Tài liêu trắc nghiêm toán 11 chương (3)

CHƯƠNG III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN § 1 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phép chứng minh quy nạp toán học Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên , ch[.]

CHƯƠNG III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN § 1-2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC – DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Phép chứng minh quy nạp toán học: * Để chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n n0 , n0   cho trước, phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước  Bước 1(bước sở): Kiểm tra mệnh đề mệnh đề n n0  Bước (bước qui nạp): Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k n0 (ta gọi giả thiết quy nạp) chứng minh mệnh đề với n k      * u  Một hàm số u : N   gọi dãy số vơ hạn, kí hiệu n n  u  n u u  n  u  Khi , n gọi số hạng tổng quát dãy n Một hàm số u xác định tập hợp m số nguyên dương gọi dãy số hữu hạn * u  Dãy số n dãy số tăng un 1  un  0, n   * u  Dãy số n dãy số giảm un 1  un  0, n   * u  Dãy số n gọi bị chặn tồn số M cho un M , n   * u  Dãy số n gọi bị chặn tồn số M cho un M , n   Dãy số gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Hãy xem lời giải tốn sau có bước bị sai? Bài toán: Chứng minh với số nguyên dương n , mệnh đề sau đúng: A n max  a, b n : “Nếu a b số nguyên dương mà a b ” Chứng minh: Bước 1: Mệnh đề A  1 max  a, b 1 : “Nếu a, b số nguyên dương mà a b ” A  1 Bước 2: Giả sử A k  max  a, b 1 a, b số nguyên dương a b 1 mệnh đề Đúng với k 1 Bước 3: Xét Do A k  Vậy max  a, b k   max  a  1, b  1 k   k mệnh đề nên A n a  b   a b  A  k  1 * với n   A Bước B Bước C Bước D Khơng có bước sai Hướng dẫn giải: Đáp án C * * Ta có: a, b   khơng suy a  b, b  1  Do áp dụng giả thiết quy nạp cho cặp  a  1, b  1 Chú ý: Nếu tốn ta suy số tự nhiên Điều vơ lý Ví dụ Mạnh cầm tờ giấy lấy kéo cắt thành mảnh sau nhặt số mảnh giấy cắt vụn lại cắt thành mảnh Mạnh tiếp tục cắt Sau hồi, Mạnh thu lại đếm tất mảnh giấy cắt Hỏi kết sau xảy ra? A Mạnh thu 122 mảnh B Mạnh thu 123 mảnh C Mạnh thu 120 mảnh D Mạnh thu 121 mảnh Hướng dẫn giải Mỗi lần cắt mảnh giấy thành mảnh, tức Mạnh tạo thêm mảnh giấy Do cơng thức tính số mảnh giấy theo n bước thực S n 6n  Ta chứng minh tính đắn cơng thức phương pháp quy nạp theo n  S  1 6.1 1 7 Bước sở: Mạnh cắt mảnh giấy thành mảnh, n 1 ; công thức với n 1  S  k  6k  Bước quy nạp: Giả sử sau k bước, Mạnh nhận số mảnh giấy sang bước thứ k  , Mạnh lấy mảnh giấy nhận k bước S k trước cắt thành mảnh Tức Mạnh lấy mảnh giấy thay vào mảnh cắt Vậy tổng số mảnh giấy bước k  S  k  1 S  k    S  k   6k   6  1  * S  n công thức với n   Theo công thức trên, có phương án D thỏa mãn 121 6.20  Đáp án D Ví dụ Cho dãy số  un  xác định un n  4n  Khi u10 A 48 B 60 C 58 D 10 Hướng dẫn giải: u10 102  4.10  58 Đáp án C Ví dụ Cho dãy số un 1   n  3 3n Khi cơng thức truy hồi dãy là: A un 1 1  3un với n 1 n 1 B un 1 1  3un  với n 1 n 1 C un 1 1   với n 1 n 1 D un 1 3un   với n 1 Hướng dẫn giải: un 1 1   n   3n 1 1   n  3 3n1  3n1 1  3n  n  3  3n 1 3 1   n   3n   3n 1  3u n  3n 1  Đáp án D Ví dụ Cho dãy số  un  u1 1  u un  n , n 1 xác định  n 1 Công thức un 1 theo n là: A 1 n  n  1  2n  1 n  n  1 C n  n  1  2n  1 B n  n  1 1 D Hướng dẫn giải: u1 1 u2 1  12 u3 1  12  22 u4 1  12  22  32 un 1 1  12  22  32   n 1  (có thể chứng minh quy nạp) Đáp án A n  n  1  2n  1 Ví dụ Cho dãy số  Vn  xác định v1 3  vn 1 vn , n 1 Khi v11 11 A 1024 B 22 D 3 C Hướng dẫn giải: v1 3 32 v2 32 32 v3 34 32 v4 38 32 32 n 10  v11 32 31024 Vậy đáp án B Ví dụ Cho dãy số un n  4n  Kết luận sau A Dãy  un  bị chặn C Dãy  un  bị chặn B Dãy  un  bị chặn D Mệnh đề A, B, C sai Hướng dẫn giải un n  4n   n    3 n  *   un   un  bị chặn khơng bị chặn n lớn un lớn Vậy đáp án B Ví dụ Cho dãy số A Dãy  zn  zn 1   4n  3 2n dãy tăng C Cả A B sai Hướng dẫn giải: zn 1 1   4n  1 n 1 ; zn 1   4n   2n  zn 1  zn 2n  4n    n  * B Dãy  zn  bị chặn D Cả A B   zn  * tăng  zn  z1 3 n   Vậy đáp án D C BÀI TẬP Phép chứng minh sau nhận giá trị chân lí gì? A Đúng B Sai C Khơng khơng sai D Vừa vừa sai n  n  1    n  Bài toán: Chứng minh qui nạp: 3  k 1 Chứng minh: Giả sử đẳng thức với n k k  k  1    k  Ta có: 3 Ta chứng minh đẳng thức với n k  , Thật vậy: 2 k  k  1  k  1  k      k   k  1    k  1  4 3 3 Vậy đẳng thức với n k  Áp dụng nguyên lý qui nạp toán học ta suy đẳng thức với số tự nhiên n Cho x 0 x T  n, x   x n  x số nguyên Khi với số ngun dương n , có kết luận xn ? A T  n, x  số vô tỉ C T  n, x  số nguyên B u1 2 un 1 nun A 10 Cho dãy số B 48  un  số không nguyên D Các kết luận sai  un  :  Cho dãy số T  n, x  với n 1 C 16 D  nx  sin      n  với n 1 Khi số hạng u3n dãy  un  là: A 3n  Cho dãy số B n  un  1 C 3n  D n2 3n với n 1 Khi số hạng u2n dãy  un  là: 2n n A 4n n B 4n n C 2n n D u0 1; u1 3 un 1 4un  3un   un  :  Cho dãy số với n 1 Công thức số hạng tổng quát dãy số là: A un 2n 1 n B un 3 C un 2n  D un  n 5 n 1 u0 u1 1 un 1 4un  4un   un  :  Cho dãy số với n 1 Công thức tổng quát dãy số là: A un 1 n n B un 2  n.2 C un  n  n  un  D n  2n  3  n  1 2n       un  : un cos  Cho dãy số Khi khẳng định đúng? A  un  dãy đơn điệu tăng C  un  dãy không đổi Cho dãy số  un  : u1  B  un  dãy đơn điệu giảm D Đáp án khác u un 1  n , n  , Khi khẳng định đúng? A  un  dãy đơn điệu tăng C  un  dãy không đổi B  un  dãy đơn điệu giảm D Đáp án khác 10 Xét dãy  un  : un n  n , số  dương lớn thỏa mãn un  n 1 là: A  1 C  B  2 11 Xét dãy D    un  : u n  n  100  100  n , với n số tự nhiên nhỏ 100 Số  dương nhỏ thỏa mãn un  là: A  10 B  10 C  11 D  20 12 Cho dãy số  un  ,   ,  xn  ,  yn  đươc xác định bởi: n un  n  ; n  n ; xn 2n  ; yn  n  với n 1 Trong dãy số trên, có dãy bị chặn dưới? A B C D §3 CẤP SỐ CỘNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ * u  Định nghĩa: n cấp số cộng un 1 un  d , với n   , d số Các khái niệm: u  Cho cấp số cộng n , Khi đó: un u1   n  1 d  : số hạng tổng quát cấp số cộng  d : công sai cấp số cộng  S n u1  u2   un : tổng n số hạng cấp số cộng Tính chất: u u un  n  n 1    Sn  sn  n  u1  un  n  2u1   n  1 d  B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho cấp số cộng có tám số hạng Số hạng đầu 3, số hạng cuối 24 Tính tổng số hạng cấp số A 105 B 27 C 108 D 111 Hướng dẫn giải: S8    24  108 u  u  24 Ta có: , , n 8 Đáp án C Ví dụ Cho dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A Dãy số  an  B Dãy số  bn  C Dãy số  cn  D Dãy số  dn  xác định  a1 1   an 1 an  3n xác định b1 3  an 1 bn  với n 1 với n 1 xác định cn  n  với n 1 d1 4  d d n  n xác định  n 1 với n 1 Hướng dẫn giải: Đáp án B Ví dụ Cho bốn số lập thành cấp số cộng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tổng lập phương chúng A 22 B 166 C 1752 D 1408 Hướng dẫn giải: Gọi số lập thành cấp số cộng u1 , u2 , u3 , u4 u1  u2  u3  u4 22  2 2 u1  u2  u3  u4 166  u  u u  u Ta có   2u1  3d 11   2 u1  3u1d  d 19  u1 1; d 3  u 10, d   Vậy bốn số là: 1, 4, 7, 10 10, 7, 4, 3 3 Tổng lập phương chúng bằng:    10 1408 Đáp án D Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị d hàm số y 4 x   d  đường thẳng x n Xét dãy số  un  Với số nguyên dương, gọi An giao điểm với un tung độ điểm An Tính u1   u15 A 405 B 305 C 205 D 105 Hướng dẫn giải: Dễ thấy un 4n  Ta có un 1 4  n  1  4n   un 1 un  với n 1   un  cấp số cộng 15 15 u1   u15 S15   u1  u15      1  55  405 2 Vậy Đáp án A Ví dụ Tìm x biết     x 64 A B 11 C 15 D 17 Hướng dẫn giải: Sn  n n 2u1   n  1 d      n  1  n 64  n 8  2  x un u1   n  1 d 1  7.2 15 Ví dụ Cho hai cấp số cộng Đáp án C  un  : 4, 7,10,13,16,   :1, 6,11,16, 21, Hỏi 100 số hạng cấp số cộng, có số hạng chung? A 10 B 20 C 30 D 40 Hướng dẫn giải: Ta có: un 4   n  1 3n  1 n 100 , 1   k  1 5k  k 100 Để số số hạng chung hai cấp số cộng cần phải có: 3n  5k   3n 5  k  1  n 5 tức n 5t , k 1  3t , t   Vì n 100 nên t 20 Có hai mươi số hạng chung hai dãy Chọn đáp án B Ví dụ Một sàn tầng ngơi nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang tầng lên tầng gồm 21 bậc, bậc cao 18cm Độ cao tầng so với mặt sân là: A 4,10m Hướng dẫn giải: B 4, 28m C 1,89m D 1,80m Độ cao tầng hai so với mặt sân hn  0,5  0,18n   m  với n 21 Vậy ta có độ cao tầng hai 4, 28m Đáp án B C BÀI TẬP Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A un  n 1 n B un 2n n C un 2  D un n  3n Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A u0 1 n 1  un 2un  u0 1 n 1  u  u  n C  n Công sai cấp số cộng A  un  thỏa mãn A B D u0 1 n 1  un un   u1  u5  u3 10  u1  u6 17 B  Số hạng cấp số cộng dương B u0 1 n 1  un 1 un  un  là: D  C   un  thỏa mãn C u7  u3 8  u2 u7 75 là: D 5 Xác định số đo góc nhỏ tứ giác lồi, biết số đo góc lập thàng cấp số cộng góc lớn lần góc nhỏ  A 30  B 45  C 15  D 60 Xen vào hai số 40 bốn số để cấp số cộng có cơng sai lớn Tìm tổng bốn số A 88 B 92 C 128 D 132 Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ có ,… có tất hàng? A 75 B 76 C 77 D 78 Giá tiền cơng khoan giếng sở A tính sau: Giá mét khoan 8000 đồng kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan sau tăng thêm 500 đồng so với giá mét khoan trước Vậy muốn khoan 20 mét đồng? A 200000 đồng B 255000 đồng C 285000 đồng D 315000 đồng Cho dãy số có số hạng 1, 8, 22, 43, … Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng 7, 14, 21, …7n Số 35351 số hạng thứ dãy số cho? A 57 B 80 10 Cho phương trình C 101 x  x   24  m  x  26  n 0 D 200 Tìm hệ thức liên hệ m n để nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng A 3m n B m 3n C m n §4 CẤP SỐ NHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ  un  * cấp số nhân  un 1 un q , n   n Các khái niệm: un u1.q , n 1 : số hạng tổng quát cấp số nhân q : công bội cấp số nhân Định nghĩa: Tính chất:  un un  1.un 1 n 2 S n u1   un   u1  q n  1 q ; q 1 B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? A un 5n  n 1 n B un 4  u1 3  u 7un n 1 C  n 1 , u1 2  u un n 1 D  n 1 , Hướng dẫn giải: Đáp án C Ví dụ Cho cấp số nhân  un  có u1 5 , u2 8 Tìm u4 D m  n 0 512 A 25 125 B 512 625 C 512 512 D 125 Hướng dẫn giải: q u2 512  8  u4 u1.q 5    u1 ; 25 Đáp án A  5 Ví dụ Cho cấp số nhân có số hạng với cơng bội dương Biết số hạng thứ hai 3, số hạng thứ tư Tính tổng cấp số nhân 18  21 B A  21  18  21 C   D  21  Hướng dẫn giải: Kí hiệu u1 , u2 , u3 , u4 , u5 số hạng cấp số nhân Ta có u2 3  q 2  q   u    u1  (vì q  ) , u2 3, u3 3 2, u4 6, u5 6 2 S u1  u2  u3  u4  u5 9  21  18  21 2 Đáp án C    AB  AC  , có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB Ví dụ Cho tam giác ABC cân theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân A  C B  1   1 D 1 1 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết: AB  AC BC , AH , AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:  BC HC  q  AH  AH 2 cot C     AH sin B  q AB 2 Từ ta có kết sau: 2cot C sin C  cos C sin C 1  cos C    cos C  2cos C  0  cos C     C  90  sin C  Do C góc nhọn nên q 1   sin C 2 21   Ví dụ Tìm số  x, y    3,  1  21 Cho nên công bội cấp số nhân là:  1 Đáp án C biết y  số x  y , x  y , 8x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời số nhân A  B x , y  , x  y theo thứ tự lập thành cấp số   3,  1 C   1,  3 Hướng dẫn giải:  x  y  x  y 2  x  y    5  x    x  y   y  1  Ta có hệ phương trình   x 3 y   10  x  y  3xy  x  y  0 Từ ta suy  Thế  1 vào  2  1  2 ta được: y  y  0  y  y Do y  ta y  1, x  Đáp án B C BÀI TẬP Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân A 1,3,5, 7,9 B  1,  3,1,3,5 D   1,3 C 1, 2, 4,16, 256 D 1, 2, 4,8,16 Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân A un  n 1 n B un 2n n C un 2 D un n  3n Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? A u0 1 n 1  un 2un  u0 1 n 1  u  u  n C  n Số hạng cấp số nhân A  un  B 12 B D u0 1 n 1  un un   thỏa mãn hệ Công bội nguyên dương cấp số nhân A B u0 1 n 1  un 1 un  un  u4  u2 72  u5  u3 144 là: C 24  un  thỏa mãn D u1  u2  u3 14  u1u2u3 64 C là: D Cho ba số tạo thành cấp số nhân mà tổng chúng 93 Ta xếp chúng (theo thứ tự câp số nhân kể trên) số hạng thứ nhất, thứ hai thứ bảy cấp số cộng Tìm tích ba số A 3375 B 64 C 2744 D 1000 Độ dài cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân Tam giác ABC có  tối đa góc khơng q 60 A B C D 16 Tìm số hạng đầu cấp số nhân có bốn số hạng biết tổng ba số hạng đầu đồng thời theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư số hạng thứ tám cấp số cộng A 16 B C D  Cho ba số x,3, y lập thành cấp số nhân x  y Tìm cơng bội q cấp số A B C D ÔN TẬP CHƯƠNG III u1 1 un 1 un  n  un  :  với n 1 u  Khi số hạng thứ dãy n là: Cho dãy số A 11 B C D 10 n u  Cho dãy số un 4  n với n 1 Khi số hạng un 1 dãy n là: n A  n  n 1 B  n n C  n 1 D  n  Trong dãy số u0  n , chặn trên? A n  B n yn  n n , xn 2 , n  , có dãy số bị C D u  v  Gọi n n hai cấp số cộng có cơng sai d1 d Tổng n số hạng đầu cấp số cộng theo thứ tự là: u11 S n u1  u2   un 7 n  Tn v1  v2   4n  27 Tỉ số v11 71 A 78 B C D  Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a, b, c Biết A 90 lập thành cấp số nhân Tìm số đo góc B   A 30  B 45  C 15 a, b, c theo thứ tự  D 60 x   3m   x   m  1 0 Tìm m dương để phương trình có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng A m 1 C m B m 5 D 2 1  1    S           2n  n  2  4    Tính tổng A C 4 n 3.4n 4 2n  n B  1  4n 1  1 3.4n 25  1  4n 1  1 n m D 4 2n  n 4 2n   1  4n 1  1 4n n  1 3.4n  y  1 , xy 1 Giả sử số x  y, x  y, x  y lập thành cấp số cộng số  x  1 lập thành cấp số nhân Hiệu x, y dương A B C D Từ đến 12 trưa , đồng hồ đánh tiếng chng đánh chng báo số tiếng chuông số A 76 B 78 C 80 D 82 10 Giả sử a, b, c, d lập thành cấp số nhân Tính giá trị biểu thức  a  c A 2  b  c   b  d    a  d  B C 11 Công bội nguyên dương cấp số nhân A B 12 Tính tổng số hạng dãy số A 19680 B 6560  un  thỏa mãn D u1  u2  u3 21  1 1     u u u 12  C là: D  an  : an 2.3n C 9840 D 35360 13 Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích bề mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích bề mặt đế tháp 12288m Diện tích bề mặt tầng là: A 24m B 12m C 6m D 3m ĐỀ TỰ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG III (Thời gian làm : 45 phút) Câu Cho dãy số sau: n 1 n  1 : un n 1   : un   3 : un n3  3n   : un 1 Khẳng định đúng?   dãy đơn điệu giảm,  3 dãy đơn điệu tăng,   dãy dãy đơn điệu tăng, đơn điệu tăng  1 dãy đơn điệu tăng,   dãy đơn điệu giảm,  3 dãy đơn điệu tăng,   dãy B không đơn điệu  1 dãy đơn điệu tăng,   dãy đơn điệu tăng ,  3 không dãy đơn điệu ,   dãy C không đơn điệu D Đáp án khác A  1 Câu Công sai cấp số cộng A  un  u7  u15 60  2 thỏa mãn u4  u11 981 là: B C Câu Tìm tổng số hạng đầu cấp số nhân, biết A 36 B 90 u1 1 un 1 un  10  un  :  Câu Cho dãy số Khi số hạng thứ 10 dãy A 41  un  B 51 D u1  u5 51  u2  u6 102 C 27 D 93 C 81 D 91 với n 1 là: Câu Giá tiền công khoan giếng sở B tính sau: Giá mét khoan 6000 đồng kể từ mét khoan thứ hai, giá mét khoan sau tăng thêm 7% so với giá mét khoan trước Vậy muốn khoan 20 mét đồng? A 256789 B 325980 C 245973 D 121986 Câu Tìm cơng sai dương cấp số cộng gồm ba số hạng, biết tổng chúng tổng bình phương 125 A B C n  Câu Cho dãy số u4  n  , dãy số có dãy bị chặn trên? A D 10 n yn  n n , xn 2  , n  với n 1 Trong B C D Câu Một cấp số nhân dương có bốn số hạng, công bội q lần số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu 24 Tìm tích số hạng cấp số nhân A B u1 1 un 1 un  n  un  :  Câu Cho dãy số Khi số hạng thứ dãy A 11  un  C 4096 D 262144 C D 10 với n 1 là: B n Câu 10 Cho dãy số un 4  n với n 1 Khi số hạng un 1 dãy là: n A  n  n 1 B  n u0 1, u1 7 un 2  4un 1  5un  un  :  Câu 11 Cho dãy số n C  n 1 D  n  với n 0 Công thức số hạng tổng quát dãy số là: A un 6n  C un 6n 1 B un 2     n 13n  un  n 1 D Câu 12 Cho bốn số nguyên biết ba số hạng đầu lập thành cấp số nhân, ba số hạng sau lập thành cấp số cộng Tổng hai số hạng đầu cuối 14, tổng hai số hạng 12 Tổng số nguyên là: A 20 B 22 C 24 D 26 Câu 13 Một người gửi triệu đồng với lãi suất 0,65%/tháng Số tiền có sau năm (xấp xỉ) là: A 1168236,3 đồng B 1006542,5 đồng C 1168256,3 đồng D 1268236,3đồng ...  Vn  xác định v1 3  vn 1 vn , n 1 Khi v11 11 A 1024 B 22 D 3 C Hướng dẫn giải: v1 3 32 v2 32 32 v3 34 32 v4 38 32 32 n 10  v11 32 31024 Vậy đáp án B Ví dụ Cho dãy số un... n 1 là: A  1 C  B  2 11 Xét dãy D    un  : u n  n  100  100  n , với n số tự nhiên nhỏ 100 Số  dương nhỏ thỏa mãn un  là: A  10 B  10 C  ? ?11 D  20 12 Cho dãy số  un... cộng có tám số hạng Số hạng đầu 3, số hạng cuối 24 Tính tổng số hạng cấp số A 105 B 27 C 108 D 111 Hướng dẫn giải: S8    24  108 u  u  24 Ta có: , , n 8 Đáp án C Ví dụ Cho dãy số sau,