Câu 2.Anhchị trình bày phép biến đổi Laplace: phép biến đổi của các hàm thông thường; các tính chất của phép biến đổi Laplace; phép biến đổi Laplace ngược. Bài làm Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể tính ổn định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) (với mọi số thực t ≥ 0) là hàm số F(s), được định nghĩa như sau: L={f(t)}=F(s)= ∫_(0)∞▒〖f(t).e(st) dt〗 Trong đó: s là biến số phức cho bởi s = σ+jω (với s là miền tần số, có đơn vị là phần giây s1 Giới hạn 0chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi t = 0, được dùng để lấy gốc hàm số f(t) tại thời điểm t = 0. Biến đổi Laplace hai phía Một khi nói biến đổi Laplace mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vô cực. L={f(t)}=F(s)= ∫_(∞)∞▒〖f(t).e(st) dt〗 Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside. Biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau. L(1) {F(s)}=f(t)=12πi ∫_(γi∞)(γ+i∞)▒〖est F(s)ds Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t). Các tính chất của biến đổi Laplace
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================== TIỂU LUẬN TOÁN CHO VẬT LÝ Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Xuân Hòa Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Hinh Nguyễn Thị Thêm Đinh Thị Hà Thái Nguyên, tháng 12/2021 Trang ST T Giáo viên chấm điểm Chữ ký họ tên giáo viên Chữ ký họ tên giáo viên Họ tên học Viên Điểm số Nguyễn Văn Hinh Nguyễn Thị Thêm Đinh Thu Hà Bằng chữ PHẦN 1: NỘI DUNG LÝ THUYẾT Câu 2.Anh/chị trình bày phép biến đổi Laplace: phép biến đổi hàm thông thường; tính chất phép biến đổi Laplace; phép biến đổi Laplace ngược Trang Bài làm Phép biến đổi Laplace cách tiếp cận miền tần số cho tín hiệu thời gian liên tục tính ổn định hệ thống Phép biến đổi Laplace hàm số f(t) (với số thực t ≥ 0) hàm số F(s), định nghĩa sau: Trong đó: s biến số phức cho s = (với s miền tần số, có đơn vị phần giây s-1 Giới hạn 0-chỉ rõ thời điểm bắt đầu trước t = 0, dùng để lấy gốc hàm số f(t) thời điểm t = Biến đổi Laplace hai phía Một nói "biến đổi Laplace" mà khơng ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía cách mở rộng giới hạn tích phân đến vơ cực Như vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai phía, xác định cách lấy hàm chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside Biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) Biến đổi Laplace ngược định nghĩa tích phân sau Nhưng thơng thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) Các tính chất biến đổi Laplace TÍNH CHẤT MIỀN THỜI GIAN MIỀN TẦN SỐ Tuyến tính af(t) + bg(t) aF(s) + bG(s) Đạo hàm miền tần số tf(t) -F’(s) Đạo hàm bậc n miền tần số tnf(t) (-1)n F(n)(s) Đạo hàm miền thời gian f’(t) sF(s)-f(0-) Đạo hàm bậc f’’(t) s2F(s)-sf(0-)- f’(0-) Tổng quát f(n) (t) sn F(s)-sn-1 f(0-)- …- f(n-1) (0-) Tích phân miền Trang tần số Tích phân miền thời gian = u(t)*f(t) F(at) Đồng dạng Biến đổi miền tần số Biến đổi miền thời gian F(s-a) f(t-a)u(t-a) Tích chập (f*g)(t) Hàm tuần hoàn f(t) F(s)G(s) PHẦN 1: NỘI DUNG BÀI TẬP Bài tập 1: Bài tập 2: Tìm biến đổi Laplace F(s) = L Bài làm Ta có = = Vậy F(s) = L +L- L =Bài tập 3:Tìm biến đổi Laplace F(s) = L Trang Bài làm F(s) = L = L = L -L = - Bài tập 5:Ứng dụng phép biến đổi Laplace vật lý truyền thơng, cơng nghệ thơng tin Ví dụ Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s Biến đổi Laplace sử dụng để biến đổi yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s Chú ý: điện trở R, mạch miền t mạch miền s giống Riêng cuộn cảm L tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu cuộn cảm áp ban đầu tụ điện) Trang Ví dụ Hàm truyền Trong kỹ thuật, hàm truyền (còn gọi hàm hệ thống hàm mạng) thành phần hệ thống điện tử điều khiển hàm tốn học mơ hình hóa lý thuyết đầu thiết bị cho đầu vào Ở dạng đơn giản nhất, hàm đồ thị hai chiều đầu vào vô hướng độc lập so với đầu vô hướng phụ thuộc, gọi đường cong truyền đường đặc tính Các hàm truyền cho thành phần sử dụng để thiết kế phân tích hệ thống lắp ráp từ thành phần, đặc biệt sử dụng kỹ thuật sơ đồ khối, lý thuyết điều khiển điện tử Các kích thước đơn vị chức truyền mơ hình phản hồi đầu thiết bị loạt đầu vào Hàm truyền mạch điện tử hai cổng khuếch đại đồ thị hai chiều điện áp vô hướng đầu dạng hàm điện áp vô hướng đặt vào đầu vào; chức chuyển truyền động điện dịch chuyển học cánh tay đòn chuyển động hàm dòng điện áp dụng cho thiết bị; hàm truyền tách sóng quang điện áp đầu hàm cường độ sáng ánh sáng tới bước sóng định Thuật ngữ "hàm truyền" sử dụng phân tích miền tần số hệ thống sử dụng phương pháp biến đổi biến đổi Laplace; có nghĩa biên độ đầu hàm tần số tín hiệu đầu vào Ví dụ, hàm truyền lọc điện tử biên độ điện áp đầu dạng hàm tần số sóng sin có biên độ khơng đổi áp dụng cho đầu vào Đối với thiết bị hình ảnh quang học, hàm truyền quang phép biến đổi Fourier hàm trải điểm (do hàm tần số không gian) Sự liên hệ miền thời gian t miền tần số biểu diễn thông qua bảng sau: Trang Trong hệ thống LTI mơ tả số hàm truyền hay khác, có số "họ" hàm truyền đặc biệt sử dụng phổ biến Các lọc áp ứng xung vơ hạn điển hình thiết kế để thực hàm truyền đặc biệt Một số họ hàm truyền phổ biến đặc điểm cụ thể chúng là: • Bộ lọc Butterworth – làm phẳng tối đa dải thông dãi dừng với bậc cho trước • Bộ lọc Chebyshev (loại I) - làm phẳng tối đa dãi dừng, cắt sắc nét Butterworth bậc • Bộ lọc Chebyshev (Loại II) – làm phẳng cực đại dãi thông, cắt sắc nét Butterworth với bậc • Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt cho bậc cho trước chúng khơng có gợn trễ nhóm • Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét (chuyển tiếp hẹp dãi thông dãi dừng) với bậc cho trước • Bộ lọc "L" tối ưu • Bộ lọc Gauss – độ trễ nhóm tối thiểu; khơng có độ vọt lố hàm bước • Bộ lọc Hourglass • Bộ lọc cos tăng Ví dụ 3: Trong vật lí Quan hệ ảnh toán tử U, I phần tử thụ động mạch ir = ur u ( p) → I r ( p) = r r r a.Quan hệ U,I phần tử R Trang ul = L dil u + L.il (0) → Il = l dt L p b.Quan hệ U,I phần tử L uc = idt → I c ( p ) = C∫ U c ( p) − U c (0) p Cp c.Quan hệ U,I phần tử C Ví dụ 4: Dao động mạch R-L-C song song -Mạch gồm có phần tử R-L-C mắc song song,với nguồn tác động bậc thang E -Ta vẽ sơ đồ tương đương dạng toán tử giả thiết điều kiện ban đầu I ( p) U ( p ) = I ( p ).Z ( p ) = =P Y ( p) g= g ;α = ;ω0 = R 2C R + / C P Laplace LP I L R C + U l (0) = 0;U c (0) = 1 C C = = g P + 2αp + ω g + CP + P2 + P + LP C LC 1 ; LC P I c ( p ) = U ( p ).CP = P + 2αp + ω 02 U ( p) LC I l ( p) = = LP p ( p + 2αp + ω 02 ) Trang Mục lục Khái niệm chuỗi Fourier…………………………………… Trang Phép biến đổi Laplace……………………………………… Trang Bài tập 1………………………………………………… …Trang Bài tập 2………………………………………………………Trang Bài tập 3………………………………………………………Trang Bài tập 4………………………………………………………Trang 10 Ứng dụng phép biến đổi Laplace…………………………….Trang 12 Tài liệu tham khảo…………………………… …………… Trang 15 Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA Trang điện tử https://www.wikimedia.org/ PHỤ LỤC ST T Nội dung Học viên hoàn thiện Lý thuyết câu số Đinh Thị Hà Lý thuyết câu số Bài tập 1,2 Nguyễn Thị Thêm Nguyễn Văn Hinh(Giải tập) Đinh Thị Hà( Đánh máy) Trang 10 Nguyễn Văn Hinh(Giải tập) Nguyễn Thị Thêm( Đánh máy) Bài tập 3,4 Bài tập 5: Ứng dụng Nguyễn Văn Hinh Hoàn thiện tiểu luận Nguyễn Văn Hinh Trang 11 ... KHẢO Bài giảng mơn TỐN CHO VẬT LÝ giảng viên TS:VŨ XUÂN HÒA Trang điện tử https://www.wikimedia.org/ PHỤ LỤC ST T Nội dung Học viên hoàn thiện Lý thuyết câu số Đinh Thị Hà Lý thuyết câu số Bài... • Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt cho bậc cho trước chúng khơng có gợn trễ nhóm • Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét (chuyển tiếp hẹp dãi thông dãi dừng) với bậc cho trước • Bộ lọc "L" tối ưu • Bộ... hóa lý thuyết đầu thiết bị cho đầu vào Ở dạng đơn giản nhất, hàm đồ thị hai chiều đầu vào vô hướng độc lập so với đầu vô hướng phụ thuộc, gọi đường cong truyền đường đặc tính Các hàm truyền cho