Học kỳ/năm học THI CUỐI KỲ TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Ngày thi Môn học Cơ sở điều khiển tự động Mã môn học Thời lượng EE2019 90 phút 2020-2021 25/08/2021 Ghi chú: - Sinh viên tham khảo tài liệu giấy, sử dụng máy tính bỏ túi - Sinh viên không sử dụng tài liệu phần mềm tính tốn máy tính - Sinh viên tham khảo bảng biến đổi Laplace Z kèm theo đề Câu 1: (L.O.3.2, L.O.4.2) (2.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển Hình 𝐺(𝑠) = Hình 10 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 8) Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha 𝐺𝐶 (𝑠) dùng phương pháp quỹ đạo nghiệm số cho hệ thống sau thiết kế kỳ vọng thỏa mãn độ vọt lố 𝑃𝑂𝑇 = 10% thời gian độ 𝑡𝑞đ = giây (tiêu chuẩn 2%) Câu 2: (L.O.3.3, L.O.4.3) (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển Hình biểu đồ Bode Hình 𝐺(𝑠) = Hình 100(𝑠 + 1) 𝑠(𝑠 + 8𝑠 + 25) 2.1 Ước tính thời gian độ độ vọt lố hệ thống chưa hiệu chỉnh 2.2 Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha 𝐺𝐶 (𝑠) dùng phương pháp biểu đồ Bode cho hệ thống kín có độ ∗ ∗ dự trữ pha Φ𝑀 ≥ 60° sai số xác lập tín hiệu vào hàm dốc đơn vị 𝑒𝑥𝑙 = 0.05 Câu 3: (L.O.4.6) (2.0 điểm) Cho đối tượng mơ tả phương trình trạng thái: 𝒙̇ (𝑡) = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡) { 𝑦(𝑡) = 𝑪𝑥(𝑡) 𝑨=[ −2 ] , 𝑩 = [ ] , 𝑪 = [1 −5 0] Thiết kế điều khiển hồi tiếp trạng thái cho hệ thống kín có cặp cực phức −2 ± 𝑗 Viết biểu thức tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) sau thiết kế Câu 4: (L.O.2.1) (L.O.3.2) (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển rời rạc Hình 𝐺(𝑠) = Hình , 𝑇 = 0.5 𝑠𝑒𝑐 𝑠(𝑠 + 2) 4.1 Tìm hàm truyền đánh giá tính ổn định hệ thống kín 𝐺𝐶 (𝑧) = 4.2 Cho 𝐺𝐶 (𝑧) = 0.5 Tính đáp ứng 𝑦(𝑘) (𝑘 = ÷ 10) với tín hiệu vào hàm nấc đơn vị Tính độ vọt lố, thời gian độ (tiêu chuẩn 5%) sai số xác lập hệ thống MSSV: Họ tên SV: Trang 1/2 𝐺1 14dB 𝐺 −20 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 20.7𝑑𝐵 𝑑𝐵 −40 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 5.77 9.52 110𝑜 136.8𝑜 Hình HẾT -MSSV: Họ tên SV: Trang 2/2 368 Phụ lục A BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ Z No Haøm Laplace F(s) 1/s 1/s2 1/s3 Hàm thời gian f(t) u(t) t t2/2 Haøm z F(z) z/(z - 1) Tz/(z - 1)2 T2z(z + 1)/2(z - 1)3 3 t 3! 6(z − 1)4 (s + a) e–at s T3z(z2 + 4z + 1) z z − e− aT Tze−aT z − e− aT (s + a) (s + a)3 −at t e a s(s + a) – e–at te –at a t− s (s + a) 10 b−a (s + a)(s + b) 11 (s + a)2 12 13 a a2 a s2 + a 15 s2 + a 16 17 s b z[(aT − 1+ e−aT )z + (1− e−aT − aTe−aT )] − e a a(z − 1)2(z − e− aT ) (e−aT − e−bT )z e–at – e–bt (z − e− aT )(z − b e− bT ) z[z − e−aT (1+ aT)] (z − e− aT )− z z aTe−aT z − − z − z − e− aT (z − e− aT )2 s(s + a)(s + b) z sin aT z2 − (2 cos aT)z + cos at z2 − (2 cos aT)z + e–atcosbt s+a (z − e− aT )(z − e− bT ) sin at (s + a)2 + b2 (s + a) + b z[z(b − a) − (be−aT − ae −bT )] be–bt–ae–at e–atsinbt 18 (z − 1)(z − e− aT ) − at 2 z(1− e−aT ) – (1 + at) e–at (b − a)s (s + a)(s + b) 14 T2 − aT z(z + e−aT ) e (z − e− aT )3 (1– at)e–at s(s + a)2 z(z − cos aT) ze−aT sin bT 20 S − aT z − 2e (cos bT)z + e− 2aT z(z − e−aT cos bT) z − 2e− aT (cos bT)z + e− 2aT (Az + B)z − at (z − e− aT )(z − e− bT )(z − 1) − at e be + + ab a(a − b) b(b − a) A= B= 19 b(1− e−aT ) − a(1− e−bT ) ab(b − a) ae−aT (1− e−bT ) − be−bT (1− e−aT ) ab(b − a) δ(t) u(t) = 1( t) = lim +∞ ∑ δ(t − nT) T → n= 1− e− TS = z z −1 THI CUỐI KỲ ĐÁP ÁN TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Học kỳ/năm học Ngày thi Môn học Cơ sở điều khiển tự động Mã môn học Thời lượng EE2019 90 phút 2020-2021 25/08/2021 Ghi chú: - Sinh viên tham khảo tài liệu giấy, sử dụng máy tính bỏ túi - Sinh viên không sử dụng tài liệu phần mềm tính tốn máy tính Câu 1: (2.0 điểm) Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế khâu sớm pha: 𝐺𝐶 (𝑠) = 𝐾𝐶 𝑠 + (1/𝑎𝑇) 𝑠 + (1/𝑇) (𝛼 > 1) Xác định cặp cực định: 𝑃𝑂𝑇 = 𝑒 𝑡𝑞đ = − 𝜉𝜋 √1−𝜉 = 0.1 ⇒ 𝜉 = 0.59 = ⇒ 𝜔𝑛 = 3.39 𝜉𝜔𝑛 ∗ 𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉 = −2 ± 𝑗2.74 Sinh viên chọn cực khác thỏa mãn 𝜉 > 0.59, 𝜔𝑛 > 2𝜉 , Φ∗ < 𝑂𝑃̂𝑥 làm trọn điểm Xác định góc pha cần bù: Φ∗ = −180𝑜 + arg(𝑠1∗ − 𝑝1 ) + arg(𝑠1∗ − 𝑝2 ) + arg(𝑠1∗ − 𝑝3 ) = −180o + arg(−0.8 + 𝑗1.1 − 0) + arg(−0.8 + 𝑗1.1 + 1) + arg(−0.8 + 𝑗1.1 + 8) = 80.7𝑜 Xác định cực zero khâu sớm pha (dùng pp đường phân giác): 𝑂𝑃 = |𝑠1∗ | = 3.39, ̂ = arg(𝑠1∗ ) = 126.1𝑜 𝑂𝑃𝑥 ̂ 𝛷∗ 𝑂𝑃𝑥 sin ( + ) 𝑂𝐵 = 𝑂𝑃 = 8.54, ̂ 𝛷∗ 𝑂𝑃𝑥 sin ( − ) 𝐺𝐶 (𝑠) = 𝐾𝐶 ̂ 𝛷∗ 𝑂𝑃𝑥 sin ( − ) 𝑂𝐶 = 𝑂𝑃 = 1.35 ̂ 𝛷∗ 𝑂𝑃𝑥 sin ( + ) 𝑠 + 1.35 𝑠 + 8.54 Sinh viên chọn phương pháp triệt tiêu cực làm trọn điểm Xác định hệ số khuếch đại: |𝐺𝐶 (𝑠)𝐺(𝑠)|𝑠=𝑠1∗ = ⇒ 𝐾𝐶 = = 16.4 𝑠 + 1.35 10 | | 𝑠 + 8.54 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 8) 𝑠=−2±𝑗2.74 Vậy khâu hiệu chỉnh thiết kế là: 𝐺𝐶 (𝑠) = 16.4 𝑠 + 1.35 𝑠 + 8.54 Câu 2: (3.0 điểm) 2.1 (1.0 điểm) Từ biểu đồ Bode, ta có tần số cắt biên độ dự trữ pha 𝐺(𝑠) là: 𝜔𝐶 = 9.52 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Φ𝑀 = 180𝑜 − 136.8𝑜 = 𝜑(𝜔𝑐 ) = 43.2𝑜 Ước tính thời gian độ độ vọt lố hệ thống chưa hiệu chỉnh: 𝜋 4𝜋 < 𝑡𝑞đ < ⇒ 0.33 𝑠𝑒𝑐 < 𝑡𝑞đ < 1.32 𝑠𝑒𝑐 𝜔𝐶 𝜔𝑐 Φ𝑀 < 60𝑜 ⇒ 𝑃𝑂𝑇 > 10% Sinh viên tính cách khác trọn điểm 2.2 (2.0 điểm) Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế khâu trễ pha: 𝐺𝐶 (𝑠) = 𝐾𝐶 𝛼𝑇𝑠 + 𝑇𝑠 + (𝛼 < 1) Xác định 𝐾𝐶 : 𝐾𝑣 = lim 𝑠𝐺(𝑠) = lim 𝑠 𝑠→0 𝐾𝐶 = 𝑠→0 100(𝑠 + 1) = 4, 𝑠(𝑠 + 8𝑠 + 25) 𝐾𝑣∗ = 1 = 20 ∗ = 𝑒𝑥𝑙 0.05 𝐾𝑣∗ 20 = =5 𝐾𝑣 500(𝑠+1) Đặt 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐶 𝐺(𝑠) = 𝑠(𝑠2 +8𝑠+25) Ta có biểu đồ Bode 𝐺1 (𝑠) Hình Xác định tần số cắt biên 𝜔𝐶′ dựa vào điều kiện: ∗ 𝜑1 (𝜔𝐶′ ) = −180𝑜 + Φ𝑀 + 𝜃 = −180𝑜 + 60𝑜 + 10𝑜 = −110𝑜 Theo biểu đồ Bode ta có: 𝜔𝐶′ ≈ 5.77 rad/s Tính 𝛼 từ điều kiện: 𝐿1 (𝜔𝐶′ ) = −20 log 𝛼 Theo biểu đồ Bode ta có: 𝐿1 (𝜔𝐶′ ) ≈ 20.7 dB Suy ra: −20 log 𝛼 = 20.7 ⇒ 𝛼 = 0.0923 Chọn zero khâu trễ pha thỏa: 1 ≪ 𝜔𝐶′ = 5.77 ⇒ = 0.577 ⇒ 𝛼𝑇 = 1.733 𝛼𝑇 𝛼𝑇 Tính thời T: 1 = 𝛼 = 0.0923 × 0.577 = 0.0532 ⇒ 𝑇 = 18.78 𝑇 𝛼𝑇 Vậy khâu hiệu chỉnh thiết kế là: 𝐺𝐶 (𝑠) = 1.733𝑠 + 18.78𝑠 + Sinh viên tính chọn zero khác trọn điểm Câu 3: (2.0 điểm) Phương trình đặc trưng hệ thống kín: det(𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾) = ⇒ det ([ 𝑠 0 −2 ]−[ ] + [ ] [𝑘1 𝑠 −5 −2𝑘1 𝑠 −1 ⇒ det ([ ]+[ 𝑘1 −3 𝑠 + ⇒ det ([ 𝑠 − 2𝑘1 𝑘1 − 𝑘2 ]) = −2𝑘2 ]) = 𝑘2 −2𝑘2 − ]) = 𝑠 + 𝑘2 + ⇒(𝑠 − 2𝑘1 )(𝑠 + 𝑘2 + 5) + (𝑘1 − 3)(2𝑘2 + 1) = ⇒ 𝑠 + (−2𝑘1 + 𝑘2 + 5)𝑠 − 2𝑘1 𝑘2 − 10𝑘1 + 2𝑘1 𝑘2 + 𝑘1 − 6𝑘2 − = ⇒ 𝑠 + (−2𝑘1 + 𝑘2 + 5)𝑠 − 9𝑘1 − 6𝑘2 − = (1) Phương trình đặc trưng mong muốn: (𝑠 + + 𝑗)(𝑠 + − 𝑗) = ⇒ 𝑠 + 4𝑠 + = (2) Cân hệ số phương trình (1) (2): = −0.0952 −2𝑘1 + 𝑘2 + = 21 ⇒{ ⇒ { 25 −9𝑘1 − 6𝑘2 − = 𝑘2 = − = −1.1905 21 𝑘1 = − Vậy vector hồi tiếp trạng thái là: 𝐾 = [− 25 − ] 21 21 Biểu thức tín hiệu điều khiển u(t): 𝑢(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑲𝒙(𝑡) = 𝑟(𝑡) + 25 𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡) 21 21 Câu 4: (3.0 điểm) 4.1 (1.5 điểm) Hàm truyền hệ thống hở: 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝒵 { 𝐺(𝑠) } = (1 − 𝑧 −1 )𝒵 { } = 2(1 − 𝑧 −1 )𝒵 { } 𝑠 𝑠 (𝑠 + 2) 𝑠 (𝑠 + 2) Tra bảng biến đổi Z ta có: 𝐹(𝑠) = 𝑎 𝑧[(𝑎𝑇 − + 𝑒 −𝑎𝑇 )𝑧 + (1 − 𝑒 −𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒 −𝑎𝑇 )] ⟷ 𝐹(𝑧) = 𝑠 (𝑠 + 𝑎) 𝑎(𝑧 − 1)2 (𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇 ) Áp dụng với T = 0.2 a = 2, ta được: 𝐺(𝑧) = 2(1 − 𝑧 −1 ) = 𝑧[0.3679𝑧 + 0.2642] 𝑧 − 𝑧(0.3679𝑧 + 0.2642) = 2(𝑧 − 1) (𝑧 − 0.3679) 𝑧 (𝑧 − 1)2 (𝑧 − 0.3679) 0.3679𝑧 + 0.2642 0.3679𝑧 + 0.2642 = (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.3679) 𝑧 − 1.368𝑧 + 0.3679 Hàm truyền hệ thống kín: 𝐺𝑘 (𝑧) = 𝐺(𝑧) 0.3679𝑧 + 0.2642 = + 𝐺(𝑧) 𝑧 − 𝑧 + 0.6321 Phương trình đặc trưng hệ thống kín: 𝑧 − 𝑧 + 0.6321 = có nghiệm là: 𝑧1,2 = 0.5 ± 𝑗0.6181 nằm vòng tròn đơn vị |𝑧| < 1, hệ thống kín ổn định 4.2 (1.5 điểm) Hàm truyền hệ thống kín với 𝐺𝐶 (𝑧) = 0.5: 𝐺𝑘 (𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝐺𝐶 (𝑧)𝐺(𝑧) 0.1839𝑧 + 0.1321 0.1839𝑧 −1 + 0.1321𝑧 −2 = = = 𝑅(𝑧) + 𝐺𝐶 (𝑧)𝐺(𝑧) 𝑧 − 1.184𝑧 + 0.5 − 1.184𝑧 −1 + 0.5𝑧 −2 ⇒ (1 − 1.184𝑧 −1 + 0.5𝑧 −2 )𝑌(𝑧) = (0.1839𝑧 −1 + 0.1321𝑧 −2 )𝑅(𝑧) ⇒ 𝑦(𝑘) = 1.184𝑦(𝑘 − 1) − 0.5𝑦(𝑘 − 2) + 0.1839𝑟(𝑘 − 1) + 0.1321𝑟(𝑘 − 2) Điều kiện đầu: 𝑦(−2) = 𝑦(−1) = Tín hiệu vào hàm nấc đơn vị nên 𝑟(𝑘) = 𝑣ớ𝑖 𝑘 ≥ Suy đáp ứng y(k) (k = ÷ 10): 𝑦(0: 10) = [0, 0.1839, 0.5337, 0.8560, 1.0626, 1.1462, 1.1417, 1.0947, 1.0413, 1.0015, 0.9812] Dựa vào đáp ứng, ta tính tiêu chuẩn chất lượng hệ thống: 𝑃𝑂𝑇 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑥𝑙 1.1462 − × 100% = = 14.6% 𝑦𝑥𝑙 𝑡𝑞đ,5% = 𝑘𝑞đ ∗ 𝑇 = × 0.5 = giây 𝑒𝑥𝑙 = 𝑦𝑥𝑙 − 𝑟𝑥𝑙 = − = ... n= 1− e− TS = z z −1 THI CUỐI KỲ ĐÁP ÁN TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Học kỳ/năm học Ngày thi Môn học Cơ sở điều khiển tự động Mã môn học Thời lượng... Xác định tần số cắt biên