Bài 1 NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x xác định K ( K khoảng đoạn nửa đoạn ¡ ) Hàm số F  x gọi nguyên hàm hàm số f  x K F' x  f  x với x  K Định lý 1: Nếu F  x nguyên hàm hàm số f  x K với số C, hàm số G  x  F  x  C nguyên hàm f  x K Định lý 2: Nếu F  x nguyên hàm hàm số f  x K nguyên hàm f  x có dạng F  x  C, với C số Hai định lý cho thấy: Nếu F  x nguyên hàm hàm số f  x K F  x  C,C  ¡ họ tất nguyên hàm f  x K Kí hiệu  f  xdx  F  x  C Chú ý: Biểu thức f  x dx vi phân nguyên hàm F  x f  x , dF  x  F'  x dx  f  x dx Tính chất nguyên hàm Tính chất  f' x dx  f  x  C Tính chất  kf  x dx  k f  x dx , k số khác Tính chất  f  x  g x  dx   f  x dx   g x dx Sự tồn nguyên hàm Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp  u=u x   dx  x  C  du  u C   x dx  x 1  C    1  1  x dx  ln x  C u 1  C    1  1  u du  ln u  C u  u=ax+b;a  0  d ax  b  ax  b C  1  ax  b   C    1   ax  b dx  a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C Trang 160 1  x2 dx   x  C  xdx  x x  C  x dx  x  C 1  u2 du   u  C  udu  u u  C  u du  u  C  cos2 x dx  tan x  C  cos2 u du  tanu C   ax  b 1 dx   C a ax  b ax  bdx   ax  b ax  b  C a 1  ax  b dx  a ax  b  C ax b x x u u ax b  e dx  e  C  e du  e  C  e dx  a e  C ax au amx n x u mx n a dx   C a  0, a  a du   C a  0, a  a dx   C  a  0,a  1        lna lna m lna  sin xdx   cosx  C  sinudu   cosu C  sin ax  b dx   a cos ax  b  C  cosxdx  sin x  C  cosudu  sinu C  cos ax  b dx  a sin ax  b  C  tan xdx   ln cos x  C  tanudu   ln cosu  C  tan ax  b dx   a ln cos ax  b  C  cot xdx  ln sin x  C  cot udu  ln sinu  C  cot ax  b dx  a ln sin ax  b  C 1 1  sin2 x dx   cot x  C  sin2 u du   cot u C  sin2  ax  b dx   a cot ax  b  C x  sin x dx  ln tan  C u  sinu du  ln tan  C  1  cos  ax  b dx  a tan ax  b  C dx  sin ax  b  a ln tan ax  b C 1 x  u    cos x dx  ln tan    C cosu du  ln tan    C  cos ax  b dx   ax  b   ln tan  C a 4  II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lý 1: Nếu  f(u)du  F(u)  C u  u(x) có đạo hàm liên tục thì:  f u(x).u'(x)dx  Fu(x)  C Hệ quả: Với u  ax  b a  0 ta có  f  ax  bdx  a F  ax  b  C Phương pháp tính nguyên hàm phần: Định lý 2: Nếu hai hàm số u  u  x v  v  x có đạo hàm liên tục K thì:  u  x v' x dx  u  x v  x   u' x v  x dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm phép biến đổi sơ cấp Trang 161 Phương pháp giải  Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, biểu thức chứa x dạng có bảng nguyên hàm  Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm Bài tập Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  A 2x  ex 2x  e x  C x e ln2 B 2x  e x  C C x e  ln2  1 2x  ex  C D x e  ln2  1 Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  x x  2 A  C  x  2 2021 2021  x  2 2021 2021  x  2  2019 C C Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  2021 2020 2021 1010 C C    2x D x  ln e   C x  x  A 1  C 1 x    x  2 x   C 6  x  2  1009  Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x    2018 2x B x  ln e   C  x  2021  x  2  e 1 2x C ln e   C  D  x  2 2020 2x A x  ln e2x   C   x  2 2020 1010 B 2020 1010  x  2  2x  e x  C ex  ln2  1 x   C  Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  là: B 1 x   x  2  C 6 D 1  x  2 x   x   C 6 5x  13 là: x  5x  A 2ln x   3ln x   C B 3ln x   2ln x   C C 2ln x   3ln x   C D 2ln x   3ln x   C Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  A ln x  ln x   C   1 x4 là: x5  x   B ln x  ln x   C Trang 162 C ln x  ln x   C  D ln x  ln x   C    3x2  3x  là: x3  3x  Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  A ln x   2ln x   C x1 B ln x   2ln x   C x1 C 2ln x   ln x   C x1 D 2ln x   ln x   C x1  1 ; f  0  Bài tập Cho hàm số f  x xác định ¡ \   thỏa mãn f ' x  2x   2 f  1  Giá trị biểu thức P  f 1  A 3ln5 ln2 Bài tập f ' x  là: B 3ln2  ln5 Cho ; f 3  x 1 P  f 2   3  0  f  4 A 2ln2  ln5 hàm C 3 2ln5 f  x số  3  2ln2 xác định D 3 ln15  1  1 f      2  2 ¡ \  1;1 , Giá trị thỏa mãn biểu thức là: B 6ln2  2ln3 ln5 C 2ln2  2ln3 ln5 D 6ln2  2ln5 Bài tập 10 Nguyên hàm P   x.3 x2  1dx là: A P  x 1 C P  33 x  1 C   x2   C Bài tập 11 Nguyên hàm hàm số A 1 C x  sin2x  cos2x  C 2 A  tan x  cot x  C A cot2x C  sin D P  x 1     x2   C x2  1 C B 1 x  sin2x  cos2x  C 4 D 1 x  sin2x  cos2x  C 4 dx là: xcos2 x B tan x  cot x  C Bài tập 13 Nguyên hàm hàm số x 1   sin x  cosx sin xdx là: 1 x  sin2x  cos2x  C 4 Bài tập 12 Nguyên hàm hàm số B P   4cos C tan x  cot x  C D cot x  tan x  C dx là: x  4cos2 x  B tan2x  C C cot2x  C D tan2x C Bài tập 14 Nguyên hàm hàm số  tan xdx là: Trang 163 A tan2 x  ln cos x  C B tan2 x  ln sin x  C C tan2 x  ln cos x  C D tan4 x C 4cos2 x   Bài tập 15 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  sin2xtan x thỏa mãn F    Giá  3   trị F   là:  4 31   12 A 3   12 B 3   12 C 31   12 D Bài tập 16 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  cos 2x thỏa mãn F  0  2019 Giá trị   F   là:  8 A 3  16153 64 B 3  129224 C 3  129224 64 Bài tập 17 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  mãn F     A D 3  129224 32  cos5 x , với x   k2 , k ¢ thỏa 1 sin x   Giá trị F    là:  2 B Bài tập 18 Biết C  5sinx  9dx  b ln 5sinx   C, a,b ¢ cosx a D   , ab phân số tối giản Giá trị 2a  b A 10 B 4 C D 3  3 Bài tập 19 Tìm nguyên hàm F  x hàm số f  x   1 sinx biết F     2 4 4 A F  x  x  2cosx  sin2x B F  x  x  2cosx  sin2x C F  x  x  2cosx  sin2x D F  x  x  2cosx  sin2x Trang 164 Bài tập 20 Cho cos2x  sinx  cosx dx  F  x  C A 2 F     a  b Tính A   a  b B Bài tập 21 Cho tích phân  sin2 xcos2 x dx  a Tính A  12cot2 2x theo a A 4a2 B 2a2 Bài tập 22 Cho D 1 C F  x C 3a2 D a2 nguyên hàm hàm số  sin x cos2 x  sin x dx     F    f    Tính F    F   2 2 A B  C Bài tập 23 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  D x 8 x2   khoảng 2 2;2 thỏa mãn F  2  Khi phương trình F  x  x có nghiệm là: A x  B x  C x  1 Bài tập 24 Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x  F  1  A D x  1 2x  khoảng  0;  x  2x3  x2 Tổng S  F  1  F  2  F  3   F  2019 2019 2020 B 2019.2021 2020 C 2018 2020 D  2019 2020 Bài tập 25 Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định ¡ thỏa mãn f 0  2,  x  f  x f ' x   2x  1 1 f  x ,x ¡ Giá trị f  1 là: A B 10 C D Bài tập 26 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn  2;1 thỏa mãn f  0   f  x  f ' x  3x2  4x  Giá trị lớn hàm số y  f  x đoạn  2;1 là: A 23 42 B 23 15 C 42 D 15 Dạng 2: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u=u x Trang 165 Phương pháp giải Định lí: Cho  f  u du  F  u  C u  u x hàm số có đạo hàm liên tục  f u x  u' x dx  F u x   C Các bước thực đổi biến: Xét I   f  u x  u' x dx Bước 1: Đặt u  u x , suy du  u' x dx Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu ẩn u ta I   f  u du  F  u  C , F  u nguyên hàm hàm số f  u Bước 3: Trả biến x ban đầu, ta có ngun hàm cần tìm I  F  u x   C Hệ quả: F  x nguyên hàm hàm số f  x K a, b ¡ ;a  ta có:  f  ax  b dx  a F  ax  b  C Bài tập Bài tập Nguyên hàm F  x hàm số f  x  x2.ex 1 , biết F  1  là: x31 x31 x31 A F  x  e  C B F  x  e  2019 C F  x  e  3 3 Bài tập Nguyên hàm M   x31 D F  x  e 2sin x dx là: 1 3cos x A M  ln 1 3cos x  C B M  ln1 3cos x  C C M   ln1 3cos x  C D M   ln1 3cos x  C   sin  x   a 4 4 a Bài tập I    Tìm tỉ lệ dx  , a,b  ¢ b  sin2x  2 1 sinx  cosx b  A  B  C D 1 Bài tập Cho  cos xsinxdx  F  x  C F  0  a  b  Tính A  a2  b2  2018 A 2018 Bài tập Nguyên hàm R   B 2016 x x C 2022 D 2020 dx là: Trang 166 A R  x  1 ln C x  1 C R  ln x  1 x  1 B R  C x  1 ln C x  1 D R  ln x  1 x  1 C Bài tập Nguyên hàm S   x3 x2  9dx là: x A S   9 x B S   9 x 9 2 C S   x2   x2  x2  x D S    9 C T    x2   C  x2  x2   C   x2  x2   C  x2   C Bài tập Nguyên hàm T   A T    x2     x2  x ln x  dx là: C B T  ln x  1 C  ln x  1 ln x  1 C D T  ln x   C ln x   x  2 dx Bài tập Nguyên hàm U   là: 2022  x  1 2020 2021 1 x   A U   3 x    2020  x 2 B U  6060  x    C 2021  x 2 C U  6063 x    C 2023  x 2 D U  6069 x    C Bài tập Xét nguyên hàm V    ln2 x  x 1 ln x  C dx Đặt u  1 1 ln x , khẳng định sau sai? dx   2u  2 du A x u  2u B V    u  2u 2 du 5 16 C V  u  u  u  4u  C D V  2 u5 u4 16   u  4u2  C Trang 167   Bài tập 10 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  sin 2x.cos 2x thỏa F    Giá trị  4 F  2019  là: A F  2019    15 Bài tập 11 Biết B F  2019   C F  2019     2x  3 dx  x x  1  x  2  x  3    g x  C 15 D F  2019   15 (với C số) Gọi S tập nghiệm phương trình g x  Tổng phần tử S bằng: Bài tập 12 I   A C 3 B 3 A D 3 3cos2x  sin4x dx  F  x  C Tính F  1 , biết F  x không chứa hệ số tự  sinx  cosx 17 B C 15 D Dạng 3: Tìm nguyên hàm cách đổi biến dạng Phương pháp giải Kiến thức cần nhớ: Các kĩ thuật đổi biến dạng thường gặp Ta biết đẳng thức sau: cách xử lí sin2 t  cos2 t  1, với t ¡  ,t   k  k  ¢  cos t 1 cot2 t  ,t  k  k ¢  sin2 t 1 tan2 t  Với tốn sau ta giải nguyên hàm đổi biến số dạng 1, đòi hỏi người học phải trang bị tư đổi biến theo kiểu “lượng giác hóa” dựa vào đẳng thức lượng giác số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem xét nguyên hàm sau đây: dx Bài tốn 1: Tính A1   2 a x Bài tốn 1: Tính A1   dx a  x2     ;  Đặt x  a sint , với t    2 x  a cost với t   0;  Bài tốn 2: Tính A2   dx a  x2 Bài toán 2: Tính A2   dx a  x2 Trang 168 Bài tốn 3: Tính A3   Bài tốn 4: Tính A4       ;  Đặt x  a tant , với t    2 a x Bài tốn 3: Tính A3   dx a x a x dx a x   Đặt x  acos2t với t   0;   2  x  a  x  b dx Bài tốn 4: Tính A4    x  a  x  b dx   Đặt x  a   b  a sin t với t  0;   2 Bài tốn 5: Tính A5   x2  a2 dx Bài tốn 5: Tính A5   x2  a2 dx Đặt x      với t   ;   2 sint a Bài tập Bài tập Nguyên hàm I   x2  x2 dx là: x x  x2 A arcsin  C x x  x2 B 2arccos  C 2 x x  x2 C arccos  C x x 4 x2 D 2arcsin  C 2 Bài tập Nguyên hàm A  1 x2  C I  B Ví dụ Nguyên hàm I   A arctanx  C  1 x  x 1 x2 dx là: C x C  1 x  C D 1 x2 C x dx là: 1 x2 B arccot x  C C arcsinx  C D arccosx  C Dạng 4: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải  '  u'vv 'u Với u  u x v  v x hàm số có đạo hàm khoảng K ta có:  uv Viết dạng vi phân d uv  vdu udv Khi lấy nguyên hàm hai vế ta được:  d uv   vdu   udv Từ suy  udv  uv   vdu  1 Công thức (1) công thức nguyên hàm phần Trang 169 Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Bài toán: Tìm I   u x v x dx , u x v x hai hàm có tính chất khác nhau, chẳng hạn: u x hàm số đa thức, v x hàm số lượng giác u x hàm số đa thức, v x hàm số mũ u x hàm số logarit, v x hàm số đa thức u x hàm số mũ, v x hàm số lượng giác Phương pháp nguyên hàm phần u  u x du  u' x dx  Bước 1: Đặt   dv  v x dx v   v x dx Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được:  udv  uv   vdu Lưu ý: Đặt u  u x (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng có logarit ưu tiên u đa thức,… thứ tự ưu tiên xếp Còn nguyên hàm v   v x dx ta cần Chọn số thích hợp Điều làm rõ qua Bài tập minh họa cột bên phải Bài tập   Bài tập Kết nguyên hàm I   x ln 2 x dx là: A x2  x2 ln x    C 2 B x2  ln x2    D       2 C x  ln x   x  C Bài tập Kết nguyên hàm I   ln sin x  2cos x cos2 x    x2 C x2  x2 ln x2    C 2   dx là: A  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C B  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C C  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cosx  C D  cot x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cosx  C Bài tập Kết nguyên hàm I   x sin5xdx là: 2 cos5x  C A  x cos5x  xsin5x  25 125 2 cos5x  C B  x cos5x  xsin5x  25 125 Trang 170 C 2 x cos5x  xsin5x  cos5x  C 25 125 2 cos5x  C D  x cos5x  xsin5x  25 125 3x Bài tập Nguyên hàm I   x e dx là:  x4 4x3 12x2 24x 24  3x A I       e  C 3   3 B I   x4 4x3 12x2 24x 24  3x I  C      e  C 3   3  x4 4x3 12x2  3x I  D    e  C   3 x5 e3x C x Bài tập Nguyên hàm I   e sin xdx là: x A 2e  sin x  cos x  C C x B 2e  sin x  cos x  C x e  sin x  cos x  C x e  sin x  cos x  C D n Bài tập Tìm I   ln  ax  b v x dx , v x hàm đa thức, n ¥ * a, b ¡ ;a  Bài tập 6.1 Kết nguyên hàm I   x.ln xdx là: x2 x2 ln2   C A B x2 x2 ln2   C x2 x2 ln2   C C D x2 x2 ln2   C Bài tập 6.2 Kết nguyên hàm I    4x  1 ln  2x dx là:       3x2  6x  C       3x2  6x  C A 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  B 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x        3x2  6x  C       3x2  6x  C C 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  D 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  x 2x Bài tập Cho F  x   x  1 e nguyên hàm hàm số f  x e Biết hàm số f  x 2x có đạo hàm liên tục ¡ Nguyên hàm hàm số f ' x e là: x A  2 x e  C x B  2 x e  C x C  1 x e  C x D  1 x e  C Dạng 5: Các toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải Ý nghĩa vật lí đạo hàm: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S  S t , với S t quãng đường mà chất điểm thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu Trang 171 Gọi v t a t vận tốc tức thời gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có: v t  S' t a t  v' t Từ ta có: S t   v t dt v t   a t dt Bài tập Bài tập Một vật chuyển động với gia tốc a t  m/ s2 , t khoảng thời gian tính t1   từ thời điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu? A 10 m/s B 15,2 m/s C 13,2 m/s Bài tập Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a t   D 12 m/s t  t m/ s2 , t 24 16   khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát vận tốc vận động viên bao nhiêu? A 5,6 m/s B 6,51 m/s C 7,26 m/s D 6,8 m/s Bài tập Một nhà khoa học tự chế tên lửa phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s tên lửa đạt đến tốc độ bao nhiêu? A 0,45 m/s B 0,4 m/s C 0,6 m/s D 0,8 m/s Trang 172 ... 2 018 A 2 018 Bài tập Nguyên hàm R   B 2 016 x x C 2022 D 2020 dx là: Trang 16 6 A R  x  1? ?? ln C x  1? ?? C R  ln x  1? ?? x  1? ?? B R  C x  1? ?? ln C x  1? ?? D R  ln x  1? ?? x  1? ?? C Bài tập Nguyên. .. hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm Bài tập Bài tập Nguyên hàm hàm số f  x  A 2x  ex 2x  e x  C x e ln2 B 2x  e x  C C x e  ln2  1? ?? 2x  ex  C D x e  ln2  1? ?? Bài tập Nguyên hàm. ..  4 3? ?1   12 A 3   12 B 3   12 C 3? ?1   12 D Bài tập 16 Gọi F  x nguyên hàm hàm số f  x  cos 2x thỏa mãn F  0  2 019 Giá trị   F   là:  8 A 3  16 153 64 B 3  12 9224