Tính bất biến của các môđun và vành liên quan.pdf

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG Tên đề tài: TÍNH BẤT BIẾN CỦA CÁC MÔĐUN VÀ VÀNH LIÊN QUAN Mã số đề tài: 21.2CB01 Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thị Thu Hà Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Cơ LỜI CÁM ƠN Tập thể tác giả đề tài “Tính bất biến môđun vành liên quan” xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh hỗ trợ kinh phí tạo điều kiện để đề tài hồn thành Chúng tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ giúp đỡ, động viên chúng tơi q trình thực đề tài Những nhận xét, góp ý đồng nghiệp đặc biệt thành viên Hội đồng giúp chỉnh sửa thiếu sót để đề tài hồn thiện Lời cảm ơn cuối chúng tơi xin gửi đến Phịng Quản lý Khoa học Trường Đại học Công nghiệp hướng dẫn chúng tơi việc hồn thiện hồ sơ liên quan đến đề tài Xin chân thành cảm ơn PHẦN I THƠNG TIN CHUNG I Thơng tin tổng quát 1.1 Tên đề tài: Tính bất biến môđun vành liên quan 1.2 Mã số: 21.2CB01 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài Họ tên TT Đơn vị công tác Vai trò thực đề tài (học hàm, học vị) TS Nguyễn Thị Thu Hà Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Chủ nhiệm đề tài PGS TS Trương Cơng Quỳnh Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng Thành viên 1.4 Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học 1.5 Thời gian thực hiện: 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng năm 2022 đến tháng năm 2023 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm… 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng năm 2022 đến tháng 10 năm 2022 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): (Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết nghiên cứu tổ chức thực hiện; Nguyên nhân; Ý kiến Cơ quan quản lý) 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 60 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề: Như biết, lớp vành tựa nội xạ môđun tựa nội xạ đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành môđun Khái niệm môđun tựa nội xạ JohnsonWong giới thiệu nghiên cứu năm 1961 Một mơđun tựa nội xạ bất biến qua tất tự đồng cấu bao nội xạ (xem [8]) Năm 1969, tác giả Dickson-Fuller chứng minh mơđun khơng phân tích K-đại số với K trường tựa nội xạ bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Xuất phát từ kết này, tác giả Lee Zhou nghiên cứu lớp môđun bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Một mơđun bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ gọi mơđun bất biến đẳng cấu Mục tiêu để tài tiếp tục nghiên cứu tính chất khác mở rộng môđun bất biến đẳng cấu đối ngẫu chúng Đồng thời đưa đặc trưng số lớp vành quan trọng thông qua lớp môđun tổng qt hóa chúng a) Tình hình nghiên cứu quốc tế Dựa vào kết Dickson-Fuller tác giả Lee Zhou nghiên cứu lớp môđun bất biến đẳng cấu năm 2013 Một số đặc trưng lớp môđun tìm (xem [9]) Các tính chất làm tảng để nghiên cứu đặc trưng khác chúng số lớp vành liên quan Họ chứng minh khẳng định sau: môđun M bất biến đẳng cấu đẳng cấu hai môđun cốt yếu M mở rộng đến tự đồng cấu M Hơn nữa, môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn điều kiện C3 Kết làm rõ mối liên hệ môđun bất biến đẳng cấu lớp môđun tựa liên tục liên tục Jain Utumi nghiên cứu (xem [13]) Mặt khác, vành nửa đơn môđun hữu hạn sinh vành bất biến đẳng cấu Kết mở rộng kết tiếng Osofsky cho lớp mơđun nội xạ (xem [10]) Ngồi ra, tác giả cịn mơđun bất biến đẳng cấu tổng trực tiếp hai mơđun chúng nội xạ tương hỗ Kết mối liên hệ môđun bất biến đẳng cấu lớp môđun ADS tác giả Alamadi, Jain Leroy nghiên cứu (xem [1]) Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun bất biến đẳng cấu, tác giả Er, Srivastava Singh chứng minh lớp môđun bất biến đẳng cấu lớp môđun giả nội xạ trùng (xem [4]) Khái niệm môđun giả nội xạ tác giả Jain Singh định nghĩa nghiên cứu vào năm 1967 (xem [14]) Kết cho thấy môđun giả nội xạ bất biến qua tự đẳng cấu bao nội xạ Như vậy, lớp môđun giả nội xạ mở rộng tự nhiên lớp môđun tựa nội xạ Đồng thời sử dụng kết kết D Q Hai ta có khẳng định sau: môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn điều kiện C2 (xem [6]) Khẳng định trả lời câu hỏi mở Lee Zhou Hơn nữa, tác giả Er, Srivastava Singh đưa phân tích quan trọng mơđun bất biến đẳng cấu là: mơđun bất biến đẳng cấu tổng trực tiếp môđun tựa nội xạ môđun vuông - tự (squarefree) Sử dụng kết này, tác giả đưa phân tích cho lớp vành mà mơđun phải xyclic bất biến đẳng cấu Theo vành tổng trực tiếp vành nửa đơn vành vuông-tự phải Năm 2013, tác giả Guil Asensio Srivastava chứng minh vành tự đồng cấu môđun bất biến đẳng cấu vành nửa quy Jacobson vành trùng với iđêan phải suy biến (xem [5]) Kết mở rộng kết Osofsky cho môđun tựa nội xạ kết tương tự Utumi cho mơđun liên tục Ngồi ra, tác giả chứng minh định lý sau: môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất biến đổi Các kết làm tảng để nghiên cứu tính chất khác vành thông qua lớp môđun bất biến đẳng cấu Một khái niệm đối ngẫu môđun bất biến đẳng cấu nghiên cứu Singh Srivastava năm 2012 Một môđun M gọi đối bất biến đẳng cấu môđun đối cốt yếu K1, K2 M, tồn cấu đối cốt yếu từ M/K1, đến M/K2 nâng đến tự đồng cấu M Một số tính chất lớp môđun áp dụng chúng đến số lớp vành nghiên cứu (xem [11]) Các tác giả chứng minh kết sau: mơđun M vành hồn chỉnh phải với phủ xạ ảnh p từ P đến M đối bất biến đẳng cấu hạt nhân p bất biến tất tự đẳng cấu P Với kết này, cho phép nghiên cứu lớp môđun đối bất biến đẳng cấu cách dễ dàng so với khái niệm ban đầu Ngoài ra, tác giả khẳng định V-vành phải môđun phải đối bất biến đẳng cấu Một số cơng trình tác giả nước ngồi liên quan đến đề tài: A Alahmadi, S K Jain, A Leroy, ADS modules, J Algebra 352 (2012), 215-222 I Amin, I Yasser, M Yousif, C3-modules, Algebra Colloq 22 (4) (2015), 655-670 S E Dickson, K R Fuller, Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope, Pacific J Math 31 (3) (1969), 655-658 N Er, S Singh, A Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379 (2013), 223-229 P A Guil Asensio, A K Srivastava, Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra 388 (2013), 101-106 D Q Hai, A note on pseudo-injective modules, Commu Algebra, 33(2005), 361-369 S K Jain, S Singh, Rings with quasi-projective left ideals, Pacific J Math 60(1) (1975), 169-181 R E Johnson and F.T Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J London Math Soc 36 (1961), 260-268 T K Lee, Y Zhou, Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2) (2013), 1250159 (9 pages) 10 B Osofsky, Rings all of whose finitely generated modules are injective, Pac J Math 14 (1964), 645-650 11 S Singh, A K Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J Algebra 371 (2012), 262-275 12 S Singh, A K Srivastava, Rings of invariant module type and automorphism-invariant modules, Ring Theory and Its Applications, Contemporary Mathematics, Amer Math Soc 609 (2014), 299-311 13 Y Utumi, On continuous rings and self injective rings, Trans Am Math Soc 118 (1965), 158-173 14 S K Jain and S Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Can Math Bull 18 (1975), 359-366 b) Tình hình nghiên cứu nước Năm 2015, tác giả Tùng cộng tiếp tục nghiên cứu tính chất mơđun bất biến đẳng cấu vành tự đồng cấu chúng mối liên hệ tự đồng cấu môđun bất biến đẳng cấu bao nội xạ chúng nghiên cứu Hơn nữa, tác giả số trường hợp lớp môđun bất biến đẳng cấu tựa nội xạ trùng Ngồi ra, mối liên hệ mơđun bất biến đẳng cấu vành Boolean nghiên cứu (xem [15]) Như biết, môđun bất biến đẳng cấu ADS Một trường hợp tổng quát môđun ADS Hải nghiên cứu công trình đặc trưng vành nửa đơn thơng qua tổng qt hóa mơđun ADS Ngồi ra, tác giả cịn đặc trưng tương đương Morita lớp mơđun tổng qt hóa (xem [19]) Các tác giả Er, Srivastava Singh trả lời câu hỏi mở Lee Zhou, môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn điều kiện C2 từ suy mơđun bất biến thỏa mãn điều kiện C3 Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện C3, Nhân cộng chứng minh vành nơte phải V-vành phải môđun phải với đế cốt yếu có C3-phủ Ngồi ra, số đặc trưng vành artin chuỗi thông qua lớp môđun C3 nghiên cứu (xem [16, 17]) Một kết tác giả Lee Zhou khẳng định môđun tựa nội xạ bất biến đẳng cấu CS Hiện nay, số lớp vành đặc trưng thông qua lớp môđun xyclic thỏa mãn điều kiện nội xạ quan tâm nghiên cứu Năm 2010, tác giả Huynh Tai nghiên cứu chứng minh R-môđun phải suy biến vành đơn Goldie phải CS, vành thương R/Soc(R) vành nơte phải (xem [21]) Kết mở rộng kết Huynh, Jain Lopez cho vành đơn Một kết khác Er, Srivastava Singh khẳng định môđun bất biến đẳng cấu giả nội xạ trùng Một nghiên cứu tổng quát hóa môđun giả nội xạ tựa nội xạ quan tâm năm gần Đặc biệt áp dụng chúng vào số lớp vành biết Chẳng hạn, tác giả Sanh học trị ơng nghiên cứu trường hợp tổng qt mơđun giả nội xạ, mơđun giả nội xạ Họ chứng minh kết sau: vành Kasch phải giả nội xạ chính, tồn song ánh lớp tất iđêan trái cực tiểu vành lớp tất iđêan phải cực đại vành (xem [25]) Mặt khác, nhóm tác giả Thuyet, Dan, Thoang Dung nghiên cứu đặc trưng lớp vành tựa Frobenius vành co-Harada thông qua điều kiện nội xạ điều kiện dây chuyền Nhóm tác giả chứng minh khẳng định sau: vành co-Harada phải vành cho thỏa mãn điều kiện dây chuyền iđêan phải cốt yếu tổng trực tiếp hai vành cho môđun CS phải Hơn nữa, vành tựa Frobenius vành cho co-Harada phải Jacobson vành trùng với iđêan suy biến phải vành (xem [26, 28]) Một số cơng trình tác giả nước liên quan đến đề tài: 15 A Alahmadi, A Facchini, N K Tung, Automorphism-invariant modules, Rend Semin Mat Univ Padova 133 (2015), 241-259 16 A Abyzov, T N H Nhan, T C Quynh, Modules close to SSP- and SIP-modules, Lobachevskii J Math., 38 (1) (2017), 16-23 17 A Abyzov, T C Quynh, T N H Nhan, SSP rings and modules, Asian-Eur J Math (1) (2016), 1650022 (9 pp) 18 N Er, S López-Permouth, N K Tung, Rings whose cyclic modules have restricted injectivity domains, J Algebra 466 (2016), 208-228 19 P T Hai, On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii J Math 37 (3) (2016), 323-332 20 P T Hai, On modules and rings satisfy condition C, Asian-Eur J Math (2) (2016), 1650045 (14 pp) 21 D V Huynh, D D Tai, Cyclic modules over simple Goldie rings, Acta Math Vietnam 35 (2) (2010), 329-334 22 D V Huynh, D D Tai, A note on V-rings, Southeast Asian Bull Math 33 (6) (2009), 1071-1074 23 D V Huynh, S K Jain and S R Lopez-Permouth, When is a simple ring noetherian?, J Algebra 184 (1996), 786-794 24 T C Quynh, P H Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-Eur J Math (2012), 1250041 (12 pp) 25 B Samruam, H D Hai, N V Sanh, On pseudo-P-injectivity, Southeast Asian Bull of Math., 35 (1) (2011), 21- 27 26 B Samruam, H D Hai, N V Sanh, A general form of pseudo p-injectivity, Southeast Asian Bull of Math., 35 (6) (2011), 927-993 27 L D Thoang, A characterization of co-Harada ring, Asian-Eur J Math (2) (2013), 1350017 (7 pp) 28 L D Thoang, A note on generalizations of quasi-Frobenius rings, Asian-Eur J Math (3) (2016), 1650067 (4 pp) 29 L V Thuyet, P Dan, B D Dung, On a class of semiperfect rings, J Algebra Appl 12 (6) (2013), 1350009 (13 pp) Lớp vành mà môđun xyclic tựa xạ ảnh nghiên cứu tác giả Koehler; vành thỏa mãn điều kiện gọi q*-vành Tác giả thu số đặc trưng cấu trúc q*-vành nửa hoàn chỉnh Một vành gọi a*-vành phải tất iđêan phải đối bất biến đẳng cấu Các lớp vành tác giả Singh and Srivastava đưa chưa nghiên cứu đầy đủ Trong phần nghiên cứu này, nghiên cứu mối liên hệ a-vành a*-vành chứng minh kết sau (xem [30]): Một số cơng trình chủ nhiệm đề tài thành viên liên quan đến đề tài: 30 M T Kosan, Nguyen Thi Thu Ha, and T C Quynh, Rings for which every cyclic module is dual automorphism-invariant, J Algebra Appl., 15 (5) (2016) 1650078 (11 pages) 31 T.C Quynh, A Abyzov, Nguyen Thi Thu Ha, Y Tulay, Modules close to the automorphism invariant and coinvariant, Journal of Algebra and its Application 18 (2019), 1950235 32 M T Kosan, T.C Quynh and A K Srivastava, Rings with each right ideal automorphism-invariant, J Pure Appl Algebra, 220 (4) (2016), 1525-1537 33 Pedro A Guil Asensio, T.C Quynh, Ashish K Srivastava, Additive unit structure of endomorphism rings and invariance of modules, Bulletin of Math Sciences, 7(2) (2017), 229246 34 T.K Lee, Truong Cong Quynh, The dual Schoder-Berstein Theorem for modules, Communications in Algebra, 48(9)(2020), 3904-3915 35 M Tamer Kosan, Truong Cong Quynh, S Serap, Weakly automorphism invariant modules and essential tightness, Commu Algebra, 45(8) (2017), 3531-3541 36 M Tamer Kosan, Truong Cong Quynh, Nilpotent-invariant rings and modules, Commu Algebra, 45(7) (2017), 2775-2782 37 Truong Cong Quynh, M T Kosan, On automorphism-invariant modules, J Algebra Appl., (2015), 1550074 38 Truong Cong Quynh and M Tamer Kosan, Modules with ADS-(pre)envelopes and ADS-(pre)covers, Journal of Algebra and its Application, 17(5) (2018), 1850096 39 Truong Cong Quynh, A Abyzov, N T T Ha, Y Tulay, Modules close to the automorphism invariant and coinvariant, Journal of Algebra and its Application 18 (2019), 1950235 40 Truong Cong Quynh, A Abyzov, M T Kosan, On (weakly) cohopfian automorphisminvariant modules, Communications in Algebra, 48(7) (2020), 2894-2904 41 Truong Cong Quynh, A Abyzov, D D Tai, Modules which are invariant under nilpotents of their envelopes and covers, Journal of Algebra and its Applications, ̣(2020) https://doi.org/10.1142/S0219498821502182 42 Truong Cong Quynh, A N Abyzov, D T Trang, Rings all of whose finitely generated ideals are automorphism-invariant, Journal of Algebra and its Applications, (2021) https://doi.org/10.1142/S0219498822501596 43 A Abyzov, L V Thuyet, Truong Cong Quynh, A A Tuganbaev, Modules which are coinvariant under idempotents of their covers, Siberian Mathematical Journal, 60 (2019), 927-939 44 A N Abyzov, Truong Cong Quynh, A A Tuganbaev, Modules that are invariant with respect to automorphisms and idempotent endomorphisms of their hulls and covers, Journal of Mathematical Sciences, 159(2019), 3-45 45 Le Van Thuyet, Phan Dan and Truong Cong Quynh, On rings with envelopes and covers regarding to C3, D3 and flat modules, J Algebra and Its Applications, (2020) https://doi.org/10.1142/S0219498821502285 46 Tsiu-Kwen Lee, Jheng-Huei Lin, T.C.Quynh, Triplet invariance and parallel sums, Bulletin of the Australian Mathematical Society, (2021) https://doi.org/10.1017/S0004972720001550 c) Đánh giá kết cơng trình nghiên cứu công bố (ưu, khuyết, tồn tại…) Các cơng trình tìm nhiều đặc trưng lớp mơđun bất biến đẳng cấu Ngồi ra, cấu trúc lớp vành thơng qua tính bất biến môđun nghiên cứu Đặc biệt, nhiều cấu trúc lớp vành cổ điển đưa Tuy nhiên, số cấu trúc vành thơng qua tính xyclic mơđun đối ngẫu chúng chưa tác giả nước nghiên cứu Ngoài ra, mối liên hệ môđun bất biến lũy linh lớp môđun tựa nội xa cốt yếu, đặc trưng vành thông qua tính bất biến lũy linh chưa nghiên cứu d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học) Đề tài tập trung nghiên cứu tính chất mơđun bất biến đẳng cấu, đối bất biến đẳng cấu, bất biến lũy linh liên quan đến mở rộng mơđun nội xạ, sau đặc trưng vành liên quan Hơn nữa, đề tài hướng đến việc giải số toán mở liên quan tính bất ... R vành tựa Frobenius, R vành CF phải CIS phải R vành Arin phải Tính chất vành tựa Frobenius đưa cách sử dụng vành CIS Ngoài ra, nhiều mệnh đề quan trọng liên quan đến vành CS mở rộng thành vành. .. đẳng cấu Theo vành tổng trực tiếp vành nửa đơn vành vuông-tự phải Năm 2013, tác giả Guil Asensio Srivastava chứng minh vành tự đồng cấu môđun bất biến đẳng cấu vành nửa quy Jacobson vành trùng với... M A hạng tử trực tiếp M Môđun M môđun liên tục M vừa CS C2 -môđun Vành R vành C2 phải (tương ứng, vành liên tục) môđun C2 -môđun (tương ứng, môđun liên tục) Vành C2 trái định nghĩa tương tự 19