Chương 3 - Bài 1 - Nguyên hàm - lý thuyết và bài tập

GV Đoàn Văn Tính 0946 069 661 – Website giasutrongtin vn –LT+ BT bài 1 Nguyên hàm 1 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số ( )f x xác địn[.]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f (x ) với x  K Kí hiệu:  f (x ) dx = F (x ) + C , ( C số ) Chú ý:  f (x ) dx = F (x ) + C suy F ' (x ) = f(x) Tính chất 1) Nếu f(x) có đạo hàm f’(x)  f ' ( x ) dx = f (x ) 2) 3)  kf (x )dx = k  f (x )dx  [f (x )  g(x)]dx =  f (x )dx   g(x)dx Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp  0dx = C  dx = x + C  x dx = 1 x  +1 + C   −1  +1 ( +C x x  x dx = ln x dx = − +C  e xdx = e x + C  a xdx = ax +C ln a ) ( )  +1 ax + b 16  (ax + b ) dx = a  +1  1 17  x  dx = (− + 1) x 18  ax + b = a ln ax + b dx −1 + c ,   −1 + C (  1) +c a 19  eax +bdx = eax +b + C 20  a kx +bdx = a kx +b +C k ln a GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm  cos xdx = sin x + C 21  cos (ax + b ) dx = sin (ax + b ) + C  sin xdx = − co s x + C 22  sin (ax + b ) dx = − cos (ax + b ) + C 10  tan x dx = − ln | cos x | +C 23  tan (ax + b ) dx = − ln cos (ax + b ) + C 11  cot x dx = ln | sin x | +C 24  cot (ax + b ) dx = ln sin (ax + b ) + C 12 1 a a a 25  cos (ax + b ) dx = a tan (ax + b ) + C dx = − cot x + C sin2 x 26  sin (ax + b ) dx = − a cot (ax + b ) + C 27  (1 + tan (ax + b ) ) dx = a tan (ax + b ) + C x 14  (1 + tan2 x ) dx = tan x + C 15 dx = tan x + C  cos 13  a  (1 + cot x ) dx = −co t x + C 2 1 2 28  (1 + cot (ax + b ) ) dx = − a co t (ax + b ) + C Một số ví dụ Ví dụ Tìm họ ngun hàm hàm số sau: a I =  (2 cos x + x + )dx = sin x + x + ln x + C x x b I =  (e x + s inx + 3a x + 5)dx = e x − cosx + 3a + 5x + C ln a c 2x +1 x −2  (e + s in(4x) + a + d  (x 2x +1 e cos x a 3x −2 ) dx = − + − +C ln a 2x x + 3)(x − 1)dx =  (x − x + 3x − 3)dx = GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm Ví dụ Tính Giải Tương tự tính nguyên hàm hàm số sau c) I =  ( 1 + x3 x + )dx = sin x x GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm d) I =  ( 12 − x x + 23x +1 )dx cos x e) I =  (x + 2x − + x )dx 4x + II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến Ví dụ: Tính nguyên hàm hàm số sau a) I =  2xe x +1dx Giải Đặt t = x + dt = 2xdx I =  e tdt = e t + C I = e x +1 + C b) I =  (x 4x − dx − x + 1)5 GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm Giải Đặt t = x − x + dt = (2x − 1)dx I =  25t dt =  24 dt = −23 + C = t t 3t −2 +C 3(x − x + 1)3 Tương tự tính nguyên hàm hàm số sau c) I =  cos xe s inxdx d) I =  (2x − 1)(x − x + 3)7 dx e) I =  (x + 1) x + 2xdx GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm Phương pháp nguyên hàm phần Nhận dạng:  f (x ).g(x )dx f (x )  g(x ) dx Trong f(x) g(x) khác loại Giải I =  f (x ).g(x )dx Đặt u = f ( x) dv = g ( x)dx  du = f ' (x )dx  v =  g(x )dx I = uv -  vdu Chú ý: thứ tự chọn u theo quy tắc log – đa – mũ – lượng Ví dụ: Tính nguyên hàm hàm số sau a) I =  xe x dx Giải Đặt u = x  du = dx dv = ex dx  v =  e x dx = e x I = x.ex -  e x dx = xex - ex + C b) I =  x cos xdx Giải Đặt u = x  du = dx dv = cos xdx  v =  cos xdx = sinx I = x.sinx -  s inxdx = x.sinx + cosx + C c) I =  x ln xdx Giải Đặt u = ln x  du = dx x dv = x2 dx  v =  x dx = x3 GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm I= x3 ln x I1 =  x3  xdx x3 x2 x3 dx =  dx = + C x I= x3 x3 +C ln x Tương tự tính nguyên hàm hàm số d)  xe x dx ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… e)  x cos xdx ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… f)  ( x + 1).ln xdx ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… g)  x ln xdx ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu (đề 101) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos3x A  cos3 x dx = 3sin x + C C  cos3x dx = − sin x +C B  cos3x dx = sin x +C D  cos3 x dx = sin x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu (đề 103) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 2sin x A  2sin x dx = cos x + C B  sin x dx = sin x + C C  2sin x dx = sin x + C D  2sin x dx = −2 cos x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu (đề 103) Cho F( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + x thỏa mãn F (0) = Tìm F( x) B F ( x ) = 2e x + x − D F ( x ) = e x + x + A F ( x ) = e x + x + C F ( x ) = e x + x + GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu (đề 104) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x A  x dx = x ln + C B  7x dx = 7x +C ln C  x dx = x +1 + C D  7x dx = x +1 +C x +1 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu (đề 104)   Tìm nguyên hàm F( x) hàm số f ( x) = sin x + cos x thỏa mãn F   =   A F( x) = cos x − sin x + B F( x) = − cos x + sin x + C F( x) = − cos x + s in x − D F( x) = − cos x + sin x + ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu (đề 104)   Tìm nguyên hàm F( x) hàm số f ( x) = sin x + cos x thỏa mãn F   = 2 A F( x) = cos x − sin x + B F( x) = − cos x + sin x + GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm C F( x) = − cos x + s in x − D F( x) = − cos x + sin x + ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu [101] Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f  ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Mệnh đề đúng? A f ( x ) = 3x + 5cos x + B f ( x ) = 3x + 5cos x + C f ( x ) = 3x − 5cos x + D f ( x ) = 3x − 5cos x + 15 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu [MH18] Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + A x3 + C B x3 + x+C C 6x + C D x3 + x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu [101] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x4 + x2 + C B 3x2 + + C C x3 + x + C D x + x +C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 10 Câu 10 [102] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x4 + x + C B 4x3 + + C C x5 + x2 + C D x + x +C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 11 [103] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A 4x3 + 2x + C B x + x +C C x5 + x3 + C D x4 + x2 + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 12 [104] Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + x A 3x2 + x + C B x + x +C C x4 + x3 + C D x3 + x2 + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 13 [MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + x A ex + x2 + C B e x + x + C C x e + x + C D ex + + C x +1 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 11 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 14 Tìm nguyên hàm hàm số y = 102 x A 10 x +C 2ln10 B 102 x +C ln10 C 102 x +C 2ln10 D 102 x 2ln10 + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 15 A  + cos x dx là: x + sin x + C B x + sin x + C C x + sin x + C 2 D x + sin x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 16 Chọn khẳng định khẳng định Nguyên hàm hàm số y = x sin x là: x A x s in + C B − x.cos x + C C − x.cos x + sinx + C D − x.sinx + cos x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 17  sin x.cos xdx là: GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 12 B sin x.cos x + C C sin x − A cos2 x sinx + C 1 sin x + C D cosx − cos3 x + C 12 12 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… x +1 − 5x +1 Câu 18 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: y = 10 x A F ( x) = 5x 5.2 x − +C 2ln ln B F ( x) = − C F ( x) = − +C x ln 5.2 ln D F ( x) = x 5x 5.2 x + +C ln ln 2 + +C x ln 5.2 ln x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 19 A  x ln xdx là: 3 x ln x x − +C B 3 2 x ln x x − +C C 3 2 x ln x x x ln x x − + C D + +C 9 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 20 A -12 x  x sin dx = B.9 a sin x x − bx cos + C 3 Khi a+b C 12 D ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 13 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 21 A  x e dx l= ( x x + mx + n)e x + C Khi m.n B C D −4 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 22 Tìm hàm số y = f ( x) biết f '( x) = 2x + 1và f (1) = A f ( x) = x2 + x + B f ( x) = x2 − x + C f ( x) = x2 + x − D f ( x) = x2 − x − ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 23 Tìm hàm số y = f ( x) biết f '( x) = − x f (2) = A f ( x) = x3 + x + B f ( x) = x − x3 + C f ( x) = 2x3 + x − D f ( x) = x3 − x − ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 24 Nguyên hàm hàm số f(x) = x3 A x4 − 3ln x + x.ln + C B + x là: x x4 2x x4 x3 + + + C D + + x.ln + C + + x + C C x ln x x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 14 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 25 Nguyên hàm hàm số: y = A tanx - cotx + C cos x là: sin x.cos x B −tanx - cotx + C C tanx + cotx + C D cotx −tanx + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………  e− x    Câu 26 Nguyên hàm hàm số: y = e x  +  là: cos x A 2e x − tan x + C B 2e x − +C cos x C 2e x + +C cos x D 2e x + tan x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 27 Nguyên hàm hàm số: y = cos2x.sinx là: A cos3 x + C B − cos3 x + C C - cos3 x + C D sin3 x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 28 Một nguyên hàm hàm số: y = cos5x.cosx là: A F(x) = 11   cos x + cos x  26  B F(x) = sin5x.sinx GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 15 C 11   sin x + sin x  26  sin x sin x  D −  +  2  ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 29 Một nguyên hàm hàm số: y = sin5x.cos3x là:  cos x cos x  cos x cos x  + +  B    2   A −  C  cos x cos x  −   2   sin x sin x  +   2  D ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 30  sin 2xdx = A 1 x + sin x + C B sin x + C C 1 x − sin x + C D 1 x − sin x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 31  sin dx = x.cos x A tan 2x + C Câu 32  (x − 1) x3 B -2 cot 2x + C C cot 2x + C D cot 2x + C dx = GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 16 A x3 − ln x + + C 2x B x3 − ln x − + C x C x3 − ln x − + C 2x D x3 − ln x − + C 3x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 33 A (x ) x + e 2017 x dx = e2017 x x x+ +C 2017 B e2017 x x x+ +C 2017 2 e2017 x +C D x x + 2017 e2017 x +C C x x + 2017 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 34 A x dx = + 4x − x −1 ln +C x+5 B x+5 ln +C x −1 C x +1 ln +C x −5 D x −1 ln +C x+5 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 17 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 35 Một nguyên hàm hàm số: y = A F ( x) = x − x B − ( x +4 ) x3 − x2 là: ( 1 − x C − x 2 − x D − x − 3 ) − x2 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 36 Một nguyên hàm hàm số: f ( x) = x + x là: ( A F ( x) = x + x2 C F ( x) = x2 ) B F ( x) = ( 1+ x ) 3 ( D F ( x) = x + x2 ) ( 1+ x ) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 37  tan 2xdx = A ln cos 2x + C B ln cos 2x + C C − ln cos 2x + C D ln sin x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 38 Nguyên hàm hàm số: f ( x ) = là: 3x + GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 18 ln 3x + + C C ln ( 3x + 1) + C D ln x + + C B ln 3x + + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 39 Nguyên hàm hàm số: f ( x ) = cos ( x − ) là: A sin ( x − ) + C B 5sin ( x − ) + C C sin ( x − ) + C D −5sin ( x − ) + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 40 Nguyên hàm hàm số: f ( x ) = tan x là: A tan x + C B tanx-x + C C 2tan x + C D tanx+x + C ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 41 Nguyên hàm hàm số: f ( x ) = ( x − 1) là: GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 19 A −1 +C 2x − B −1 +C − 4x C −1 + C D +C 4x − ( x − 1) ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 42 Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos3x.cos2x là: A sin x + sin5x C 1 cosx + cos5 x 10 B 1 sin x + sin x 10 D 1 cosx − sin x 10 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 43 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = f ( ) bằng: A ln2 B ln3 C ln2 + 1 f (1) = 2x − D ln3 + ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 44 Nguyên hàm hàm f ( x ) = với F (1) = là: 2x − GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 20 ... dx = x3 GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 6 61 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm I= x3 ln x I1 =  x3  xdx x3 x2 x3 dx =  dx = + C x I= x3 x3 +C ln x Tương tự tính nguyên hàm hàm... Đồn Văn Tính - 0946 069 6 61 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu (đề 10 1) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos3x A  cos3 x dx = 3sin x + C C  cos3x dx = − sin... ……………………………………………………………………………………… Câu 38 Nguyên hàm hàm số: f ( x ) = là: 3x + GV: Đồn Văn Tính - 0946 069 6 61 – Website: giasutrongtin.vn –LT+ BT 1: Nguyên hàm 18 ln 3x + + C C ln ( 3x + 1) + C D ln x + + C B ln 3x + + C