ABFMA’ là: 1 11a 11 a VD.ABFMA = DA.SABFMA = a = 3 12 36 Mặt khác ta có: SAME 1 a a a2   = A M.A E = = 2 16 Thể tích khối chóp D.A’EM là: VD.AEM 1 a2 a3... chóp B′.A′EC có chiều cao B′I 1 a a2 a3 V2 = BI.SAEC = = 3 18 Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE a 3 a 3 5a 3 V = V1 + V2 = + = 27 18 54 a nên: Bài 11 trang 27 Tốn lớp 12 Hình học: Cho hình hộp