Bài 1 NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định K ( K khoảng đoạn nửa đoạn ¡ ) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F'( x) = f ( x) với x ∈ K Định lý 1: Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) K Định lý 2: Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm f ( x) có dạng F ( x) + C, với C số Hai định lý cho thấy: Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K F ( x) + C,C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm f ( x) K Kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Chú ý: Biểu thức f ( x) dx vi phân nguyên hàm F ( x) f ( x) , dF ( x) = F' ( x) dx = f ( x) dx Tính chất nguyên hàm Tính chất ∫ f'( x) dx = f ( x) + C Tính chất ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) dx , k số khác Tính chất ∫ f ( x) ± g ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp ( u=u( x) ) ∫ dx = x + C ∫ du = u+ C α ∫ x dx = xα +1 + C ( α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C uα +1 + C ( α ≠ −1) α +1 ∫ u du = ln u + C u= ( u=ax+b;a ≠ 0) ∫ d( ax + b) = ax + b+ C α +1 ( ax + b) α + C ( α ≠ −1) ∫ ( ax + b) dx = a α +1 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C Trang 125 1 ∫ x2 dx = − x + C ∫ xdx = x x + C ∫ x dx = x + C 1 ∫ u2 du = − u + C ∫ udu = u u + C ∫ u du = u + C ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ cos2 u du = tanu+ C ∫ ( ax + b) 1 dx = − +C a ax + b ax + bdx = ( ax + b) ax + b + C a 1 ∫ ax + b dx = a ax + b + C ax+ b x x u u ax+ b ∫ e dx = e + C ∫ e du = e + C ∫ e dx = a e + C ax au amx+ n x u mx+ n a dx = + C a > 0, a ≠ a du = + C a > 0, a ≠ a dx = + C ( a > 0, a ≠ 1) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ lna lna m lna ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sinudu = − cosu+ C ∫ sin( ax + b) dx = − a cos( ax + b) + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cosudu = sinu+ C ∫ cos( ax + b) dx = a sin( ax + b) + C ∫ tan xdx = − ln cosx + C ∫ tanudu = − ln cosu + C ∫ tan( ax + b) dx = − a ln cos( ax + b) + C ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ cot udu = ln sinu + C ∫ cot( ax + b) dx = a ln sin( ax + b) + C 1 1 ∫ sin2 x dx = − cot x + C ∫ sin2 u du = − cot u+ C ∫ sin2 ( ax + b) dx = − a cot( ax + b) + C x ∫ sin x dx = ln tan + C u ∫ sinu du = ln tan + C ∫ 1 ∫ cos ( ax + b) dx = a tan( ax + b) + C dx ∫ sin( ax + b) = a ln tan ax + b +C 1 x π u π  ∫ cos x dx = ln tan + ÷ + C∫ cosu du = ln tan + ÷ + C ∫ cos( ax + b) dx =  ax + b π  ln tan + ÷+C a 4  II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu ∫ f(u)du = F(u) + C u = u(x) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f u(x).u'(x)dx = Fu(x) + C Hệ quả: Với u = ax + b( a ≠ 0) ta có ∫ f ( ax + b)dx = a F ( ax + b) + C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u ( x) v = v ( x) có đạo hàm liên tục K thì: ∫ u ( x) v'( x) dx = u ( x) v ( x) − ∫ u'( x) v ( x) dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm phép biến đổi sơ cấp Trang 126 Phương pháp giải • Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, biểu thức chứa x dạng có bảng ngun hàm • Áp dụng cơng thức ngun hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm Bài tập Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = 2x − ex 2x A x + e− x + C e ln2 2x − e− x + C B x e ( ln2 − 1) 2x + e− x + C C x e ( ln2 − 1) 2x + ex + C D x e ( ln2 − 1) Hướng dẫn giải Chọn C x 2x − 2x  2 −x dx = dx − e dx = + e− x + C Ta có: ∫ x  ÷ x ∫ ∫ e e ( ln2 − 1)  e Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = x( x + 2) ( x + 2) A − 2021 2021 C ( x + 2) ( x + 2) − 2021 ( x + 2) + +C B D ( x + 2) 2020 1010 +C ( x + 2) 2020 1010 2021 2019 2020 2021 2021 2021 ( x + 2) − 2018 ( x + 2) − 2020 1009 1010 +C +C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: ∫ x( x + 2) 2019 dx = ∫ ( x + 2) − 2 ( x + 2) = ∫ ( x + 2) 2020 dx − 2∫ ( x + 2) 2019 dx ( x + 2) dx = 2021 2021 Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 2) − 2020 +C 1010 e +1 2x 2x B x − ln e + + C ( A x + ln e2x + + C ( 2019 ) ( 2x C ln e + + C ) ) 2x D x − ln e + + C Hướng dẫn giải Chọn B ( ) e2x + − e2x e2x Ta có: = = − e2x + e2x + e2x + Trang 127 ( ) 2x  e2x  d e +1 Do ∫ 2x dx = ∫  1− 2x ÷dx = ∫ dx − ∫ 2x = x − ln e2x + + C e +1 e +1  e + 1 Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = ( ) ( ) A 1  C 1 x + + ( x − 2) x − + C 6 x+ − x+ + x− x−  + C  ( ) là: B 1 x + − x − 2 + C 6 D 1 ( x + 2) x + − x − + C 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ∫ dx = ∫ x+ − x− dx x+ + x− 12 1  =  ( x + 2) x + − ( x − 2) x − 2 + C = ( x + 2) x + − ( x − 2) x − + C 43 6  Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: Lưu ý: ∫ ax + bdx = a± b= a− b am b ( ax + b) ax + b + C 3a Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = 5x − 13 là: x − 5x + A 2ln x − − 3ln x + + C B 3ln x − + 2ln x − + C C 2ln x + + 3ln x + + C D 2ln x − + 3ln x − + C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 5x − 13 5x − 13 = x − 5x + ( x − 2) ( x − 3) Ta phân tích: 5x − 13 = A( x − 2) + B( x − 3) ( 1) Thế x = x = vào (1) ta có B = A = ∫ Khi x 2( x − 2) + 3( x − 3) 5x − 13 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx − 5x + x− x− ( x − 2) ( x − 3) = 2ln x − + 3ln x − + C Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = A ln x + ln x + + C ( ) 1− x4 là: x5 + x ( ) B ln x − ln x + + C Trang 128 C ln x − ln x + + C ( D ln x − ln x + + C ) ( ) Hướng dẫn giải Chọn C ( ) 1+ x4 − 2x4 1− x4 2x3 dx = ∫ dx = dx − dx = ln x − ln x4 + + C Ta có: ∫ ∫ ∫ x +x x x +1 x x +1 ( ( ) Bài tập Nguyên hàm hàm số f ( x) = ) 3x2 + 3x + là: x3 − 3x + A ln x + + 2ln x − − +C x−1 B ln x + − 2ln x − + +C x−1 C 2ln x + + ln x − − +C x−1 D 2ln x + + ln x − + +C x−1 Hướng dẫn giải Chọn A 3x2 + 3x + 3x2 + 3x + dx = ∫ dx Ta có: ∫ x − 3x + ( x − 1) ( x + 2) Ta phân tích 3x2 + 3x + = A( x − 1) + B( x − 1) ( x + 2) + C ( x + 2) Ta dùng giá trị riêng, tính A = 1, C = B = (thay x = −2 ⇒ A = 1; x = 1⇒ C = x = ⇒ B = ) Khi 3x2 + 3x + 1 ∫ ( x − 1) ( x + 2) dx = ∫ x + dx + 2∫ x − 1dx + 3∫ ( x − 1) 2 dx = ln x + + 2ln x − − +C x−1 Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ I = ∫ P ( x) Q ( x) dx , với P ( x) Q ( x) đa thức, cụ thể sau: • Nếu deg( P ( x) ) ≥ deg( Q ( x) ) ta thực phép chia P ( x) cho Q ( x) (ở đây, kí hiệu deg( P ( x) ) bậc đa thức P ( x) ) • Khi deg( P ( x) ) < deg( Q ( x) ) ta quan sát mẫu số Q ( x) ta tiến hành phân tích thành nhân tử, sau đó, tách P ( x) theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp Trường hợp 1: ( ax + b) ( cx + d) =  a c  −  ad − bc  ax + b cx + d ÷  Trang 129 Trường hợp 2: ( Ax + Ba) x + Ad + Bb mx + n A B = + = ( ax + b) ( cx + d) ax + b cx + d ( ax + b) ( cx + d) Ta đồng thức mx + n = ( Ax + Ba) x + Ad + Bb ( 1) Cách Phương pháp đồng hệ số  Ac + Ba = m Đồng đẳng thức, ta  Suy A, B  Ad + Bb = n Cách Phương pháp giá trị riêng b d Lần lượt thay x = − ; x = − vào hai vế (1), tìm A, B a c Trường hợp 3: mx + n ( ax + b) = A B + ax + b ( ax + b) mx + n Trường hợp 4: ( ax + b) A = + B C + cx + d ax + b ( cx + d) ( ax + b) ⇒ mx + n = A( cx + d) + B( ax + b) + C ( ax + b) ( cx + d) ( * ) 2 b d Lần lượt thay x = − ; x = − ; x = vào hai vế (*) để tìm A, B, C a c A Bx + C Trường hợp 5: x − m ax2 + bx + c = x − m+ ax2 + bx + c với ∆ = b2 − 4ac < ( ) ( Trường hợp 6: ) ( x − a) + ( x − b) = A B C D + + + x − a ( x − a) x − b ( x − b)  1 ; f ( 0) = Bài tập Cho hàm số f ( x) xác định ¡ \   thỏa mãn f '( x) = 2x −  2 f ( 1) = Giá trị biểu thức P = f( −1) + A 3ln5+ ln2 B 3ln2 + ln5 ( 3) là: C 3+ 2ln5 D 3+ ln15 Hướng dẫn giải Chọn D  ln( 2x − 1) + C1 x >   f ( x) = ∫ f '( x) dx = ∫ dx = ln 2x − + C =  2x −  ln( 1− 2x) + C x <   f ( 0) = C2 = ⇔ Vì   f ( 1) = C1 = Trang 130   ln( 2x − 1) + x > Suy f ( x) =   ln( 1− 2x) + 1khi x <  Do P = f( −1) + Bài tập f '( x) = ( 3) = 3+ ln3+ ln5 = 3+ ln15 Cho ; f( −3) + x −1 P = f( −2) + ( 0) + f ( 4) hàm f ( x) số ( 3) = 2ln2 xác định  1  1 f − ÷+  ÷ =  2  2 ¡ \ { −1;1} , Giá trị thỏa mãn biểu thức là: A 2ln2 − ln5 B 6ln2 + 2ln3− ln5 C 2ln2 + 2ln3− ln5 D 6ln2 − 2ln5 Hướng dẫn giải Chọn C  x−1  dx = ∫  − dx = ln +C ÷ x −1 x+  x − x + 1 f ( x) = ∫ f '( x) dx = ∫   x − 1  ln x + 1÷+ C1 x >     1− x x−1 + C = ln + C2 − 1< x < Hay f ( x) = ln x+1  1+ x   x − 1  ln x + 1÷+ C3 x < −1     f( −3) +  Theo ra, ta có:     f − ÷+   2 Do f( −2) + ( 3) = 2ln2 C + C3 = 2ln2 ⇔  1 C2 =  2÷=   ( 0) + f ( 4) = ln3+ C3 + C2 + ln + C1 = 2ln2 + 2ln3− ln5 Bài tập 10 Nguyên hàm P = ∫ x.3 x2 + 1dx là: A P = x +1 C P = 33 x + 1+ C ( ) x2 + + C B P = x +1 D P = x +1 ( ( ) ) x2 + + C x2 + 1+ C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ∫ x x + 1dx = 2 3 x + d x + = x + +C 2∫ ( ) ( Bài tập 11 Nguyên hàm hàm số ) ( ) ∫ ( sin x − cosx) sin xdx là: Trang 131 A 1 x + sin2x − cos2x + C 4 1 C x − sin2x + cos2x + C 2 B 1 x − sin2x + cos2x + C 4 D 1 x + sin2x + cos2x + C 4 Hướng dẫn giải Chọn B ∫ ( sin x − cosx) sin xdx = ∫ ( sin Ta có: ) x − sin xcos x dx 1 1  1− cos2x sin2x   = ∫ − dx =  x − sin2x + cos2x÷+ C ÷ 2  2 2   Bài tập 12 Nguyên hàm hàm số A − tan x − cot x + C ∫ sin dx là: xcos2 x B tan x − cot x + C C tan x + cot x + C D cot x − tan x + C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: sin2 x + cos2 x   dx = ∫ sin2 xcos2 x ∫ sin2 x.cos2 x dx = ∫  cos2 x + sin2 x ÷ dx = tan x − cot x + C Bài tập 13 Nguyên hàm hàm số A cot2x +C ∫ 4cos dx là: x − 4cos2 x + B tan2x + C C cot2x + C D tan2x +C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: ∫ 4cos 1 1 tan2x dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ d(2x) = +C 2 2 x − 4cos x + (2cos x − 1) cos 2x cos 2x Bài tập 14 Nguyên hàm hàm số ∫ tan xdx là: A tan2 x + ln cos x + C B tan2 x − ln sin x + C C tan2 x − ln cos x + C D tan4 x +C 4cos2 x Hướng dẫn giải Chọn A ( ) Từ tan x = tan x 1+ tan x − tan x Suy ∫ tan3 xdx = ∫ tan xd( tan x) + ∫ d( cos x) cos x = tan2 x + ln cos x + C Trang 132 π  Bài tập 15 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = sin2x tan x thỏa mãn F  ÷ = Giá  3 π  trị F  ÷ là:  4 A 3−1 π + 12 3+ π − 12 B 3+ π + 12 C D 3−1 π − 12 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: F ( x) = ∫ sin2x.tan xdx = ∫ 2sin x.cos x Suy F ( x) = ∫ ( 1− cos2x) dx = x − sin x dx = 2∫ sin2 xdx cos x sin2x +C π 2π 3 π π  ⇔ − sin + C = ⇒C= − Theo giả thiết, ta có: F  ÷ = 3  3 Vậy F ( x) = x − sin2x π + − 2 3 π 3−1 π π  π π  − = − Do F  ÷ = − sin2 ÷+ 12  4  4 Bài tập 16 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = cos 2x thỏa mãn F ( 0) = 2019 Giá trị π  F  ÷ là:  8 A 3π + 16153 64 B 3π + 129224 C 3π + 129224 64 D 3π − 129224 32 Hướng dẫn giải Chọn C  1+ cos4x  cos 2x =  = 1+ 2cos4x + cos2 4x ÷   Ta có: 1 1+ cos8x  =  1+ 2cos4x + ÷ = 8( 3+ 4cos4x + cos8x) 4  Do F ( x) = ( ) 1 ( 3+ 4cos4x + cos8x) dx =  3x + sin4x + sin8x÷+ C ∫ 8  Mà F ( 0) = 2019 nên ta có C = 2019 1  Vậy F ( x) =  3x + sin4x + sin8x÷+ 2019 8  Trang 133  π  3π + 129224 Do F  ÷ = 64  8 Bài tập 17 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = mãn F ( π ) = A π cos5 x , với x ≠ + k2π , k∈ ¢ thỏa 1− sin x  π Giá trị F  − ÷ là:  2 B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta thấy: cos5 x = cos3 x( 1+ sin x) = 1− sin2 x cos x + cos3 x.sin x 1− sin x ( ( ) ) ⇒ F ( x) = ∫ 1− sin2 x d( sin x) − ∫ cos3 xd( cos x) = sin x − Theo giả thiết, ta có F ( π ) = Vậy F ( x) = sin x − sin3 x cos4 x − +C nên C = sin3 x cos4 x − +C  π Do F  − ÷ =  2 Chú ý: Với n∈ ¥ * , ta có: n n ∫ sin x.cos xdx = ∫ sin xd( sin x) = Bài tập 18 Biết n n ∫ cos x.sin xdx = −∫ cos xd( cos x) = − sinn+1 x +C n+ ∫ 5sinx − 9dx = b ln 5sinx − + C,( a,b∈ ¢ cosx a + cosn+1 x +C n+ ) , ab phân số tối giản Giá trị 2a − b A 10 B −4 C D −3 Hướng dẫn giải CHỌN D cosx d ( 5sinx − 9) = ln 5sinx − + C dx = ∫ 5sinx − ∫ 5sinx − Vậy a = 1,b = Nên 2a − b = −3 π 3π Bài tập 19 Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = ( 1+ sinx) biết F  ÷ =  2 Trang 134 Đặt u = 1+ 3cos x , ta có du = −3sin xdx hay 2sin xdx = − du 2 du = − ln u + C ∫ u Khi M = − Vậy M = ∫ 2sin x dx = − ln1+ 3cos x + C 1+ 3cos x  π sin  x − ÷ a 4 4− a Bài tập I =  + Tìm tỉ lệ dx = , a,b ∈ ¢ b ∫ sin2x + 2( 1+ sinx + cosx) b π A ( ) B C D Hướng dẫn giải CHỌN B   π dt = ( cosx − sinx) dx = − 2sin  x − ÷dx 4 Đặt t = sinx + cosx ⇒   sin2x = t2 −  x:0 → ⇒ I2 = − π t :1→ 2 ∫ dt =− 2 t − 1+ 2( 1+ t ) ∫ 2 4− = = ( t + 1) t + 1 dt Bài tập Cho ∫ cos xsinxdx = F ( x) + C F ( 0) = a + b − Tính A = a2 + b2 + 2018 A 2018 B 2016 C 2022 D 2020 Hướng dẫn giải CHỌN A ∫ cos xsinxdx Đặt u = cosx ⇒ −du = sinxdx 3 ∫ cos xsinxdx = −∫ u du = − ⇒ F ( 0) = − u4 cos4 x +C=− +C 4 1 = a + b − ⇒ a + b = 4 A = a3 + b3 + 2018 = ( a + b) − 2ab( a + b) + 2018 = 2018 m Chú ý: ý với a > m, n∈ ¢; n > ta ln có: a n = n am dx là: Bài tập Nguyên hàm R = ∫ x x+ Trang 140 A R = x + 1+ ln +C x + 1− x + 1+ C R = ln x + 1− B R = +C x + 1− ln +C x + 1+ D R = ln x + 1− x + 1+ +C Hướng dẫn giải Chọn D Đặt u = x + ⇒ u2 = x + Suy x = u2 − dx = 2udu Khi R = ∫ ( 2u  u−  du = ∫ du = ∫  − du = ln +C ÷ u −1 u+ u −1 u  u − u + 1 ) x + 1− Vậy R = ln x + 1+ +C Bài tập Nguyên hàm S = ∫ x3 x2 + 9dx là: x A S = ( +9 x B S = ( +9 (x +9 2 x2 + ) x2 + C S = ) ) x2 + x D S = ( ) +9 ) x2 + + C ( ) x2 + + C − x2 + ( ) − x2 + x2 + ( − x2 + x2 + + C − x2 + + C Hướng dẫn giải Chọn A Xét S = ∫ x3 x2 + 9dx = ∫ x2 x2 + 9xdx Đặt u = x2 + ⇒ u2 = x2 + Suy x2 = u2 − xdx = udu ( ) ( ) Khi S = ∫ u2 − uudu = ∫ u4 − 9u2 du = x Vậy S = ( ) +9 x2 + ( Bài tập Nguyên hàm T = ∫ A T = ln x + +C ) − x2 + u5 − 3u3 + C x2 + + C x ln x + dx là: B T = ln x + + C Trang 141 C T = ( ln x + 1) ln x + 1+ C D T = ln x + + C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: T = ∫ x ln x + 1 dx = ∫ ln x + d( ln x + 1) = ln x + + C ( x − 2) dx Bài tập Nguyên hàm U = ∫ là: 2022 ( x + 1) 2020 2021 1 x −  A U =  3 x + ÷  2020  x− 2 B U = 6060  x + ÷  +C 2021  x− 2 C U = 6063 x + ÷  +C 2023  x− 2 D U = 6069  x + ÷  +C +C Hướng dẫn giải Chọn C 2020 x − 2) (  x− 2 dx = ∫  dx Xét U = ∫ ÷ 2022  x +  ( x + 1) ( x + 1) 2020 x− 1 dx ⇒ du = dx Đặt u = x + ⇒ du = 2 ( x + 1) ( x + 1) 2021 Suy U = 2020 2021  x− 2 u du = u + C Vậy U = ∫ 6063 6063 x + ÷  +C Lưu ý: n+1 ( ax + b) dx = 1  ax + b  +C ∫ ( cx + d) n+2 n + ad − bd  cx + d ÷  n Bài tập Xét nguyên hàm V = ∫ ( ln2 x ) x 1+ ln x + dx Đặt u = 1+ 1+ ln x , khẳng định sau sai? dx = ( 2u − 2) du A x u − 2u) B V = ( ∫ u ( 2u− 2) du 5 16 C V = u − u + u − 4u + C D V = 2 u5 u4 16 + − u + 4u2 + C Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u = 1+ 1+ ln x ⇒ ( u − 1) = 1+ ln x ⇔ ln x = u − 2u ⇒ dx = ( 2u − 2) du x Trang 142 V= ∫ Khi ( ( u − 2u) ( 2u− 2) du dx = ∫ u 2 ln2 x ) x 1+ ln x + 16 = 2∫ u4 − 5u3 + 8u2 − 4u du = u5 − u4 + u3 − 4u2 + C ( ) π  Bài tập 10 Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = sin 2x.cos 2x thỏa F  ÷ = Giá trị  4 F ( 2019π ) là: A F ( 2019π ) = − 15 B F ( 2019π ) = C F ( 2019π ) = − 15 D F ( 2019π ) = 15 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u = sin2x ⇒ du = 2cos2xdx ⇒ Ta có du = cos2xdx 2 u 1− u2 du = ∫ u2 − u4 du ∫ 2 1 1 = u3 − u5 + C = sin3 2x − sin5 2x + C 10 10 ( F ( x) = ∫ sin2 2x.cos3 2xdx = ) ( ) π π π  F  ÷ = ⇔ sin3 − sin5 + C = ⇔ C = − 10 15  4 Vậy F ( x) = sin 2x − sin 2x − 10 15 Do F ( 2019π ) = − 15 Bài tập 11 Biết ( 2x + 3) dx ∫ x( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) + = − g( x) + C (với C số) Gọi S tập nghiệm phương trình g( x) = Tổng phần tử S bằng: C −3 B −3+ A D −3− Hướng dẫn giải Chọn C ( )( ) ( ) Vì x( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) + 1= x2 + 3x x2 + 3x + + 1=  x2 + 3x + 1 nên ta đặt u = x2 + 3x , du = ( 2x + 3) dx Nguyên hàm ban đầu trở thành Suy du ∫ ( u+ 1) ( 2x + 3) dx ∫ x( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) + = − x =− +C u+ 1 +C + 3x + Trang 143  −3+ x = 2 Vậy g( x) = x + 3x + 1; g( x) = ⇔ x + 3x + 1= ⇔   −3− x =   −3+ −3− 5 ; Do S =     Tổng giá trị phần tử S −3 Bài tập 12 I = ∫ A 3cos2x − sin4x dx = F ( x) + C Tính F ( 1) , biết F ( x) không chứa hệ số tự − sinx − cosx 17 B C 15 D Hướng dẫn giải CHỌN A ( − 2sin2x) cos2x dx 3cos2x − sin4x dx = ∫ − sinx − cosx − sinx − cosx ( 3− 2sin2x) ( cosx + sinx) ( cosx − sinx) dx =∫ − ( sinx + cosx) I=∫ dt = ( cosx − sinx) dx Đặt t = sinx + cosx ⇒  sin2x = t − ( )  − t2 −  t   2t3 − 5t   ⇒I =∫ dt = ∫ dt = ∫  2t2 + 4t + + ÷dt 2− t t−2 t − 2  2  =  t3 + 2t2 + 3t + 6ln t − ÷+ C 3  Dạng 3: Tìm nguyên hàm cách đổi biến dạng Phương pháp giải Kiến thức cần nhớ: Các kĩ thuật đổi biến dạng thường gặp Ta biết đẳng thức sau: cách xử lí sin2 t + cos2 t = 1, với t∈ ¡ π ,∀t ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) cos t 1+ cot2 t = ,∀t ≠ kπ ( k∈ ¢ ) sin2 t 1+ tan2 t = Với tốn sau ta giải nguyên hàm đổi biến số dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào Trang 144 đẳng thức lượng giác số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem xét ngun hàm sau đây: dx Bài tốn 1: Tính A1 = ∫ 2 a −x dx Bài toán 1: Tính A1 = ∫ a − x2  −π π  ; ÷ Đặt x = a sint , với t ∈   2 x = a cost với t ∈ ( 0;π ) Bài toán 2: Tính A2 = ∫ Bài tốn 3: Tính A3 = ∫ Bài tốn 4: Tính A4 = ∫ dx a + x2 Bài tốn 2: Tính A2 = ∫ dx a + x2  −π π  ; ÷ Đặt x = a tant , với t ∈   2 a+ x Bài toán 3: Tính A3 = ∫ dx a− x a+ x dx a− x ( x − a) ( x − b) dx  π Đặt x = acos2t với t ∈  0; ÷  2 Bài tốn 4: Tính A4 = ∫ ( x − a) ( x − b) dx  π Đặt x = a + ( b − a) sin t với t ∈ 0;   2 Bài tốn 5: Tính A5 = ∫ x2 − a2 dx Bài tốn 5: Tính A5 = ∫ x2 − a2 dx Đặt x =  −π π  với t ∈  ;   2 sint a Bài tập Bài tập Nguyên hàm I = ∫ x2 − x2 dx là: x x − x2 A arcsin − +C x x − x2 B 2arccos − +C 2 x x − x2 C arccos − +C x x − x2 D 2arcsin − +C 2 Hướng dẫn giải Chọn D  −π π  ; ÷ Ta có cost > dx = 2costdt Đặt x = 2sint với t ∈   2 Khi I = ∫  −π π  2costdt = ∫ 4sin2 tdt (vì cost > 0,∀t ∈  ; ÷)  2 − 4sin t 4sin2 t Suy I = 2∫ ( 1− cos2t) dt = 2t − sin2t + C Trang 145 Từ x = 2sint ⇒ t = arcsin Vậy I = ∫ x x − x2 dx = 2arcsin − +C 2 − x2 x2 Bài tập Nguyên hàm A x x − x2 sin2t = 2sint.cost = 2 ( 1− x ) 2 +C I =∫ B ( 1− x2 x 1− x2 ) dx là: x +C C ( 1− x ) +C D 1− x2 +C x Hướng dẫn giải Chọn B Đặt x = cost,t < < π ⇒ dx = − sint.dt Khi I = − ∫ Vậy ∫ x sint.dt dt +C dt = − ∫ = cot t + C hay I = sin t sin t 1− x2 ( 1− x ) dx = x 1− x2 Ví dụ Nguyên hàm I = ∫ A arctanx + C +C dx là: 1+ x2 B arccot x + C C arcsinx + C D arccosx + C Hướng dẫn giải Chọn A  −π π  ; ÷, ta có dx = 1+ tan2 t dt Đặt x = tant với t ∈   2 ( Khi I = ∫ Vậy I = ∫ ) 1+ tan2 t dt = ∫ dt = t + C 1+ tan t ( ) dx = arctan x + C 1+ x2 Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải ) ' = u'vv 'u Với u = u( x) v = v( x) hàm số có đạo hàm khoảng K ta có: ( uv Viết dạng vi phân d( uv) = vdu + udv Khi lấy nguyên hàm hai vế ta được: ∫ d( uv) = ∫ vdu + ∫ udv Từ suy ∫ udv = uv − ∫ vdu ( 1) Trang 146 Công thức (1) công thức nguyên hàm phần Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp ngun hàm phần Bài tốn: Tìm I = ∫ u( x) v( x) dx , u( x) v( x) hai hàm có tính chất khác nhau, chẳng hạn: u( x) hàm số đa thức, v( x) hàm số lượng giác u( x) hàm số đa thức, v( x) hàm số mũ u( x) hàm số logarit, v( x) hàm số đa thức u( x) hàm số mũ, v( x) hàm số lượng giác Phương pháp nguyên hàm phần u = u( x) du = u'( x) dx ⇒ Bước 1: Đặt   dv = v( x) dx v = ∫ v( x) dx Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được: ∫ udv = uv − ∫ vdu Lưu ý: Đặt u = u( x) (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng có logarit ưu tiên u đa thức,… thứ tự ưu tiên xếp Còn nguyên hàm v = ∫ v( x) dx ta cần Chọn số thích hợp Điều làm rõ qua Bài tập minh họa cột bên phải Bài tập ( ) Bài tập Kết nguyên hàm I = ∫ x ln + x dx là: x2 + x2 A ln x + + + C 2 ( ( x2 B x + ln x + − + C ) ) ( ( ) 2 C x + ln x + + x + C D ) ( ) x2 + x2 ln x2 + − + C 2 ( ) Hướng dẫn giải Chọn D 2x  du = x2 + dx u = ln + x2 ⇒ Đặt   dv = xdx v = x +  ( Khi I = ) x2 + x2 + x2 ln x2 + − ∫ xdx = ln x2 + − + C 2 ( ) Chú ý: Thơng thường với dv = xdx ⇒ v = ( ) x2 Trang 147 x2 + mang lại hiệu ln( sin x + 2cos x) Bài tập Kết nguyên hàm I = ∫ dx là: cos2 x Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý v = A ( tan x + 2) ln( sin x + 2cos x) − x + 2ln cos x + C B ( tan x + 2) ln( sin x + 2cos x) − x − 2ln cos x + C C ( tan x + 2) ln( sin x + 2cos x) − x − 2ln( cos x) + C D ( cot x + 2) ln( sin x + 2cos x) − x − 2ln cos x + C Hướng dẫn giải Chọn B cos x − 2sin x  u = ln( sin x + 2cos x) du = dx    sin x + 2cos x ⇒ Đặt  dx  dv = v = tan x + = sin x + 2cos x  cos2 x  cos x cos x − 2sin x dx cos x Khi = ( tan x + 2) ln( sin x + 2cos x) − x − 2ln cos x + C I = ( tan x + 2) ln( sin x + 2cos x) − ∫ Chú ý: Ở Bài tập này, Chọn v = tan x + rút gọn tử mẫu nguyên hàm ∫ vdu Bài tập Kết nguyên hàm I = ∫ x sin5xdx là: 2 cos5x + C A − x cos5x − xsin5x + 25 125 C 2 x cos5x − xsin5x + cos5x + C 25 125 2 cos5x + C B − x cos5x + xsin5x − 25 125 2 cos5x + C D − x cos5x + xsin5x + 25 125 Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích: Ở ta ưu tiên u = x2 đa thức, nhiên bậc u nên ta phần hai lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau: Bước 1: Chia thành cột: + Cột 1: Cột u lấy đạo hàm đến + Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu phép toán đường chéo + Cột 3: Cột dv lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân có dấu (+), sau đan dấu (-), (+), (-),… cộng tích lại với Trang 148 2 cos5x + C Khi I = − x cos5x + xsin5x + 25 125 Chú ý: Kĩ thuật đơn giản tiết kiệm nhiều thời gian Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính tốn xác đạo hàm ngun hàm hai cột Nếu nhầm lẫn đáng tiếc 3x Bài tập Nguyên hàm I = ∫ x e dx là:  x4 4x3 12x2 24x 24  3x I = A  − + − + ÷e + C 3   3 x5 e3x B I = +C  x4 4x3 12x2 24x 24  3x C I =  + − + − ÷e + C 3   3  x4 4x3 12x2  3x D I =  − + ÷e + C   3 Hướng dẫn giải Chọn A Nếu làm thơng thường phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tơi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết nhanh chóng  x4 4x3 12x2 24x 24  3x Vậy I =  − + − + ÷e + C 3   3 x Bài tập Nguyên hàm I = ∫ e sin xdx là: Trang 149 x A 2e ( sin x + cos x) + C C x B 2e ( sin x − cos x) + C x e ( sin x − cos x) + C D x e ( sin x + cos x) + C Hướng dẫn giải Chọn C Phân tích: Sự tồn hàm số mũ lượng giác nguyên hàm dễ gây cho người học nhầm lẫn, ta khơng biết điểm dừng bị lạc vào vịng luẩn quẩn Ở đây, để tìm kết ta phải phần hai lần Bài tập Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo sao? Khi dừng lại? x x x Khi đó, ta kết luận I = e sin x − e cos x − ∫ e sin xdx x Hay 2I = ex sin x − ex.cos x Vậy I = e ( sin x − cos x) + C Chú ý: Chỉ dừng lại đạo hàm có dạng giống dịng Dịng cuối thu − ∫ sin xexdx = − I n Bài tập Tìm I = ∫ ln ( ax + b) v( x) dx , v( x) hàm đa thức, n∈ ¥ * a, b∈ ¡ ;a ≠ Hướng dẫn giải n Phân tích: Vì ưu tiên u( x) = ln ( ax + b) nên du = na.lnn−1 ( ax + b) ax + b khơng được, phải chuyển lượng t ( x) = dx tiếp tục đạo hàm cột na từ cột sang nhân với v( x) cột để ax + b rút gọn bớt; tiếp tục trình đạo hàm cột 0, ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường Bài tập 6.1 Kết nguyên hàm I = ∫ x.ln xdx là: A x2 x2 ln2 − + C B x2 x2 ln2 + + C C x2 x2 ln2 − + C D x2 x2 ln2 + + C Hướng dẫn giải Chọn A Trang 150 Vậy I = ∫ x.ln xdx = x2 x2 ln2 − + C Chú ý: chuyển lượng t ( x) = x x2 bên cột sang nhân với v( x) = ta thu kết Khi x 2 x x2 bên cột cịn lại 1, đạo hàm 0; bên cột có nguyên hàm Bài tập 6.2 Kết nguyên hàm I = ∫ ( 4x − 1) ln ( 2x) dx là: ( ) ( ) ( ) 3x2 + 6x + C A 2x2 − x ln3 ( 2x) − 3x2 − 3x ln2 ( 2x) − 3x2 − 6x ln( 2x) + ( ) ( ) ( ) 3x2 + 6x + C ( ) ( ) ( ) 3x2 + 6x + C ) 3x2 − 6x + C B 2x2 − x ln3 ( 2x) − 3x2 − 3x ln2 ( 2x) + 3x2 − 6x ln( 2x) − C 2x2 − x ln3 ( 2x) + 3x2 − 3x ln2 ( 2x) + 3x2 − 6x ln( 2x) − ( ) ( ) ( D 2x2 − x ln3 ( 2x) + 3x2 − 3x ln2 ( 2x) + 3x2 − 6x ln( 2x) − Hướng dẫn giải Chọn B Trang 151 ( ) ( ) ( ) Vậy I = 2x2 − x ln3 ( 2x) − 3x2 − 3x ln2 ( 2x) + 3x2 − 6x ln( 2x) − 3x2 + 6x + C Chú ý: Chuyển , nhân với 2x − x thu ( 6x− 3) x Chuyển 2 , nhân với 3x − 3x thu ( 6x− 6) x ( ( ) ) , nhân với 3x − 6x thu ( 3x− 6) x x 2x Bài tập Cho F ( x) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x) e Biết hàm số f ( x) ( Chuyển ) 2x có đạo hàm liên tục ¡ Nguyên hàm hàm số f '( x) e là: x A ( − x) e + C x B ( + x) e + C x C ( 1− x) e + C x D ( 1+ x) e + C Hướng dẫn giải Chọn A 2x x x 2x 2x x Ta có F '( x) = f ( x) e ⇔ e + ( x − 1) e = f ( x) e ⇔ f ( x) e = xe Xét ∫ f '( x) e 2x dx u = e2x du = 2e2xdx ⇒ Đặt    dv = f '( x) dx v = f ( x) 2x x x x Do I = f ( x) e − 2∫ f ( x) e dx = xe − 2( x − 1) e + C 2x x Vậy I = ∫ f '( x) e dx = ( − x) e + C Dạng 5: Các toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Trang 152 Phương pháp giải Ý nghĩa vật lí đạo hàm: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = S( t) , với S( t) quãng đường mà chất điểm thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu Gọi v( t) a( t) vận tốc tức thời gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có: v( t) = S'( t) a( t) = v'( t) Từ ta có: S( t) = ∫ v( t) dt v( t) = ∫ a( t) dt Bài tập Bài tập Một vật chuyển động với gia tốc a( t) = m/ s2 , t khoảng thời gian tính t+1 ( ) từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu? A 10 m/s B 15,2 m/s C 13,2 m/s D 12 m/s Hướng dẫn giải Chọn C Vận tốc vật thời điểm t tính theo cơng thức: v( t) = ∫ a( t) dt = ∫ dt = 3ln t + + C t+1 Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0) vật v0 = 6m/ s nên: v( 0) = 3ln 0+ + C = ⇔ C = ⇒ v( t) = 3ln t + + Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 là: v( 10) = 3ln10+ + ≈ 13,2( m/ s) Bài tập Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a( t) = − t + t m/ s2 , t 24 16 ( ) khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát vận tốc vận động viên bao nhiêu? A 5,6 m/s B 6,51 m/s C 7,26 m/s D 6,8 m/s Hướng dẫn giải Chọn B Vận tốc v( t) nguyên hàm gia tốc a( t) nên ta có:   v( t) = ∫ a( t) dt = ∫  − t3 + t2 ÷dt = − t4 + t3 + C 16  96 48  24 Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc là: v0 = ⇒ v( 0) = ⇔ − + + C = ⇔ C = 96 48 Trang 153 Vậy công thức vận tốc v( t) = − t + t 96 48 Vận tốc vận động viên giây thứ v( 5) = 6,51m/ s Chú ý: Gia tốc vật chuyển động a( t) = m/ s2 Ta tính v( t) = ∫ a( t) dt , kết hợp với t+1 ( ) điều kiện vận tốc ban đầu v0 = 6m/ s Suy cơng thức tính vận tốc v( t) thời điểm t tính v( 10) Bài tập Một nhà khoa học tự chế tên lửa phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s tên lửa đạt đến tốc độ bao nhiêu? A 0,45 m/s B 0,4 m/s C 0,6 m/s D 0,8 m/s Hướng dẫn giải Chọn B Xem thời điểm t0 = nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s Ta có s( 0) = v( 0) = 20 Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t sn ( t) = −9,8 m/ s2 Nguyên hàm gia tốc vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t v( t) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1 Do v( 0) = 20 nên −9,8t + C1 = 20 ⇔ C1 = 20 ⇒ v( t) = −9,8t + 20 Vậy vận tốc tên lửa sau 2s v( 2) = −9,8.2 + 20 = 0,4( m/ s) Trang 154 ... +x 1 ⇒ − + C = ⇒ C = 2 1  ? ?1 + 1= − + 1= −  − ÷+ x +x x( x + 1)  x x + 1? ?? 1   1 1 S = F ( 1) + F ( 2) + F ( 3) + + F ( 2 019 ) = −  1? ?? + − + − + + − + 2 019 2 019 2020 ÷  2 3  Do  1 ... − 20 21 ( x + 2) + +C B D ( x + 2) 2020 10 10 +C ( x + 2) 2020 10 10 20 21 2 019 2020 20 21 20 21 20 21 ( x + 2) − 2 018 ( x + 2) − 2020 10 09 10 10 +C +C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: ∫ x( x + 2) 2 019 dx... ) 1+ tan2 t dt = ∫ dt = t + C 1+ tan t ( ) dx = arctan x + C 1+ x2 Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải ) ' = u'vv 'u Với u = u( x) v = v( x) hàm số có đạo hàm