KBB HSG11 TOÁN 02 1 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT 2 KÌ THI HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2020 2021 3 MÔN Toán ( Thời gian làm bài 180 phút) 4 ĐƠN VỊ THPT B KIM BẢNG 5 NỘI DUNG Câu 1( 5 điểm) 1) Giải các phương trình 2) Tam giá[.]
KBB_HSG11_TỐN_02 1.ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI: HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: Tốn ( Thời gian làm 180 phút) ĐƠN VỊ: THPT B KIM BẢNG NỘI DUNG Câu 1( điểm) (cos x 1)(2 cos x 1) 1 sin x cos x sin x 1) Giải phương trình 2) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tan A, tan B, tan C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ góc B có Câu ( điểm) 1) Trên mặt phẳng, kẻ vô hạn ô vuông (dạng bàn cờ) ô vuông điền hai số cho hình chữ nhật có kích thước 2x3 có hai điền số Xét hình chữ nhật có kích thước 2021x2022 Tính tổng số có 2) Đề thi trắc nghiệm có 50 câu, câu có phương án trả lời có phương án đúng, trả lời câu 0,2 điểm Một thí sinh trả lời 40 câu có 25 câu đúng, 15 câu cịn lại thí sinh chọn ngẫu nhiên bốn phương án Tính xác suất để thí sinh không điểm Câu ( điểm) u1 20212 u u u S n n u 2021 u u , n * u2 u3 un 1 Tính lim Sn n n Cho dãy số (un): n 1 Đặt Câu (2 điểm) Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) với R R ' cắt hai điểm phân biệt A B Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) (O’) P P’ Gọi Q Q’ chân đường vng góc hạ từ P P’ xuống OO’ Các đường thẳng AQ AQ’ cắt đường tròn (O) (O’) tạiM M’.Chứng minh MM’ qua B Câu (5 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành Gọi C’ trung điểm SC, M điểm thuộc cạnh SA Mặt phẳng chứa C’M cắt cạnh SB, SD B’, D’.Khi SB SD 3 thay đổi Xác định vị trí M để SB ' SD' BAD 60o , AB 2a 2) Cho hình thoi ABCD có Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d ABCD H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy vng góc với mặt phẳng BM BC SAD có số đo lớn điểm M cho Tính theo a độ dài SH để góc SC Câu (2 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x y z xyz Chứng minh: 1 2 1 x 1 y 1 z KBB_HSG11_TOÁN_02 …………………………………………………Hết………………………………………………… KBB_HSG11_TOÁN_02 Câu Câu 1.1 (2,5đ) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điều kiện: sin x 0 x m ( m Z ) Phương trình cho tương đương với: cos x 3cos x sin x cos x(1 cos x) sin x(1 cos x) cos x 0 cos x sin x + cos x 1 0 sin x + cos x 0 Câu 1.2 (2,5 đ) Câu 2.1 (2,0đ) Câu Điểm 0,5 0,5 0,5 cos x x k 2 (k Z ) x k 2 s in x 4 0,5 x k 2 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình ( k ) 0,5 sin( A C ) sin B 2sin B sin B cos A.cos C cos A.cos C cos B cos A.cos C cos A cos C cos B cos B cos A.cos C cos( A C ) cos( A C ) cos B 1 cos B cos( A C ) cos B cos B cos( A C ) 2 0,5 B GTNN B Do 0,5 tan A tan C + Giả sử tồn hình chữ nhật có kích thước 1x3 có số có số khác + Khơng tính tổng qt ta giả sử hình chữ nhật AKHD kích thước 1x3 có hai điền số +Có thể cho coi hai ô chứa số AKHD ô + Xét hình chữ nhật BFNA có kích thước 2x3 có hai chứa số ô 1,2,4,5 ô điền số + Xét hình chữ nhật BCHK, từ giả thiết ô 1,2,4,5 điền số nên ô 3,6 phải điền số + Xét hình chữ nhật ECDM kích thước 2x3, ta thấy ô 3,6,8 điền số nên dẫn đến mâu thuẫn + Trường hợp AKHD khơng có điền số 1, lập luận tương tự ta dẫn đến mâu thuẫn +Vậy giả thiết phản chứng sai hay ta có điều phải chứng minh + Vì 2022=3x674 nên hình chữ nhật kich thước 2021x2022 chia thành 674x2021 hình chữ nhật có kích thước 1x3 + Vậy tổng số điền hình chữ nhật là: 674.2021=1362154 410 + Tập kết xảy phép thử : 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 KBB_HSG11_TOÁN_02 2.2 (2,0đ) 0,5 + Gọi Ai biến cố thid sinh trả lời i câu 0,5 Ai C15i 515 i i 5 Ta có ( ) + Do biến cố A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 đôi xung khắc A A0 A1 A2 A3 A4 A5 nên A A0 A1 A2 A3 A4 A5 P ( A) Câu (2,0đ) = i 0 0,5 i 15 i 15 C i 15 i 15 C i 0 10 + Xác suất cần tìm Từ hệ thức truy hồi ta có: un 1 un , n * dãy số (u ) dãy tăng Suy u > u > 0, n * n n uk u (*) u u 1 k k 1 k , k 1,2,3 , n uk 1 uk 1uk 2021uk 1uk 2021 uk uk 1 Ta có u u u 1 S n n 2021 u2 u3 un 1 2021 u1 un 1 2021 un 1 Khi lim S n lim 2021 2021 un 1 Do Giả sử (un) bị chặn trên, (un) tăng nên có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a suy a > Từ hệ thức truy hồi suy lim un 1 lim(2021un2 un ) a 2021a a a 0 (vô lý) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Do limun+1 = + Vậy lim S n 2021 Câu (2,0đ) 0,5 P' I P A Q O J Q' O' S M B M' Gọi S giao điểm d OO’, S tâm vị tự ngồi hai đường trịn (O) (O’) R' k R , ta có V ( S , k ) : (O) (O '), P P ', Q Q ' Đặt 2 Gọi I, J giao điểm AB với PP’ OO’ Khi ta có IP IA.IB IP ' IP IP ' 0,5 0,5 Mà PB// P’Q’ nên JQ = JB’ KBB_HSG11_TOÁN_02 Suy AB trung trực QQ’ Mà OO’ trung trực AB Vậy tứ giác AQBQ’ hình thoi Do Q’Q //AB hay Q’P’ // QM Giả sử V(S, k) biến B’ thành M QB’ // Q’M Mà M thuộc (O) suy B’ thuộc (O’) B’ trùng với B Vậy V(S, k) biến M thành B Tương tự ta có V(S, k) biến M’ thành B Suy M, B, M’ thẳng hàng hay MM’ qua B Câu 5.1 (2đ) 0,5 0,5 S C' I M E C A O F Xét ta giác SAC: Qua A, C kẻ đường thẳng song song với C’M, cắt SO E, F Ta 0,5 có: SA SE SC SF ; SM SI SC ' SI 0,5 SA SC SO 2 SM SC ' SI Tương tự, xét ta, giác SBD, ta có: 0,5 SB SD SO SB SD SA SC SA 2 2 SB ' SD ' SI SB ' SD ' SM SC ' SM 0,5 SB SD SA S A 3 1 M SM Vậy SB ' SD ' B C M K H I A N D KBB_HSG11_TOÁN_02 0,5 Câu 5.2 (3,0đ) SAD ; K hình chiếu vng góc H lên SN ; I giao Gọi góc SC HC với AD Lấy E đối xứng với I qua K 0,5 Vì AD ( SMN ) AD HK Kết hợp với HK SN KH ( SAD ) Mà HK đường trung bình tam giác ICE nên HK // CE Suy CE ( SAD) E Suy SEC vng E SE hình chiếu SC SAD Ta có CSE 0,5 SH HN 3ax 3ax CE SN 3a x 3a x Đặt x SH ( x 0) 25a 3a CH CM MC 7a 4 HK SC SH CH x 7a EC 3ax 3ax sin 2 2 SC (4 x 3a )( x 7a ) (4 x 21a ) 31a x sin 3ax 21.a x 31.a x sin 12 21 31 0,5 0,5 0,5 21 x a Dấu đẳng thức xảy Vậy lớn sin lớn Câu (2,0đ) Đặt Khi đó: tan cos 1 x 1 y 21 a , 0; x tan y tan , z tan Vì x nên SH 1 z 0,5 2 tan tan 1 tan 2cos cos 2 2 4cos 2cos 2 2cos 1 0,5 2 4cos 0,5 0,5 KBB_HSG11_TOÁN_02 cos 1 cos 2 Dấu xẩy x y z (Học sinh có cách giải khác cho điểm tương đương) Tức là: ... uk 1 uk 1uk 2021 uk 1uk 2021 uk uk 1 Ta có u u u 1 S n n 2021 u2 u3 un 1 2021 u1 un 1 2021 un 1 Khi lim S n lim 2021 2021 un 1 .. .KBB_ HSG11_ TOÁN _02 …………………………………………………Hết………………………………………………… KBB_ HSG11_ TOÁN _02 Câu Câu 1.1 (2,5đ) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điều... điều phải chứng minh + Vì 2022 =3x674 nên hình chữ nhật kich thước 2021 x 2022 chia thành 674x 2021 hình chữ nhật có kích thước 1x3 + Vậy tổng số điền ô hình chữ nhật là: 674. 2021 =1362154 410 + Tập