CHƯƠNG 2 TỔ HỢP – XÁC XUẤT §1 QUY TẮC ĐẾM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động hoặc Nếu hành động có cách thực hiện, hành động có cách thực hiện v[.]
CHƯƠNG 2: TỔ HỢP – XÁC XUẤT §1 QUY TẮC ĐẾM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động X Y Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực không trùng với cách hành động X cơng việc có m n cách thực Nếu A B hai tập hợp hữu hạn, không giao n A B n A n B Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n A B n A n B n A B Mở rộng: Nếu A1 , A2 , An tập hợp hữu hạn, đôi khơng giao n A1 A2 An n A1 n A2 n An Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp X Y Nếu hành động X có m cách thực ứng với cách thực có n cách thực hành động Y có m.n cách hồn thành cơng việc Chú ý: Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Một lớp có 23 học sinh nữ 17 học sinh nam a) Hỏi có cách chọn học sinh tham gia thi tìm hiểu mơi trường? A 23 B 17 C 40 D 391 b) Hỏi có cách chọn học sinh tham gia hội trại vói điều kiện có nam nữ tham gia? A 40 B 391 C 780 D 1560 Hướng dẫn giải: a) Theo quy tắc cộng, có 23 17 40 cách chọn học sinh tham gia thi tìm hiểu mơi trường chọn đáp án C Nhận xét: Họ sinh đọc khơng kĩ đề bài: chọn học sinh nữ 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn (phương án A) chọn học sinhnam 17 học sinh nam nên có 17 cách chọn (phương án B) nhầm sang quy tắc nhân nên có 23 17 391 cách chọn (phương án D) b) Việc chọn học sinh (nam nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp: Hành động 1: Chọn học sinh nữ nên có 23 cách chọn Hành động 2: Chọn học sinh nam nên có 17 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 23 17 391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có nam nữ Vậy chọn phương án B Nhận xét: Học sinh nhầm : Dung quy tắc cộng để có 23 17 40 cách chọn (phương án A) Có thể nhầm sang tốn chọn hai học sinh 40 học sinh nên có C40 780 cách chọn (phương án C) Có thể nhầm suy luận: Chọn học sinh 40 học sinh nên có 40 cách Chọn học sinh số 40 39 học sinh cịn lại nên có 39 cách Theo quy tắc nhân ta có 39 40 1560 cách chọn (phương án D), Ví dụ Một túi có 20 viên bi khác có viên bi đỏ, viên bi xanh viên i vàng a) Số cách lấy ba viên bi khác màu là: A 20 B 280 C 6840 D 1140 C 131 D 2340 b) Số cách lấy hai viên bi khác màu là: A 40 B 78400 Hướng dẫn giải: a) Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba hành động liên tiếp: chọn viên bi đỏ viên bi đỏ nên có cách chọn bi đỏ Tương tự có cách chọn viên bi xanh cách chọn viên bi vàng Theo quy tắc nhân, ta có 8 5 280 cách chọn Vậy đáp án B Nhận xét: Học sinh nhầm: Sử dụng quy tắc cộng để có 20 cách (phương án A) Chọn viên bi 20 viên bi nên có C20 1140 cách chọn (phương án D) Hoặc chọn thứ tự viên bi 20 viên bi nên có 20 19 18 6840 cách chọn (phương án C) b) Muốn lấy viên bi khác màu từ 20 viên bi túi cho xảy trường hợp sau: Lấy bi đỏ bi xanh: có cách lấy bi màu đỏ cách lấy bi màu xanh Do có 8 56 cách lấy Lấy bi đỏ bi vàng: có cách lấy bi màu đỏ cách lấy bi màu vàng Do có 5 35 cách lấy Lấy bi xanh bi vàng: có cách lấy bi màu xanh cách lấy bi màu vàng Do có 5 40 cách lấy Áp dụng quy tắc cộng cho ba trường hợp, ta có 56 35 40 131 cách lấy Vậy chọn đáp án C Nhận xét: Học sinh nhầm: Coi việc lấy hai viên bi khác màu không hai hành động liên tiếp, nên sử dụng quy 8 5 40 cách (phương án A) tắc cộng Nhầm lẫn quy tắc cộng quy tắc nhân nên cho kết là: 8 15.13.12 2340 cách (phương án D) Coi ba trường hợp lấy hai bi khác màu ba hành động liên tiếp,nên sử dụng quy tắc nhân 56 34 40 78400 cách (phương án B) Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập a) Bao nhiêu số có hai chữ số khác chia hết cho 5? A 25 B 10 C D 20 b) Bao nhiêu số có ba chữ số khác chia hết cho 3? A 36 B 42 C 82944 D Kết khác c) Bao nhiêu số có ba chữ số (khơng thiết khác ) số chẵn? A 60 B 90 C 450 D 100 Hướng dẫn giải: Gọi tập hợp E 0;1; 2;3; 4;5 a 0; a, b E ; a b a) Số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab Do ab5 nên b 0 b 5 Với b 0 có cách chọn a (vì a b ) Với b 5 có cách chọn a (vì a b a 0 ) Theo quy tắc cộng, có tất 9 số tự nhiên cần tìm Chọn đáp án C Nhận xét: Học sinh nhầm sang quy tắc nhân kết 4 20 số (phương án D) Học sinh sót điều kiện a 0 , nên trường hợp b 5 có cách chọn a nên dẫn đến kết 10 số tự nhiên (phương án B) Hoặc nhầm sang quy tắc nhân cho kết 5 25 số (phương án A) b) Số tự nhiên có chữ số khác có dạng có abc a 0; a, b, c E ; a b; b c, c a Ta abc 3 a b c 3 * * là: Trong E có chữ số thỏa mãn 0,1, , 0,1,5 , 0, 2, , 1, 2,3 , 1,3,5 , 2,3, , 3, 4,5 Một gồm ba chữ số khác khác nên viết 2 1 6 số có ba chữ số chia hết cho Mỗi gồm ba chữ số khác có chữ số viết thành 2 1 4 số có ba chữ số chia hết cho Vậy theo quy tắc cộng, ta có 4 3 36 số có ba chữ số chia hết cho Chọn đáp án A Nhận xét: Học sinh nhầm áp dụng quy tắc nhân cho kết 4 82944 (phương án C) Học sinh khơng để ý đến điều kiện a 0 nên cho kết 7 42 (phương án B) Học sinh liệt kê ba chữ số thỏa mãn A, B, C (phương án D) * cịn thiếu nên khơng cho kết abc a 0; a, b, c E c) Số tự nhiên có ba chữ số có dạng abc số chẵn nên c 0; 2; 4 c 0, 2, 4 Có ba cách chọn chữ số c (vì ) Ứng với cách chọn c , có cách chọn chữ số b (vì b E ) Ứng với cách chọn c b , có cách chọn chữ số a (vì a E a 0 ) Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6 5 90 số có ba chữ số Vì đáp án B Nhận xét: Học sinh khơng để ý đến giả thiết, cho chữ số số có ba chữ số khác dẫn đến kết 4 5 60 số (phương án A), để ý tìm số số chẵn có ba chữ số nên cho kết 998 100 : 1 450 số (phương án C) để ý đến tìm số có ba chữ số lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 nên cho kết 5 4 100 số (phương án D) C BÀI TẬP Cho dãy a1 , a2 , a3 , a4 với nhận giá trị Hỏi có dãy vậy? A B 16 C 70 D 1680 Trong lớp học có 20 học sinh nam 24 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn học sinh: nam nữ tham gia đội cờ đỏ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn? A 44 B 946 C 480 D 1892 Trên giá sách có sách Tiếng Anh khác nhau, sách Toán khác Tiếng Việt khác nhau? a) Số cách chọn sách là: A 19 B 240 C D C 969 D 5814 C 118 D 342 C 15 D 50 C 14 D 45 b) Số cách chọn ba sách khác môn học là: A 19 B 240 c) Số cách chọn hai sách khác môn học là: A 38 B 171 Có số chẵn có hai chữ số? A 14 B 45 Có số lẻ có hai chữ số khác nhau? A 40 B 13 Một trường có 30 học sinh giỏi Toán, 25 học sinh giỏi Ngữ văn học sinh giỏi Ngữ văn Toán Nhà trường định chọn học sinh giỏi (Ngữ văn Tốn) dự trại hè tồn quốc Hỏi nhà trường có cách chọn? A 55 B 50 C 750 D 745 Một đồ chơi ghép hình gồm nhiều miếng nhựa Mỗi miếng nhựa đặc trưng ba yếu tố: màu sắc, hình dạng kích thước Biết có màu: xanh, đỏ, vàng, tím Có ba hình dạng: hình trịn, hình vng, hình tam giác hai kích cỡ: to nhỏ Hỏi hộp đồ chơi có miếng nhựa? A B 14 C 20 D 24 Có năm đường để lên đỉnh núi có đường để xuống núi Một nhà leo núi lên đỉnh núi quay xuống Hỏi có cách để nhà leo núi lên núi xuống núi đường khác nhau? A B 10 C 25 D 45 Gieo đồng thời xúc xắc Tính số khả tổng số chấm mặt xuất xúc xắc 10 A B 27 C 42 D 50 10 Cho chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, Từ sáu chữ số lập số, số có bốn chữ số khác không chia hết cho A 15 B 22 C 192 D 720 11 Có số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác đơi một, chữ số chữ số lẻ? A 1400 B 25 C 2250 D 29 12 Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác đôi mà chữ số lớn 4? A 120 B 14 C 25 D 3125 C 42 D 18 13 Số 2016 có ước số nguyên dương? A 11 B 36 14 Một người vào cửa hàng ăn, người muốn chọn thực đon gồm ăn chín Một loại hoa loại hoa loại nước ba loại nước uống Hỏi người có cách chọn thực đơn cho bữa ăn? A 108 B 16 C D 36 15 Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ C B A D a) Số cách từ thành phố A đến D mà qua B C lần là: A 12 B 60 C 220 D 1320 b) Số cách từ thành phố A đến D quay lại A là: A 24 B 3600 C 440 D 2640 16 Một học sinh có sách Tốn khác sách ngữ văn khác Hỏi có cách xếp sách giá sách cho hai sách kế phải khác loại? A 362880 B 2880 C 5760 §2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP D 20 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ n 1 Mỗi kết xếp n phần tử tập Hoán vị: Cho tập A có n phần tử A theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Kí hiệu: Pn số hốn vị n phần tử thì: Pn n ! n n 1 n 2.1 1 n 1 Mỗi kết việc lấy k phần tử từ n Chỉnh hợp: cho tập A có n phần tử k n xếp chúng theo thứ tự gị phần tử tập A chỉnh hợp chập k n phần tử cho k Kí hiệu: An số chỉnh hợp chập k n phần tử thì: Ank n n 1 n n k 1 2 Nhận xét: n với k n Ta có An n ! Pn Quy ước 0! 1 An 1 cơng thức Ank n! n k! n 1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử tổ hợp chập k n phần tử cho k Kí hiệu: Cn số tổ hợp chập k n phần tử thì: Ank n n 1 n n k 1 C k! k! k n 3 3 với k n ta có Nhận xét: Quy ước Cn 1 , cơng thức Cnk Tính chất tổ hợp: n! k ! n k ! Cnk Cnk n với n, k , k n Cnk1 Cnk Cnk với k n B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Một tổ có học sinh nam học sinh nữ a) Hỏi có cách xếp học sinh tổ thành hàng dọc? A 4!5! B 4! 5! C 9! D A9 A9 b) Hỏi có cách xếp học sinh tổ thành hàng dọc cho học sinh nam nữ đứng xem kẽ nhau? A 4!5! B 4! 5! C 9! D A9 A9 Hướng dẫn giải: a) Mỗi cách xếp có 9 học sinh thành hàng dọc hán vị học sinh Vậy có tất 9! Cách xếp Chọn đáp án C Nhận xét: Học sinh nhầm lẫn xếp nam nữ riêng nên cho kết 4!5! (phương án A).; vừa xếp nam nữ riêng sử dung quy tắc cộng kết 4! 5! (phương án B); chọn học sinh nam học sinh học sinh nữ học sinh để có kết A9 A9 (phương án D) b) Nếu đánh số theo hàng dọc từ đến cần xếp học sinh nữ vào vị trí lẻ nên có 5! cách xếp ; xếp học sinh nam vào vị trí chẵn nên có 4! Cách xếp Theo quy tắc nhân ta có 5!4! cách xếp học sinh thành hàng dọc xen kẽ nam nữ Ví dụ a) Có số có bốn chữ số khác khác 0? A 4! B A9 C 9C9 D C9 b) Có số có bốn chữ số khác nhau? A 4! B 9A9 C 9C9 D Đáp án khác Hướng dẫn giải: a) Mỗi số tự nhiên có bốn chữ số khác khác từ chữ số tập hợp E 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 A94 chỉnh hợp chập phần tử Vậy có số cần tìm Chọn đáp án B Nhận xét: Học sinh nhầm lẫn coi số có bốn chữ số hoán vị phần tử nên chọn kết 4! (phương án A); tổ hợp chập phần tử nên chọn kết C9 (phương án D); suy luận có cách chọn chữ số hàng nghìn có C9 cách chọn ba chữ số lại nên có kết 9C9 (phương án C) a 0 b) Gọi số có bốn chữ số khác abcd a 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Do nên có cách chọn a ứng với cách chọn a , 10 9 chữ số để viết số bcd ( b 0), cách viết bcd chỉnh hợp chập chữ số, nên có A9 số bcd Theo quy tắc nhân, có 9.A9 số cần tìm Chọn đáp án B Ví dụ Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng a) Số tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho là: A A18 B C18 C 18! D b) Số véc tơ có điểm đầu điểm cuối thuộc tập điểm cho là: A A18 B C18 C 18! D Hướng dẫn giải: a) Chọn điểm 18 điểm cho làm đỉnh tam giác Mỗi tam giác tổ hợp chập 18 Vì số tam giác C18 Chọn đáp án B Nhận xét: Học sinh nhầm lẫn cho tam giác chỉnh hợp chập 18 nên số tam giác A18 (phương án A); suy luận tam giác có đỉnh nên 18 18 6 điểm cho ta tam giác (phương án C); suy luận hốn vị 18 điểm có 18! 18! cách tam giác cần đỉnh nên số tam giác (phương án D) AB BA A B nên véc tơ chỉnh hợp chập 18 Vì vậy, số véc tơ b) Do A18 Chọn đáp án A Ví dụ Có bì thư khác tem khác chọn từ bì thư tem sau dán tem lên bì thư chọn Biết bì thư dán tem Hỏi có cách dán? 3 A A5 A8 3 B 3! A5 A8 3 C C5 C8 3 D 3!.C5 C8 Hướng dẫn giải: Có bì thư khác nhau, chọn bì thư có C5 cách chọn Có tem khác chọn 3 tem có C8 cách chọn Dán tem lên bì thư có 3! cách dán khác Theo quy 3 tắc nhân ta có 3!C5 C8 cách chọn dán ba tem lên ba bì thư Chọn phương án D 3 Nhận xét: Học sinh nhầm lẫn số cách chọn bì thư A5 , số cách chọn tem A8 , khơng tính đến cách dán tem lên ba bì thư 3! cách nên dẫn đến chọn sang phương án A, B C x Ví dụ Giải phương trình Ax Cx 14 x ( x ẩn số) A x 5 x B x 5 C x D Vô nghiệm Hướng dẫn giải: Điều kiện x x 3 , ta có: Ax3 Cxx 14 x x x 1 x x x 1 x 14 x 3! x 5 x 1 x 84 x 3x 10 0 x Đối chiếu với điều kiện ta x 5 đáp án Chọn phương án B C BÀI TẬP X 0;1; 2 Cho tập hợp Các hoán vị tập hợp X là: 0;1 , 0; , 1; A B 0;1; , 1; 2;0 , 2;0;1 C 0;1; , 2;1;0 , 2;1;0 D 0;1; , 0; 2;1 , 1; 0; , 1; 2;0 , 2;1;0 , 2; 0;1 Số hoán vị dãy a, b, c, d , e mà phần tử a là: A 5! B 4! C 3! D 2! ... 94080 D 23520 11 *Ban văn nghệ lớp 11A có học sinh nam học sinh nữ Cần chọn bạn nam bạn nữ để ghép thành cặp nam nữ trình diễn tiết mục thời trang Hỏi có cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán? A 2646... Cho n số tự nhiên thỏa mãn Cn Cn Cn 79 n x 1 là: Hệ số x khai triển A 4118 4 C 25344 B 4118 4 D 23344 11 2 x x mà khai triển số mũ x giảm Tìm số hạng thứ năm khai triển dần... 1892 Trên giá sách có sách Tiếng Anh khác nhau, sách Toán khác Tiếng Việt khác nhau? a) Số cách chọn sách là: A 19 B 240 C D C 969 D 5814 C 118 D 342 C 15 D 50 C 14 D 45 b) Số cách chọn ba sách