CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 16 doc

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 16 SPIN, MOMENT TOÀN PHẦN VÀ PHÉP QUAY HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Hàm trạng thái với spin ½ trong phép quay hữu hạn. Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là đại lượng vector. Vì vậy, nếu chọn các toán tử zyx SSS ˆ ; ˆ ; ˆ dưới dạng các ma trận định thì hàm trạng thái lại phải thay đổi theo một quy luật nhất định trong phép quay không gian Với zyx SSS ˆ ; ˆ ; ˆ đã chọn như trong bài 15 thì, nếu tạm thời bỏ qua các toạ độ không gian , giá trị trung bình của chúng sẽ được tính như sau: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( ) ( ) ( ) 1 * 22 * 1 2 1 * 2 * 1 2 1 * 2 * 1 2 ; 2 01 10 ; 2 ˆ ψψψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ +=         =                 =ΨΨ= +  xx SS (16.1) ( ) ( ) ( ) 1 * 22 * 1 1 2 * 2 * 1 2 1 * 2 * 1 2 ; 2 0 0 ; 2 ˆ ψψψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ −−=         − =                 − =ΨΨ= +  i i i i i SS yy (16.2) ( ) ( ) ( ) 2 * 21 * 1 2 1 * 2 * 1 2 1 * 2 * 1 2 ; 2 10 01 ; 2 ˆ ψψψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ −=         − =                 − =ΨΨ= +  zz SS (16.3) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, bộ ba số ( ) 1 * 22 * 1 ψψψψ + ( ) 1 * 22 * 1 ψψψψ −− i và ( ) 2 * 21 * 1 ψψψψ − phải biến đổi trong phép quay như ba toạ độ của bán kính vector của một điểm. Để đỡ phức tạp, ta hãy xét phép quay hệ trục toạ độ Oxyz quanh trục Oz một góc ϕ , để nhận được trục mớI Ox’y’z’ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, nếu ký hiệu (x,y,z) và (x’,y’,z’)lần lượt là các toạ độ của một điểm M trong các hệ toạ độ “cũ” và “mới”, thì:      = +−= += zz yxy yxx ' ' ' cossin sincos ϕϕ ϕϕ (16.4) Tương ứng, yêu cầu về mối liên hệ giữa hàm trạng thái         =Ψ ' 2 ' 1 ' ψ ψ trong hệ O’x’y’z’ và hàm trạng thái         =Ψ 2 1 ' ψ ψ trong Oxyz (mô tả cùng một trạng thái của hạt) sẽ là: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        +=− −++=− +−+=+ 2 * 21 * 1 ' 2 * ' 2 ' 1 * ' 1 1 * 22 * 11 * 22 * 1 ' 1 * ' 2 ' 2 * ' 1 1 * 22 * 11 * 22 * 1 ' 1 * ' 2 ' 2 * ' 1 cossin sincos ψψψψψψψψ ϕψψψψϕψψψψψψψψ ϕψψψψϕψψψψψψψψ ii i (16.5) Vì các biểu thức ở ba phương trình trên là các biểu thức bậc hai đối với 21 , ψψ nên có thể đoán rằng, để chúng biến đổi giống như ba toạ độ của một điểm khi bị quay một góc - ϕ (ứng với việc quay hệ toạ độ một góc bằng ϕ ) thì 21 , ψψ phải biến đổi như kiểu bị quay một góc - ϕ /2. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Và quả vậy, nếu lấy:      = = − 2 2 * ' 2 2 1 * ' 1 ϕ ϕ ψψ ψψ i i e e t hì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕψψψψϕψψψψ ϕϕψψϕϕψψ ψψψψψψψψ ϕϕ sincos sincossincos 1 * 22 * 11 * 22 * 1 2 * 12 * 1 1 * 22 * 1 ' 1 * ' 2 ' 2 * ' 1 +−+= =+−−= =+=+ − i ii ee ii (16.6) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tức là hệ thức thứ nhất trong (16.5) thoã mãn. Các hệ thức còn lại cũng được chứng minh theo cách đơn giản như vậy. Ta hãy lưu ý đến một trường hợp đặc biệt, khi ϕ =2 π . Khi đó, tất cả các điểm trong không gian đều nhận lại các toạ độ cũ như trước khi quay, và ta cũng có thể coi rằng chưa hề có việc thực hiện phép quay nào Tuy nhiên, vì 1 −= ± π i e nên (16.6) lúc đó trở thành:      −= −= 2 ' 2 1 ' 1 ψψ ψψ (16.7) [...]... đơn vị của trục Oz, trong trường hợp này là trục quay), nên (16. 8) trở thành:  1     ˆ Ψ = 1 +  S k δϕ  Ψ (16. 9)     Trong trường hợp tổng quát, khi trục quay không trùng với Oz, vector '  k cần được thay bởi vector đơn vị  n của trục quay tương ứng, tức là thay cho (16. 9), ta có:  1     ˆ ' Ψ = 1 +  S n δϕ  Ψ (16. 10)     Bây giờ ta xét tác động của phép quay lên hàm... nam tức là: '   ψ ( r ) = ψ ( r − δr ) ' (16. 13) Mặt khác:         i    i   ˆ ˆ ( r − δr ) = ψ ( r ) − ∇ψ ( r )δr = ψ ( r ) − δr Pψ ( r ) = ψ ( r ) − [ r × r ]δϕ.P.ψ ( r ) ψ   (16. 14)      Áp dụng cộng thức a × b c = −[ a × c ]b [ ]       ˆ ˆ ˆ r × P  n = − M n [ r × n] P = − ta được    do đó, kết hợp (16. 13) với (16. 14) ta được:   i     ˆ ψ ( r ) = ψ (... x ' = x + yδϕ  '  y = − xδϕ + y z ' = z  (16. 11) '   hay: r = r + δr  trong đó δr có ba toạ độ là yδϕ, -xδϕ và 0 [ ]    Rõ rang, ta có δr = r × k δϕ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Trong trường hợp trục quay tuỳ ý với vector đơn vị n , ta có:    δr = [ r × n ]δϕ Do đó: '    r = r + [ r × n ]δϕ (16. 12) Giả sử hàm trạng thái chỉ phụ thuộc vào... HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam hay   i      ˆ ψ ( r ) = 1 +  M n .δϕ ψ ( r )      ˆ trong đó M là toán tử moment quỹ đạo ' (16. 15) Bây giờ ta kết hợp (16. 10) với (16. 15): đối với hàm vừa phụ thuộc x, y, z, vừa phụ thuộc biến số spin, trong phép quay hệ trục toạ độ nó phải chịu tác động của cả hai toán tử:  i     ˆ R1 ( δϕ ) = 1 +  S n... vô cùng bé bậc cao thì toán tử tích sẽ là:  i     ˆ R1 ( δϕ ) R2 ( δϕ ) = 1 +  J n .δϕ  (16. 16)        ˆ ˆ ˆ J =M +S trong đó là toán tử moment toàn phần của hạt Như vậy, qua phép quay vô cùng bé, hàm ψ 1  Ψ=  ψ   2 biến thành:  i Ψ = 1 +   '  ˆ  J n .δϕ  Ψ       (16. 17) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2 Trường hợp spin tuỳ... ˆ J =M +S là moment toàn phần thì ta vẫn có quy tắc biến đổi hàm trạng thái như (16. 17) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tuy nhiên, nói chung thì hàm trạng thái không có tính chất spinor nghĩa là nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào toạ độ thì quy tắc biến đổi vẫn không phải là quy tắc (16. 16) Trường hợp spin bằng 1 (tức là l = 1), hàm trạng thái gồm ba thành phần và biến... thay đổi giá trị của hàm trạng thái khi quay hệ trục toạ độ, kể cả khi hàm trạng thái không phụ thuộc toạ độ Chú ý: Với quy luật biến đổi cho bởi (16. 6) người ta nói hàm trạng thái với spin ½ là spinor iϕ  '* ψ 1 = ψ 1 e 2  iϕ − * ψ ' = ψ e 2 2  2 (16. 6) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam... xét phép quay hệ trục toạ độ quanh trục Oz, nhưng lần này, thay cho góc quay là ϕ, ta sẽ xét một góc quay vô cùng bé δϕ Vì với x đủ nhỏ thì ex ≈ 1+x nên (16. 6) trở thành:  '  iδϕ  ψ 1 = ψ 1 1 +   2     ψ ' = ψ 1 − iδϕ   2  2 2    (16. 8) Mặt khác, vì:  1   ψ 1  1  1 0 ψ  1 1    ˆ 1 2 ˆ  =    = S z Ψ =  S k Ψ       − 1 ψ  2  0 − 1ψ 2    2  2  HONG... trong không gian mà còn phụ thuộc cả biến số spin nên không thể nói rằng sau khi quay một vòng thì dứt khoát hàm trạng thái phải nhận lại giá trị cũ (ii) thứ hai, bản than hàm trạng thái không phải là đại lượng đo được mà chỉ có các biểu thức bậc hai của chúng ψ ψ 1 +ψ ψ 2 * 1 hoặc * 2 ψ ψ 2 +ψ ψ 1 * 1 * 2 mới đo được HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì vậy, giá trị . Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 16 SPIN, MOMENT TOÀN. ) rnM i r     ψδϕψ             += ˆ 1 ' (16. 15) trong đó M ˆ  là toán tử moment quỹ đạo. Bây giờ ta kết hợp (16. 10) với (16. 15): đối với hàm vừa phụ thuộc