Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 0.1 Hàm phức và toán tử Laplace - Phạm Tùng Lâm Bài tập 1 (Bài 58 (trang 94)) Tìm tổng các chuỗi sau trong miền |z| =1 b) ∞ n=1 z n n d) ∞ n=0 (−1) n+1 z n n Bài Giải b) Ta có: ∞ n=1 z n n = z + z 2 2 + z 3 3 + + z n n + = C 1 z + C 2 z 2 + C 3 z 3 + + C n z n + Xét: R = lim n→∞ C n C n+1 = lim n→∞ 1/n 1/(n +1) = lim n→∞ n +1 n = lim n→∞ 1+ 1 n =1 Suy ra chuỗi hội tụ tuyệt đối trong hình tròn |z| =1 Ta có: ∞ n=1 z n n = ∞ n=1 z 0 z n−1 dz = z 0 ∞ n=1 z n−1 dz = z 0 z 0 1 − z dz = z 0 1 1 − z dz = − ln (1 − z)| z 0 = − ln (1 − z) Vậy: ∞ n=1 z n n = − ln (1 − z ) d) Tương tự bài trên, ta xét: R = lim n→∞ C n C n+1 = lim n→∞ (−1) n+1 n (−1) n+2 n+1 = lim n→∞ − (n +1) n = − lim n→∞ n +1 n = − lim n→∞ 1+ 1 n = −1 Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong hình tròn |z| =1 Ta có: ∞ n=0 (−1) n+1 . z n n =(−1) 0+1 . z 0 0 + ∞ n=1 (−1) n+1 . z n n = −∞ + ∞ n=1 (−1) n+1 . z n n = ∞ n=1 (−1) n+1 . z n n 1 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 Ta lại có: ∞ n=1 (−1) n+1 . z n n = ∞ n=1 (−1) ( −1) n . z n n = ∞ n=1 (−z) n −n = ∞ n=1 z 0 (−z) n−1 dz = z 0 ∞ n=1 (−z) n−1 dz = z 0 ( −z) 1 −1 1−(−z) dz = z 0 1 1+z dz = ln (1 + z)| z 0 = ln (1 + z) Vậy: ∞ n=0 (−1) n+1 . z n n =ln(1+z) Bài tập 2(Bài 77a (trang 147)) Nhờ hàm bước nhảy đơn vị biểu diễn dưới dạng công thức các hàm cho bằng đồ thị dưới đây và tìm ảnh của chúng: Hình 1: a) Bài Giải Từ đồ thị ta có: f (t)= 0(t<1) 3(1≤ t ≤ 4) 0(t>4) ta có: η ( t − 1) = 0(t<1) 1(t ≥ 1) và η ( t − 4) = 0(t<4) 1(t ≥ 4) Nên ta có: f (t)=3η (t − 1) − 3η (t − 4) 2 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 ⇒ f (t) . = F (p)= 3 p .e −p − 3 p .e −4p = 3 p e −p − e −4p . Vậy ảnh cần tìm là: F (p)= 3 p .e −p − 3 p .e −4p = 3 p e −p − e −4p . Bài tập 3 Giải phương trình: u tt = a 2 u xx 0 <x<l,t>0 u (0; t)=u (l; t)=0 u (x; 0) = 0; u t (x; 0) = sin 2π l x Bài Giải Giả sử: u (x; t) . = U (x; p) u tt . = p 2 U (x; p) − pu (x;0)− u t (x;0)= p 2 U (x; p) − sin 2π l x u (0; t) . = U (0; p)=0 u (l; t) . = U (l; p)=0 Phương trình vi phân gốc u tt = a 2 u xx trở thành phương trình ảnh sau: p 2 U (x; p) − sin 2π l x = a 2 d 2 dx 2 U (x; p) ⇔ d 2 dx 2 U − p 2 a 2 U = − 1 a 2 sin 2π l x (1) Nghiệm của phương trình trên có dạng U = U 1 + U 2 (2) Trong đó: U 1 là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng U 2 là nghiệm riêng của phương trình (1) - Nghiệm của phương trình thuần nhất: d 2 dx 2 U − p 2 a 2 U =0 có dạng: U 1 = C 1 . exp p a x + C 2 exp − p a x - Nghiệm riêng U 2 của phương trình (1) có dạng: U 2 = C 3 . sin 2π l x + C 4 . cos 2π l x (3) 3 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 Ta có: d dx U 2 = C 3 . 2π l . cos 2π l x − C 4 . 2π l . sin 2π l x ⇒ d 2 dx 2 U 2 = −C 3 . 2π l 2 . sin 2π l x − C 4 . 2π l 2 . cos 2π l x (4) Thế (3) và (4) vào (1) ta có: −C 3 . 2π l 2 . sin 2π l x −C 4 . 2π l 2 . cos 2π l x − p 2 a 2 C 3 . sin 2π l x + C 4 . cos 2π l x = − 1 a 2 sin 2π l x ⇔ C 3 . sin 2π l x . − 2π l 2 − p 2 a 2 + C 4 . cos 2π l x . − 2π l 2 − p 2 a 2 = − 1 a 2 sin 2π l x Ta cân bằng hệ số 2 vế, ta có: C 3 = 1 a 2 . 1 ( 2π l ) 2 + p 2 a 2 = 1 ( 2πa l ) 2 +p 2 C 4 =0 Thế C 3 và C 4 vào biểu thức U 2 ta có: U 2 = 1 2πa l 2 + p 2 . sin 2π l x Thế U 2 và U 1 vào biểu thức U = U 1 + U 2 ta có: U = C 1 . exp p a x + C 2 . exp − p a x + 1 2πa l 2 + p 2 . sin 2π l x áp dụng điều kiện biên: U (0; p)=U (l; p)=0ta có: C 1 + C 2 =0 C 1 . exp p a l + C 2 . exp − p a l =0 có định thức: 11 exp p a l exp − p a l = exp − p a l − exp p a l =0 nên hệ phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường là C 1 = C 2 =0 Vậy nghiệm của phương trình ảnh thỏa mãn điều kiện bài toán là: U (x; p)= 1 2πa l 2 + p 2 . sin 2π l x 4 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 Ta chuyển hàm trên vè hàm gốc, ta có: U (x; p) . = u (x; t)= l 2πa . sin 2π l t . sin 2π l x Vậy hàm nghiệm của bài toán có dạng: u (x; t)= l 2πa . sin 2π l t . sin 2π l x . 5 . Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 0.1 Hàm phức và toán tử Laplace - Phạm Tùng Lâm Bài tập 1 (Bài 58 (trang. C 2 =0 Vậy nghiệm của phương trình ảnh thỏa mãn điều kiện bài toán là: U (x; p)= 1 2πa l 2 + p 2 . sin 2π l x 4 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 Ta chuyển. ≥ 1) và η ( t − 4) = 0(t<4) 1(t ≥ 4) Nên ta có: f (t)=3η (t − 1) − 3η (t − 4) 2 Tiểu luận Toán cho vật lý Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - ĐHSP Huế - K21 ⇒ f (t) . = F (p)= 3 p .e −p − 3 p .e −4p = 3 p e −p −