SỬ DỤNG TÍNH BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN “tailieumontoan com” Date 1 Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp một lớp các bài toán mà để giải các bài toán đó ta phải[.]
SỬ DỤNG TÍNH BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI TỐN Date “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến Trong q trình giải tốn, gặp lớp toán mà để giải tốn ta phải phát quy luật chúng Các quy luật ta thực số thao tác đối tượng đến II Bài tâp Bài Có tờ giấy, ta xé làm năm mảnh Lại lấy năm mảnh nhỏ xé làm năm mảnh khác, với mảnh có ta lại xé làm năm mảnh nhỏ,….Cứ tiếp tục kéo dài trình xé vậy, hỏi có ta nhận 2016 mảnh giấy hay khơng? 2017 mảnh giấy hay khơng? Lời giải tổng, tích…của biến không thay đổi Khi ta xé mảnh giấy làm năm mảnh nhỏ số mảnh giấy tăng thêm Vì lúc đầu có mảnh giấy nên thời điểm nào, số mảnh giấy có dạng Ví dụ: Cho a, b, c số thực ta xét tổng 4k + k ∈ N * , biểu thức bất biến S = a + b + c Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho q trình xé giấy Vì 2016 khơng có dạng 4k + 1, nên không xé 2016 mảnh Vì 2017 = 504.4 + 1, nên ta xé 2017 mảnh sau lần xé thứ 504 lúc xuất bất biến tính chẵn lẻ, a, tổng S ln ln (không đổi) Tổng không thay đổi thứ tự phép cộng Dù a, b, c có thay đổi thứ tự S không thay đổi, nghĩa S bất biến việc thay đổi biến khác Giải toán đại lượng bất biến Để giải toán đại lượng bất biến ta thực theo bước sau: + Bước 1: Ta phải phát đại lượng bất biến tốn Bước tương đối khó ta không luyện tập thường xuyên + Bước 2: Xử lý tiếp đại lượng bất biến để tìm điểm mâu thuẫn ( ) Bài Trên bảng viết số tự nhiên 1, 2, 3, … , 2002 Ta tiến hành trò chơi sau: Mỗi lần ta xóa hai số thay vào số tổng hiệu hai số bị xóa Kéo dài q trình nhiều lần cho bảng cịn số dừng lại Hỏi số cuối số hay khơng? Lời giải Ta thấy q trình xóa số cho ta tình sau: - Nếu xóa số chẵn số lẻ thay số lẻ, số số lẻ khơng thay đổi - Nếu xóa hai số chẵn thay số chẵn số số lẻ khơng thay đổi - Nếu xóa hai số lẻ thay số chẵn số số lẻ giảm số Như sau lần xóa số số lẻ khơng đổi, giảm số Nghĩa thời điểm số số lẻ ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ khơng thay đổi tính chẵn lẻ (đây bất biến tốn) Do lúc đầu bảng có 1001 số lẻ nên cịn lại cuối phải số lẻ, số lại cuối khác Qua hai toán bạn hiểu thêm khái niệm “bất biến” tốn Do việc phát bất biến toán định cho việc giải tốn Chúng ta tiếp tục làm quen với toán khác mà việc phát bất biến có khó Bài Trên bảng viết 2016 số, số nhận ba giá trị 0, Mỗi lần ta xóa hai số khác (có giá trị khác nhau) thay vào số thứ ba (có giá trị thứ ba) Chứng minh kéo dài q trình xóa bảng cịn số số cịn lại khơng phụ thuộc vào q trình xóa Lời giải Sau lần xóa số lượng loại số giảm tăng thêm Nghĩa sau lần xóa, số lượng loại số thay đổi tính chẵn lẻ chúng Vì cuối bảng lại số, nghĩa hai số 0, 1, có số lượng khơng, cịn số thứ ba có số lượng Nghĩa lúc đầu ba số 0, 1, phải có hai số có số lượng tính chẵn lẻ khác tính chẵn lẻ với số cịn lại (đây bất biến tốn) Do cuối cịn lại số bảng số mà lúc đầu có số lượng khác tính chẵn lẻ với hau loại số cịn lại (khơng phụ thuộc vào thứ tự thực cách xóa) Bài Trên bảng ta viết ba số nguyên Ta thực thao tác sau: Xóa số viết vào tổng hai số cịn lại trừ Lập lại thao tác nhiều lần, cuối ta nhận ba số 19, 1945, 2015 Hỏi với thao tác số ta số 2, 2, không? Lời giải Giả sử lúc đầu ta có ba số 2, 2, sau bước ta nhận ba số 2, 2, gồi hai số chẵn số lẻ Từ bước thứ hai trở ta ln nhận ba số mà ln có hai số chẵn số lẻ, dù số (vì tổng hai số chẵn từ số lẻ, tổng số chẵn với số lẻ trừ số chẵn) bất biến toán Do kết cuối ba số lẻ nên ta khơng nhận ba số 19,1945, 2015 ba số Bài Có ba đống sỏi với số lượng viên tương ứng 10, 15, 20 Mỗi lần ta chọn hai đống chuyển từ đống viên sang đống thứ ba Cứ làm số lần, hỏi nhận ba đống sỏi có số viên khơng (mỗi đống có 15 viên)? Lời giải Ta thấy đem chia số lượng sỏi lúc đầu ba đống cho 3, ta ba số dư 1, 0, Sau lần thực theo yêu cầu đầu dễ thấy dư phép chia số viên ba đống sỏi cho số 0, 1, (bất biến) Điều chứng tỏ thực yêu cầu đầu để ba đống sỏi có số viên Bài Trên bảng ta viết 100 dấu cộng 115 dấu trừ Ta thực thao tác sau: Mỗi lần xóa hai dấu thay vào dấu cộng hai dấu bị xóa giống nhau, cịn thay vào dấu trừ hai dấu bị xóa khác Hỏi dấu lại cuối bảng dấu gì? Lời giải Nếu ta coi thao tác “xóa” phép tính nhân số âm, số dương ta có bảng sau: (+).(+) = (+), (-).(-) = (+), (+).(-) = (-), (-).(+) = (-) Như sau lần xóa số dấu trừ khơng đổi giảm 2, nghĩa số dấu trừ không thay đổi tính chẵn lẻ (bất biến) Vì lúc đầu số dấu trừ lẻ nên cuối phải lại dấu trừ Bài Trên “thần” mọc 25 chuối 30 cam Mỗi ngày người chủ hái hai sau lại mọc theo quy luật: Nếu người chủ hái hai giống cam, hai hái khác chuối Hỏi cịn lại cuối gì? Lời giải Lý luận giống ta thấy số chuối số lẻ.Vậy cuối cuối Bài Cho ba số 1, + 2, − Sau bước ta thay ba số, số trung bình cộng hai số Hỏi sau số bước ta nhận ba số 1, + 2, − 2, hay không? Lời giải Dễ thấy với thao tác cho đề sau bước tổng ba số luôn không đổi (bằng 4), mà tổng ba số cưới 5, nên câu trả lời Bài Cho 2n + số tự nhiên thỏa mãn: Từ 2n số số ln chia thành hai nhóm (mỗi nhóm có n số) có tổng Chứng minh tất 2n + số Lời giải Giả sử 2n + số a ≤ a ≤ a ≤ ≤ a 2n + ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ( 1) - Từ đề suy tổng 2n số ln chẵn, nên 2n + số có tính chẵn lẻ -Vì dãy (1) thỏa mãn đầu nên dãy sau thỏa mãn đầu bài: = a − a ≤ a − a ≤ a − a ≤ ≤ a 2n + − a (2) Suy số dãy (2) tính chẵn lẻ, mà dãy có số nên tất số dãy (2) chẵn - Đem chia tất số dãy (2) cho 2, ta dãy mới: = b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ≤ b2n + ( ) thỏa mãn đầu Do lí luận ta có tất số dãy (3) số chẵn (đây bất biến tốn) - Lại đem số dãy (3) chia cho ta dãy mới: = c ≤ c ≤ c ≤ ≤ c 2n + ( ) thỏa mãn đầu gồm toàn số chẵn Lại đem số dãy (4) chia cho 2… Rõ ràng trình kéo dài vô hạn, nghĩa số dãy (2) chia hết cho 2n với số tự nhiên n Điều xảy với tất số dãy (2) Từ suy điều phải chứng minh Bài 10 Trong bảng ô vng kích thước 100 × 100 ta điền vào ô dấu (+) Ta tiến hành biến đổi sau: Mỗi lần ta đổi dấu tất ô hàng cột (dấu (+) thành (-) dấu (-) thành (+)) Hỏi sau số hữu hạn bước biến đổi trên, liệu bảng có 2016 dấu trừ hay khơng? Lời giải Giả sử sau số bước biến đổi bảng có 2016 dấu trừ Giả sử hàng thứ i ta đổi dấu x i lần, cột thứ j ta đổi dấu y i lần Như dấu ô (i;j) thay đổi x i + y j lần Suy ô có dấu (-) x i + y j số lẻ Gọi p số số lẻ số x i , q số số lẻ số y i Khi tổng số dấu (-) bảng p ( 100 − q ) + ( 100 − p ) q= 100 p + 100q − pq ta nhận đẳng thức 100 p + 100q − pq = 2016 ⇔ ( p − 50 )(q − 50 ) = 1492 = 12.131 (*) Vì 131 số nguyên tố nên hai số p – 50 q – 50 phải chia hết cho 131 Giả sử p − 50 131 −50 ≤ p − 50 ≤ 50 nên suy p – 50 = 0, điều trái với (*) Vậy thực theo yêu cầu đầu 1 1 Bài 11 Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ; Từ ; 2018 2019 số viết xố số x, y viết lên bảng số xy ( số lại bảng giữ nguyên) Tiếp x +y +1 tục thực thao tác bảng lại số Hỏi số bao nhiêu? Lời giải xy 1 1 ⇒ = + + Đặt z = x + y + z x y xy 1 + 1= + + (1) z x y Với tập số dương {x ; x ; x n } tùy ý, xét biểu ⇒ thức P ( x ; x ; x n ) = + + + x1 x2 xn Từ (1) suy lần xóa số x; y viết lên bảng số xy số lại bảng giữ nguyên x +y +1 giá trị biểu thức P số bảng không đổi Gọi số cuối a 1 1 1 ⇒ P (a ) = P ; ; ; ; ; 2018 2019 1 1 ⇒ + = + + + 1. + 1 a 1 2 2018 2019 = 2020! 1 ⇒a = 2020!− Bài 12 Trên bảng đen viết ba số Ta bắt đầu thực trò chơi sau: Mỗi lần chơi ta xố hai số ba số bảng, giả sử a b viết vào a −b a +b vị trí vừa xố hai số đồng thời giữ 2 nguyên số lại Như sau lần chơi bảng có ba số Chứng minh dù ta có chơi lần bảng khơng đồng thời có ba số ; 2; + 2 Lời giải ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 2; 2; Giả sử ba số bảng a , b , c , thay a , b x = a +b y = a −b 2 a +b a −b 2 Khi ta có x += y + a + 2ab + b + a − 2ab + b = = a + b2 Như sau xoá số a, b thay hai số a +b Lời giải Trước tiên, ta tơ màu xen kẽ hình quạt, có tơ màu (ô màu) ô không tô màu (ô trắng) Ta có nhận xét : a −b tổng bình phương hai số 2 khơng đổi Do tổng bình phương ba số 13 bảng không đổi + + = 2 Mặt khác tổng bình phương ba số 1 13 ; 2; + + + + 2 ≠ 2 8 Vậy đồng thời bảng ba số ; 2; + 2 Bài 11 Trên bảng viết số 2014 2015 Mỗi lần biến đổi, , , , , 2015 2015 2015 2016 xóa hai số a, b thay số a + b − 5ab Hỏi sau 2014 lần thực phép biến đổi bảng lại số nào? Lời giải Trong dãy số có số 403 = 2015 Nếu xóa hai số a b thay số c = a + b − 5ab , sau lần xóa day giảm số Như sau 2014 lần xóa bảng cịn lại số Đến lúc ta xóa số b ta thay 1 + b − b = 5 1 Như xóa số lại xuất số Vậy số 5 cuối lại c = Bài 12 Một hình trịn chia thành 10 hình quạt, ô người ta đặt viên bi Nếu ta di chuyển viên bi theo quy luật : lần lấy ơ viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược chuyển tất viên bi không ? Nếu di chuyển bi ô màu bi ô trắng tổng số bi ô màu không đổi Nếu di chuyển ô màu, ô bi tổng số bi ô màu giảm Nếu di chuyển ô trắng, bi tổng số bi ô màu tăng lên Vậy tổng số bi ô màu không đổi, giảm tăng lên Nói cách khác, tổng số bi màu khơng thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu Ban đầu tổng số bi ô màu viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi màu ln khác khác 10, khơng thể chuyển tất viên bi ô Bài 13 Giả sử n số lẻ ta viết lên bảng số từ đến 2n, sau chọn số a b viết lại số a − b Chứng minh số cuối lại bảng số lẻ Lời giải Tổng số bảng ban đầu là: S = + +….+ 2n = n(2n + 1) Ta thấy n lẻ nên S lẻ Mà với thao tác tổng giảm 2.min {a ; b } tính chãn lẻ tổng khơng đổi Vì ban đầu S số lẻ nên số cuối lại bảng số lẻ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Trên bảng ta viết 10 dấu cộng 15 dấu trừ vị trí Ta thực xóa dấu viết vào dấu cộng xóa dấu giống dấu trừ xóa dấu khác Hỏi bảng cịn lại dấu ta thực thao tác 24 lần? Bài Cho số 2,8,1,0,1,9,9,5 viết vòng tròn Cứ số cạnh ta cộng thêm vào số Hỏi sau số lần thực thao tác số vịng trịn không? Bài 3.Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành mảnh 11 mảnh Các mảnh nhận lại chọn để cắt (thành mảnh 11 mảnh nhỏ hơn) Cứ ta nhận 2005 mảnh cắt khơng ? Bài Mỗi số dãy 21, 22, 23, , 22005 thay tổng chữ số Tiếp tục làm với số nhận tất số có chữ số Chứng minh dãy : số số nhiều số số Bài Trên bảng ô vuông, ô người ta điền tồn dấu + Sau thực trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các dịng thứ i đổi dấu i lần, i = 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j + lần, j = 1, 2, , 2019 Tính số dấu cịn lại bảng vng sau thực xong q trình đổi dấu Bài Ba bạn A,B,C chơi trò chơi: Sau A chọn hai số tự nhiên từ đến ( giống ), A nói cho B tổng nói cho C tích hai số Sau câu đối thoại B C B nói : Tơi khơng biết hai số A chọn chắn C khơng biết C nói: Mới đầu tơi khơng biết biết hai số A chọn Hơn , số mà A đọc cho tơi lớn số bạn B nói: À, tơi biết hai số A chọn Xem B C nhà suy luận logic hoàn hảo, cho biết hai số A chọn hai số ? Bài 7: Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 1 1 Bài 8: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; 1 ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u + v + uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Ta thay dấu cộng số dấu trừ -1 Ta thấy tích số bảng -1 Mà theo cách thực ta xóa số viết vào tích số đó, đồng thời ta thực 24 lần nên suy tích tất số bảng khơng đổi tích số bảng ln -1 Do đó, thực thao tác 24 lần bảng cịn lại dấu - Bài 2.Ta nhận thấy tổng số vòng tròn số lẻ nên thực thao tác tổng tăng lên nên tính chẵn lẻ tổng không đổi Mặt khác số số vòng tròn chẵn nên số tổng số lẻ suy mâu thuẫn Bài Sau lần cắt mảnh giấy thành mảnh 11 mảnh số mảnh giấy tăng lên 10 Như tính bất biến tốn “số mảnh giấy tăng lên bội số 5” Vậy số mảnh giấy sau lần cắt có dạng + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt trên, từ tờ giấy ban đầu, ta cắt thành 2005 mảnh Bài Ta thấy : “Số tự nhiên A tổng chữ số A số dư phép chia cho 9” Mặt khác ta có : 21 chia cho dư ; 22 chia cho dư ; 23 chia cho dư ; 24 chia cho dư ; 25 chia cho dư ; 26 chia cho dư ; 27 chia cho dư ; Do 26k + r nhận số dư phép chia cho 2, 4, 8, 7, 5, tương ứng với giá trị r 1, 2, 3, 4, 5, Dãy cuối nhận gồm 2005 số thuộc tập hợp {2 ; ; ; ; ; 1} Ta có 2005 = 334 x + nên dãy cuối có 335 số (nhiều số số khác số) Vậy số số nhiều số số số Bài Theo q trình đổi dấu vng dịng i cột j đổi dấu i + j + lần Mà i + j + i + j hai số khơng tính chẳn lẻ (vì ( i + j + 1) − ( i + j ) = j + số lẻ) Do vng dịng i cột j mà i + j số lẻ đổi dấu số chẵn lần dấu vng dấu +, cịn vng dịng i cột j mà i + j số chẵn đổi dấu số lẻ lần dấu vng dấu – Mà từ đến 2019 có 1009 số chẵn 1010 số lẻ nên số cặp ( i; j ) mà i + j 1009.1010+1010.1009=2038180 Bài Khi biết tổng B nói : Tơi khơng biết số A chọn chắn C khơng biết Do ta loại cặp có tổng 2; 3; 17; 18 (1;1) , (1;2 ) , ( 8;9 ) , ( 9;9 ) biết tổng B phải đốn hai số Ngồi ra, dựa vào việc khẳng định C nên có trường hợp tổng sau: TH1: = 1+ = + tích = 1.3, C đoán ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp loại TH2: = + = … tích = 1.5, C đốn ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp loại Tương tự trường hợp tổng = 2+ 5, = 3+5, = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 loại Do đó, sau B phát biểu C đốn tổng số ( = 1+4 = 2+3) Khi tích = 1.4 = 2.2 = 1.6 = 2.3 Vì C biết tổng tích số ( hay ) nên suy C nói : Mới đầu tơi khơng biết biết hai số A chọn Hơn số mà A đọc cho lớn số bạn Như C biết tích > Sau B biết hai số ban đầu có tổng tích Vậy số A chọn Bài 7.Ta tơ màu đoạn thẳng có đầu mút 12 điểm cho: -Tô đỏ đoạn thẳng có độ dài nhỏ 673 -Tơ xanh đoạn thẳng cịn lại tam giác có cạnh màu đỏ Ta chứng minh có tam giác có cạnh màu đỏ +Xét điểm 12 điểm cho Từ điểm A nối đến đoạn thẳng lại tạo thành đoạn thẳng, tô tới hai màu xanh, nên tồn cạnh màu Giả sử AB, AC , AD Nếu AB, AC , AD tô đỏ (nét liền, h1) tam giác BCD phải có 1cạnh tơ đỏ(h1)., chẳn hạn BC tam giác ABC có cạnh tơ đỏ(h2) Nếu AB, AC , AD tô xanh (nét đứt, h3) Do tam giác phải có cạnh đỏ nên BC , CD, BD tam giác BCD có cạnh đỏ(h1) Suy điểm ln tồn tam giác có cạnh màu đỏ +Xét điểm lại, chứng minh tương tự Vậy 12 điểm tồn tam giác có hai cạnh màu đỏ Suy tồn hai tam giác mà chu vi tam giác bé 2019 (Từ trái qua phải h1,h2,h3,h4) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài 8:Với hai số thực u,v ta ln có: ( u + 1)( v + 1) = u + v + uv + = ( u + v + uv ) + (*) Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: T= ( a1 + 1)( a2 + 1)( a3 + 1) ( a2015 + 1) Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”: 2015 2016 T= + 1 = = 2016 + 1 + 1 + 1 + 1 2015 2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại cịn số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T= x + Vậy ta có: x += 2016 ⇒= x 2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... 039.373.2038 ❗ ( 1) - Từ đề suy tổng 2n số ln chẵn, nên 2n + số có tính chẵn lẻ -Vì dãy (1) thỏa mãn đầu nên dãy sau thỏa mãn đầu bài: = a − a ≤ a − a ≤ a − a ≤ ≤ a 2n + − a (2) Suy số dãy (2) tính chẵn... CD, BD tam giác BCD có cạnh đỏ(h1) Suy điểm ln tồn tam giác có cạnh màu đỏ +Xét điểm lại, chứng minh tương tự Vậy 12 điểm ln tồn tam giác có hai cạnh màu đỏ Suy tồn hai tam giác mà chu vi tam... hàng thứ i ta đổi dấu x i lần, cột thứ j ta đổi dấu y i lần Như dấu ô (i;j) thay đổi x i + y j lần Suy có dấu (-) x i + y j số lẻ Gọi p số số lẻ số x i , q số số lẻ số y i Khi tổng số dấu (-) bảng