ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================== TIỂU LUẬN TOÁN CHO VẬT LÝ Giảng viên hướng dẫn TS Vũ Xuân Hòa Học viên thực hiện 1 Nguyễn Văn Hinh 2 Nguyễn Thị Thêm 3 Đinh Thị Hà Thái N.Giới hạn 0chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi t = 0, được dùng để lấy gốc hàm số f(t) tại thời điểm t = 0. Biến đổi Laplace hai phía Một khi nói biến đổi Laplace mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vô cực.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================== TIỂU LUẬN TOÁN CHO VẬT LÝ Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xuân Hòa Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Hinh Nguyễn Thị Thêm Đinh Thị Hà Thái Nguyên, tháng 12/2021 Trang Giáo viên chấm điểm Chữ ký họ tên giáo viên STT Chữ ký họ tên giáo viên Họ tên học Viên Điểm số Nguyễn Văn Hinh Nguyễn Thị Thêm Đinh Thu Hà Bằng chữ PHẦN 1: NỘI DUNG LÝ THUYẾT Trang Câu 1: Anh/chị trình bày khái niệm chuỗi Fourier tuần hịa với chu kỳ 2π, tuần hoàn với chu kỳ 2l Trả lời a.Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ Trong nhiều tốn cần khai triển hàm tuần hồn (chu kỳ 2) f(x) thành chuỗi hàm lượng giác f(x) = (1) (1) gọi chuỗi Fourier hàm f(x) Giả sử ta có (1) (vế phải chuỗi hội tụ) ta tính hệ số a0, ak, bk - Lấy tích phân vế (1) = => Nhân vế (1) với cosnx => = => (n=1,2, ) Tương tư ta có : => (n=1,2, ) b.Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ * Định lý Dirichlet : - Các hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục khúc khoảng (- chuỗi Fourier (1) hội tụ ta có đẳng thức : = Tính chất đối xứng : 1) Nếu f(x) hàm chẵn khoảng (-, f(x) = f(-x) Khi bk=0, ak= k=0,1,2, f(x) = 2) Nếu f(x) hàm lẻ [ f(-x) = - f(x) => ak = 0, f(x) = Trang Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2: - Giả sử hàm f(x) hàm liên tục khúc tuần hồn với chu kỳ 2l Đặt x=at (a>0) hàm f(at) tuần hoàn với chu kỳ 2l Chọn a cho , tức ; Khi hàm số Trong : Đổi từ biến t sang biến x, lưu ý => Khi đó, f(x) = với: Tương tự phần trên: - Nếu f(x) chuỗi chẵn f(x) = với k=0, 1, 2, - Nếu f(x) lẻ f(x) = với k=0, 1, 2, Câu 2.Anh/chị trình bày phép biến đổi Laplace: phép biến đổi hàm thơng thường; tính chất phép biến đổi Laplace; phép biến đổi Laplace ngược Trả lời Phép biến đổi Laplace cách tiếp cận miền tần số cho tín hiệu thời gian liên tục tính ổn định hệ thống Phép biến đổi Laplace hàm số f(t) (với số thực t ≥ 0) hàm số F(s), định nghĩa sau: Trong đó: s biến số phức cho s = (với s miền tần số, có đơn vị phần giây s-1 Giới hạn 0-chỉ rõ thời điểm bắt đầu trước t = 0, dùng để lấy gốc hàm số f(t) thời điểm t = Biến đổi Laplace hai phía Một nói "biến đổi Laplace" mà khơng ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía cách mở rộng giới hạn tích phân đến vơ cực Như vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai phía, xác định cách lấy hàm chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside Biến đổi Laplace ngược Trang Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) Biến đổi Laplace ngược định nghĩa tích phân sau Nhưng thơng thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) Các tính chất biến đổi Laplace TÍNH CHẤT MIỀN THỜI GIAN MIỀN TẦN SỐ Tuyến tính af(t) + bg(t) aF(s) + bG(s) Đạo hàm miền tần số tf(t) -F’(s) Đạo hàm bậc n miền tần số tnf(t) (-1)n F(n)(s) Đạo hàm miền thời gian f’(t) sF(s)-f(0-) Đạo hàm bậc f’’(t) s2F(s)-sf(0-)- f’(0-) Tổng quát f(n) (t) sn F(s)-sn-1 f(0-)- …- f(n-1) (0-) Tích phân miền tần số Tích phân miền thời gian Đồng dạng Biến đổi miền tần số = u(t)*f(t) F(at) F(s-a) Trang Biến đổi miền thời gian f(t-a)u(t-a) Tích chập (f*g)(t) Hàm tuần hoàn f(t) F(s)G(s) PHẦN 2: NỘI DUNG BÀI TẬP Bài tập 1: a) Tìm biến đổi Laplace ngược �(�) = � -1 {} Trả lời f(x) = � -1 {} = Ta có: = == => L-1{} = L-1{} = Vậy : f(t) = f(t) = b) Tìm chuỗi Fourier hàm f (x)=x khoảng (-π,π) vẽ đồ thị chuỗi tìm Trả lời Vì f(x)= x hàm lẻ khoảng (-π,π) => ak=0 f(x)= Ta có : Sử dụng tích phân phần ta : => f(x) = x= Đồ thị mô tả hàm f(x) = x ứng tổng riêng S4 Trang Bài tập 2: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L Trả lời Ta có = = Vậy F(s) = L +L- L =Bài tập 3:Tìm biến đổi Laplace F(s) = L Trả lời F(s) = L = L = L -L = Bài 4: Giải phương trình : � 2(1 - � 2) = 16 ; với z số phức Trả lời �2- �4 = 16 -�4 + �2 -16 = Đặt: �2 = t => -t2 + t -16 =0 12 - 4.(-1).(-16) = - 63 = 63i2 Nghiệm : Vậy : z2 = t1 => z = z2 = t2 => z = Trang Bài tập 5:Ví dụ ứng dụng phép biến đổi Laplace vật lý truyền thông, cơng nghệ thơng tin Trả lời Ví dụ Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s Biến đổi Laplace sử dụng để biến đổi yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s Chú ý: điện trở R, mạch miền t mạch miền s giống Riêng cuộn cảm L tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu cuộn cảm áp ban đầu tụ điện) Trang Ví dụ Hàm truyền Trong kỹ thuật, hàm truyền (còn gọi hàm hệ thống hàm mạng) thành phần hệ thống điện tử điều khiển hàm tốn học mơ hình hóa lý thuyết đầu thiết bị cho đầu vào Ở dạng đơn giản nhất, hàm đồ thị hai chiều đầu vào vô hướng độc lập so với đầu vô hướng phụ thuộc, gọi đường cong truyền đường đặc tính Các hàm truyền cho thành phần sử dụng để thiết kế phân tích hệ thống lắp ráp từ thành phần, đặc biệt sử dụng kỹ thuật sơ đồ khối, lý thuyết điều khiển điện tử Các kích thước đơn vị chức truyền mơ hình phản hồi đầu thiết bị loạt đầu vào Hàm truyền mạch điện tử hai cổng khuếch đại đồ thị hai chiều điện áp vô hướng đầu dạng hàm điện áp vô hướng đặt vào đầu vào; chức chuyển truyền động điện dịch chuyển học cánh tay đòn chuyển động hàm dòng điện áp dụng cho thiết bị; hàm truyền tách sóng quang điện áp đầu hàm cường độ sáng ánh sáng tới bước sóng định Thuật ngữ "hàm truyền" sử dụng phân tích miền tần số hệ thống sử dụng phương pháp biến đổi biến đổi Laplace; có nghĩa biên độ đầu hàm tần số tín hiệu đầu vào Ví dụ, hàm truyền lọc điện tử biên độ điện áp đầu dạng hàm tần số sóng sin có biên độ khơng đổi áp dụng cho đầu vào Đối với thiết bị hình ảnh quang học, hàm truyền quang phép biến đổi Fourier hàm trải điểm (do hàm tần số khơng gian) Sự liên hệ miền thời gian t miền tần số biểu diễn thông qua bảng sau: Trang Trong hệ thống LTI mơ tả số hàm truyền hay khác, có số "họ" hàm truyền đặc biệt sử dụng phổ biến Các lọc áp ứng xung vơ hạn điển hình thiết kế để thực hàm truyền đặc biệt Một số họ hàm truyền phổ biến đặc điểm cụ thể chúng là: • Bộ lọc Butterworth – làm phẳng tối đa dải thông dãi dừng với bậc cho trước • Bộ lọc Chebyshev (loại I) - làm phẳng tối đa dãi dừng, cắt sắc nét Butterworth bậc • Bộ lọc Chebyshev (Loại II) – làm phẳng cực đại dãi thông, cắt sắc nét Butterworth với bậc • Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt cho bậc cho trước chúng khơng có gợn trễ nhóm • Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét (chuyển tiếp hẹp dãi thông dãi dừng) với bậc cho trước • Bộ lọc "L" tối ưu • Bộ lọc Gauss – độ trễ nhóm tối thiểu; khơng có độ vọt lố hàm bước Trang 10 • Bộ lọc Hourglass • Bộ lọc cos tăng Ví dụ 3: Trong vật lí Quan hệ ảnh toán tử U, I phần tử thụ động mạch ir = ur u ( p) → I r ( p) = r r r ul = L a.Quan hệ U,I phần tử R dil u + L.il (0) → Il = l dt L p b.Quan hệ U,I phần tử L uc = idt → I c ( p ) = C∫ U c ( p) − U c (0) p Cp c.Quan hệ U,I phần tử C Ví dụ 4: Dao động mạch R-L-C song song -Mạch gồm có phần tử R-L-C mắc song song,với nguồn tác động bậc thang E -Ta vẽ sơ đồ tương đương dạng toán tử giả thiết điều kiện ban đầu U l (0) = 0;U c (0) = Trang 11 I ( p) U ( p ) = I ( p ).Z ( p ) = =P Y ( p) g= g ;α = ;ω0 = R 2C R + / C P Laplace LP + C L R I 1 C C = = g P + 2αp + ω g + CP + P2 + P + LP C LC 1 ; LC P I c ( p ) = U ( p ).CP = P + 2αp + ω 02 U ( p) LC I l ( p) = = LP p ( p + 2αp + ω 02 ) Mục lục Khái niệm chuỗi Fourier…………………………………… Trang Phép biến đổi Laplace……………………………………… Trang Bài tập 1………………………………………………… ….Trang Bài tập 2……………………………………………………….Trang Bài tập 3……………………………………………………….Trang Bài tập 4……………………………………………………….Trang Ứng dụng phép biến đổi Laplace…………………………… Trang Tài liệu tham khảo…………………………… …………… Trang 13 Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA Trang điện tử https://www.wikimedia.org/ PHỤ LỤC ST T Nội dung Học viên hoàn thiện Lý thuyết câu số Đinh Thị Hà Lý thuyết câu số Nguyễn Thị Thêm Trang 13 Nguyễn Văn Hinh(Giải tập) Đinh Thị Hà( Đánh máy) Bài tập 1,2 Bài tập 3,4 Bài tập 5: Ứng dụng Nguyễn Văn Hinh Hoàn thiện tiểu luận Nguyễn Văn Hinh Nguyễn Văn Hinh(Giải tập) Nguyễn Thị Thêm( Đánh máy) Trang 14 ... điện áp đầu dạng hàm tần số sóng sin có biên độ khơng đổi áp dụng cho đầu vào Đối với thiết bị hình ảnh quang học, hàm truyền quang phép biến đổi Fourier hàm trải điểm (do hàm tần số không gian)... vào đầu vào; chức chuyển truyền động điện dịch chuyển học cánh tay đòn chuyển động hàm dòng điện áp dụng cho thiết bị; hàm truyền tách sóng quang điện áp đầu hàm cường độ sáng ánh sáng tới bước... • Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt cho bậc cho trước chúng khơng có gợn trễ nhóm • Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét (chuyển tiếp hẹp dãi thông dãi dừng) với bậc cho trước • Bộ lọc "L" tối ưu • Bộ