TÓM TẮT PHẦN TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH 2 BIÊN SOẠN LÊ TUẤN ANH LÊ THÁI BẢO CNTT 6 K62 BKHN 1 Tích phân bội 3 Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z=φ(x,y) và giới[.]
TĨM TẮT PHẦN TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN-LÊ TUẤN ANH-LÊ THÁI BẢO CNTT K62-BKHN Tích phân bội - Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D giới hạn mặt z=φ(x,y) giới hạn z=ψ(x,y) thì: ( x, y ) f ( x, y, z)dxdydz dxdy D f ( x, y, z )dz ( x, y ) - Một số lưu ý tìm hình chiếu: + Khi vật thể giới hạn mặt ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 cách khử z từ hai phương trình mặt VD: z x y z x y ta x2 y x2 y x2 y + Đối với vật thể có giới hạn nhiều mặt ta chọn dựa vào phương trình khơng chứa z để tìm D VD: z x y , y x , y , z=0 ta chọn mặt y x , y=1 để lấy miền D +Nếu mặt không đủ để tạo miền D đóng ta tìm giao tuyến mặt cịn lại với mặt z=0 để tìm miền D Cịn mặt đủ tạo miền D đóng giao tuyến mặt lại giúp cho ta định φ(x,y) ψ(x,y) cận cận - Đổi biến sang tọa độ trụ: x sin cos y sin sin ; J sin z cos f ( x, y,z)dxdydz d d sin fd Tọa độ cầu mở rộng: J ab sin với a,b hệ số x,y phương trình elip - Ứng dụng hình học: Tính thể tích cho f=1 Tích phân đường loại - Cách tính tham số hóa đường cong: Cung AB có x=x(t), y=y(t), với t1≤t≤t2: f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) xt' yt' dt AB Tương tự cho không gian chiều x, y, z Lưu ý: Cách tìm đường thẳng qua điểm A, B: x xA ( xA xB )t x xA y yA ; x A xB y A yB y y A (y A yB )t - Ứng dụng: tính độ dài đường thẳng Tích phân đường loại Cách tính: - Cách 1: Dùng định nghĩa: Nếu cung AB có tham số: x=x(t), y=y(t) từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì: t2 Pdx Qdy P( x(t ), y(t )) x (t ) Q( x(t ), y (t )) x (t ) dt ' AB ' t Lưu ý: Không ghi t1≤t≤t2 ghi t từ t1 đến t2 - Cách 2: Dùng cơng thức Green: Cho D miến đóng bị chặn mp Oxy với biên C trơn khúc Pdx Qdy (Q ' x C Py' )dxdy D Lưu ý: Dấu “+” hướng C đường cong kín hướng dương Nếu C khơng kín ta phải bù thêm Nếu miền C có điểm khơng tính ta bỏ điểm (Xem giảng để biết chi tiết) - Cách 3: Tích phân khơng phụ thuộc đường đi: Nếu Q’x=P’y, tồn U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy Có cách để tính: + Chọn đường khác từ A đến B cho song song với trục tọa độ U x' P +Giải hệ: ' tìm U giống pt vi phân tồn phần (giải tích 1) U y Q Pdx Qdy dU U (B) U ( A) AB Lưu ý: Ta nên sử dụng cách theo ưu tiên sau đây: Nếu hàm P, Q đơn giản: Khơng phụ thuộc đường đi, tính theo định nghĩa, Green Nếu hàm P, Q phức tạp: Không phụ thuộc đường đi, Green, tính theo định nghĩa Tích phân mặt loại 1: Cách tính: B1: Tìm hình chiếu mặt S xuống mặt phẳng Oxy (Dxy), Oyz (Dyz), Oxz (Dxz) Ở ta giả sử chiếu xuống mặt Oxy B2: Từ phương trình mặt phẳng F(x, y, z)=0 ta rút z theo x, y Tính dS z x' z 'y dxdy Ta được: I f ( x, y, z ( x, y ))dS f ( x, y, z ( x, y )) z x' z 'y dxdy Dxy Dxy Ta được: I f ( x, y, z ( x, y ))dS f ( x, y, z ( x, y )) z x' z 'y dxdy Dxy Dxy Tích phân mặt loại 2: - Vecto gradient: n ∇F(M)=(F’x(M), F’y(M),F’z(M)) F F - Cách xác định vecto đơn vị mặt S với phương trình mặt S F(x, y, z)=0 B1: ∇F=(F’x, F’y,F’z) B2: Xác định góc α, β, γ (góc hợp vecto pháp tuyến với trục Ox, Oy, Oz) nhọn hay tù đề suy tọa độ pháp vecto dương hay âm so sánh với dấu tọa độ tương ứng n F = (cosα, cosβ, cosγ) F B3: Xác định dấu pháp vecto đơn vị - Cách tính tích phân mặt loại 2: + Cách 1: Chuyển tích phân mặt loại 1: Tím pháp vecto n mặt S: n F = (cosα, cosβ, cosγ) F Thay vào công thức sau: Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Qcos R cos )dS S S + Cách 2: Tính phần tích phân mặt loại 2: I1 P( x, y, z )dydz P cos dS theo bước: S S B1: xác định góc α nhọn hay tù để biết cosα dương hay âm B2: Vì cần tính theo dydz nên ta tìm hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz Dyz B3: Viết phương trình mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P B4: Đưa tích phân thành tích phân kép: I1 P( x, y, z )dydz P( x( y, z ), y,z )dydz S Dyz Trong tích phân kép lấy dấu dương hay âm cosα dương hay âm Nếu S song song với trục Ox α=π/2 nến cosα=0 I1=0 Tương tự cho tích phân I2, I3 + Cách 3: Cơng thức Gauss-Ostrogratxki: Cho miền V đóng bị chặn khơng gian có biên mặt S trơn khúc: Pdydz Qdzdx Rdxdy (P Q ' x S ' y Rz' )dV V Trong tích phân bội ba lấy dấu “+” S biên V lấy dấu “-“ S biên phía V - Cơng thức Stockes: ( Pdx Qdy Rdz ) (Q ' x C Py' )dxdy (Pz' Rx' )dzdx (R 'y Qz' )dydz S Với S mặt có biên đường cong C trơn khúc Trong hướng S lấy cho đứng mặt S theo phía chọn dọc đường cong C theo hướng cho ta thấy mặt S bên tay trái Lưu ý: Một số kinh nghiệm xác định hướng mặt S q trình tính theo CT Stockes: Ngược chiều KĐH nhìn từ trục z dương có Ngược chiều KĐH nhìn từ phía trục y âm có cos Cùng chiều KĐH nhìn từ phía trục x dương có cos cos SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC TÍCH PHÂN Chúc bạn học tốt , đạt kết cao ... F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P B4: Đưa tích phân thành tích phân kép: I1 P( x, y, z )dydz P( x( y, z ), y,z )dydz S Dyz Trong tích phân kép lấy dấu dương hay âm cosα dương hay... F = (cosα, cosβ, cosγ) F B3: Xác định dấu pháp vecto đơn vị - Cách tính tích phân mặt loại 2: + Cách 1: Chuyển tích phân mặt loại 1: Tím pháp vecto n mặt S: n F = (cosα, cosβ, cosγ) F... tích phân I2, I3 + Cách 3: Cơng thức Gauss-Ostrogratxki: Cho miền V đóng bị chặn khơng gian có biên mặt S trơn khúc: Pdydz Qdzdx Rdxdy (P Q '' x S '' y Rz'' )dV V Trong tích phân