CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Giới hạn hữu hạn của dãy số 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói rằng dãy số có giới hạn là 0 khi dần đến dương vô cực và viết viết tắt là h[.]
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa un có giới hạn n Định nghĩa 1: Ta nói dãy số dần đến dương vơ cực lim un 0 viết n viết tắt lim un 0 un , số hạng dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở u Định nghĩa 2: Ta nói dãy số n có giới hạn số thực a n dần đến dương vô lim un a lim un a 0 cực viết n , viết tắt lim un a un a , n Một vài giới hạn đặc biệt 1 lim 0 lim k 0 n n a) ; với k nguyên dương n q 1 b) lim q 0 c) Nếu un c ( c số) lim un lim c c II Định lý giới hạn hữu hạn Định lý 1: a) Nếu lim un a , lim b lim un a b lim un a b lim un a.b u a lim n b (nếu b 0 ) lim un a b) Nếu un 0 với n lim un a a 0 III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q 1 Cấp số nhân vô hạn u1 , u2 , u3 , .un , có cơng bội q với gọi cấp số nhân lùi vô hạn u S u1 u1q u1q 1 q Tổng S cấp số nhân là: IV Giới hạn vơ cực Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết lim(un ) un lim un u Ta nói dãy số n có giới hạn với số âm tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm lim un Khi ta viết lim un un Một vài giới hạn đặc biệt k a) lim n với k nguyên dương n b) lim q q Định lý 2: a) Nếu lim un a lim lim un 0 b) Nếu lim un a , lim 0 với n lim un c) Nếu lim un lim a lim un V Một số lưu ý: Khi làm tập trắc nghiệm, ta làm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với u cầu tốn Ngồi sử dụng nhận xét để có kết nhanh chóng, xác Có số tập nhận xét nhanh để loại trừ phương án khơng phù hợp B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Dãy số sau có giới hạn khác 0? A n B n n 1 C n Hướng dẫn giải lim Cách 1: n 1 1 lim lim1 lim 1 1 n n n Đáp án C Cách (phương pháp loại trừ): Từ định lý ta thấy: Các dãy phương án A, B 0, loại trừ phương án sin n n D sin n Vì n 1 sin n lim 0 lim 0 n n n nên , loại phương án D Vậy đáp án C Ví dụ Dãy số sau có giới hạn 0? 4 A n 4 B n 5 C n 1 D n Hướng dẫn giải: n 1 n q 1 Cách 1: Dãy có giới hạn với lim q 0 Đáp án D n q 1 Cách 2: Các dãy phương án A, B, C có dạng lim q nên khơng có giới hạn 0, loại phương án A, B, C nên đáp án D 4n lim 5n có giá trị Ví dụ 3 A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Chia tử mẫu phân thứ cho n ( n lũy thừa bậc cao n tử 4n 4 lim lim 5n 5n mẫu phân thức), ta Vậy đáp án D Cách 2: Sử dụng nhận xét: Cho am n m am 1n m a1n a0 un bp n p bp 1n p b1n b0 , tính lim un ta thường k k chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n tử mẫu phân thức), từ kết quả: Nếu m p lim un 0 Nếu m p lim un am bp a b lim un a b Nếu m p lim un m p ; m p Vì tử mẫu phân thức cho có bậc nên kết : 4n lim , chọn đáp án D 5n Ví dụ lim 3n3 2n 4n 2n A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức nên kết 3n3 2n lim 0 n 2n Đáp án A 4 Cách 2: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n tử mẫu phân thức) tính Đáp án A Ví dụ lim 3n 2n 4n 2n A B C 4 D Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, bậc tử thức lớn bậc mẫu thức, hệ số lũy thừa bậc cao n tử mẫu số dương nên có kết là: án B lim 3n 2n 4n 2n Đáp 4 Cách 2: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n tử mẫu phân thức) rịi tính Đáp án B Ví dụ Dãy số sau có giới hạn ? A un n 2n 5n 5n B un 2n 5n 2n un 5n C D un 2n 5n 5n Hướng dẫn giải: Cách 1: Tính lim n 2n 5n 5n , suy đáp án A Cách 2: sử dụng nhận xét nêu , ta phải tìm dãy dãy cho có bậc cao n tử thức mẫu thức tỉ số hệ số chúng Nhận thấy, có dãy phương án A thỏa mãn Vậy đáp án A Ví dụ lim 2n 3n 3n có giá trị A B C D Hướng dẫn giải 2n 2n 3n lim lim n 1 1 3n 3 Ta có Đáp án B Ví dụ n4 n có giá trị A B lim C Hướng dẫn giải: Chia tử thức mẫu thức cho n : 1 n4 n 1 lim lim 1 n 1 1 n Đáp án A Ví dụ A lim n 2n B D C D Hướng dẫn giải: Trước hết tính n 1 n n n n lim n 1 n lim lim 2n 4n 4 Đáp án B Do 1 Ví dụ 10 lim n sin 2n n A B C D Hướng dẫn giải: Chia tử thức mẫu thức cho n ta có n sin 2n lim lim n 5 Ví dụ 11 sin 2n n 1 1 1 1 n Đáp án D 1 lim 3n3 2n A B D C Hướng dẫn giải: 5 3n3 2n n n n Ta có 5 lim lim 3n3 2n n n Vì lim n nên Đáp án C Ví dụ 12 lim 2n 5n 7n A Hướng dẫn giải B C D Ta có 2n 5n n n n n 7 lim 2 lim 2n 5n 7n n n Vì lim n , nên Đáp án D Ví dụ 13 Dãy số sau có giới hạn ? A un 9n 2n B un n 4n C un 4n 3n D un n 5n Hướng dẫn giải: Chỉ có dãy un 4n 3n có giới hạn , dãy cịn lại có giới hạn Đáp án C lim un Ví dụ 14 Nếu lim un L , un 0n số sau đây? A L B L C L 9 D L 3 Hướng dẫn giải: lim un L Vì lim un L nên , đó: lim un L Ví dụ 15 lim Đáp án C 4n n 2n A B C D Hướng dẫn giải Cách 1.: Chia tử thức mẫu thức cho n 4n n lim lim 2n 4 n2 n n 1 2 n Đáp án B Cách 2: Thực chất coi bậc cao tử thức mẫu thức 1, cần để ý hệ số bậc tử thức , mẫu thức 2, tứ tính kết Đáp án B Ví dụ 16 lim n n2 1 n2 B A D C Hướng dẫn giải: lim n n2 1 n2 lim n n n 3 2 n 1 n lim 4n 2 n 1 n 2 Đáp án C lim Ví dụ 17 2n 2n A B C D Hướng dẫn giải: Chia tử mẫu phân thức cho n , ta 2n n 1 lim lim 2n 2 n Đáp án C 2 1 1 ; ; ; , 2n Ví dụ 18 Tổng cấp số nhân vơ hạn A C n 1 , là: B 3 D Hướng dẫn giải: u1 1 1 q 1 u1 q 2 , nên tổng Đây tổng cấp số nhân vơ hạn có Đáp án B C BÀI TÂP Dãy số sau có giới hạn 0? A 0,999 n B 1,01 n n C 1, 01 C 0,98 D 2, 001 D 0,89 Dãy sau khơng có giới hạn? A 0,99 n B 1 n n Dãy số sau có giới hạn 0? 5 A n 1n B C n 1 lim 4 D n n n bằng: 1 A 1 B C D 3n 2n lim 4n A B C 4 D Dãy số sau có giới hạn 0? A un n 2n 5n 5n 2n un 5n C B D un 2n 5n un 2n 5n 5n Trong giới hạn sau đây, giới hạn A lim 2n 2n3 B lim 2n 2n n n C lim 2n 2n 2n D lim 2n 2n lim 2n 3n3 2n lim 2n3 2n Trong giới hạn sau đây, giới hạn A C lim 2n n3 lim 2n 3n 2n 2n lim 104 n 104 2n B D B 10000 A C 5000 D 10 lim n3 n 6n A 11 lim B C C D lim 5n 4n3 B A C 13 Dãy số sau có giới hạn A un 6n 5n B un n 4n C un 7 n n D un 3n n 14 Dãy số sau có giới hạn A un n 3n B un 5n 2n C un 3n n D un n 4n 15 Kết D cos 2n n số sau đây: A B 12 lim n 2n 5n D B A C D C D C D x 3x3 x x x4 21 x lim A B x4 x 22 x x x lim A 23 B x4 x2 x x băng lim x A B C 24 lim x 11 D 2x x x x C D B C D B C D C D B A 2x , x 1 f x x 3x 1, x 1 25 Cho hàm số lim f x Khi x 1 A x 12 x 35 lim 26 x x 15 A 27 lim x A x 1 x B ... lim 0 với n lim un c) Nếu lim un lim a lim un V Một số lưu ý: Khi làm tập trắc nghiệm, ta làm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với u cầu tốn Ngồi sử dụng nhận xét... 2n n A B C D Hướng dẫn giải: Chia tử thức mẫu thức cho n ta có n sin 2n lim lim n 5 Ví dụ 11 sin 2n n 1 1 1 1 n Đáp án D 1 lim 3n3 2n A B D C Hướng dẫn giải:... n3 lim 2n 3n 2n 2n lim 104 n 104 2n B D B 10000 A C 5000 D 10 lim n3 n 6n A 11 lim B C C D lim 5n 4n3 B A C 13 Dãy số sau có giới hạn A un 6n 5n B un n