CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NĨN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng ( P ) Cho hai đường thẳng Δ 2( 1+ 5) a cắt O tạo thành góc β với 0° < β < 90° Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh Δ đường thẳng l sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó: Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón Góc 2β gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón ( N) khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho ∆OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó: Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Chú ý: Nếu cắt mặt nón ( N ) hai mặt phẳng song song ( P) ( Q ) với ( P) Hình trịn tâm I, bán kính r = IM đáy hình qua O vng góc với ∆ phần mặt nón nón ( N ) giới hạn hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) hình trịn giao tuyến ( Q ) mặt nón ( N ) hình nón Trang 37 KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay - Nếu mp ( P ) chứa OI thiết diện mp ( P ) khối nón ta thường vẽ hình bên khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp ( P ) vng góc với OI (khơng chứa O) thiết diện mp ( P ) khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp ( P ) qua I CÔNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh l có: - Diện tích xung quanh: S xq = πr l - Diện tích đáy (hình trịn): S ht = πr - Diện tích tồn phần: Stp = πr l + πr 1 - Thể tích khối nón: V = S ht h = πr h 3 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục tam giác vuông cân Biết sử dụng kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vng góc, A S = 2π B S = 4π hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S = 2π D S = 2π vào tính tốn Trang 38 Hướng dẫn giải Tam giác OAB vng cân diện tích ⇒ OA2 = 2 ⇒ OA = OB = AB = 22 + 22 = 2 ⇒h=R= AB = 2 Suy S xq = π 2.2 = 2π Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6πa B 24πa C 3πa D 12πa Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9π Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vuông Mặt phẳng ( α ) qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc ( α ) đáy hình nón 60° A B C D Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) a · · SAO = 30° , SAB = 60° Độ dài đường sinh hình nón theo a A a B a C 2a D a Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính Trang 39 2a độ dài đường sinh a Mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt hình ( ) nón theo thiết diện tam giác có chu vi + a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( P ) A d = a B d = a C d = a D d = a Bài tập 6: Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song ( P) ( Q ) hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M ∈ ( P ) , N ∈ ( Q ) , MN = a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc β Biết góc ( ) 1+ a đường cao đường sinh hình nón 45° Độ dài đoạn EF A EF = 2a C EF = − a tan 2β a B EF = − tan 2β D EF = −2a tan 2β Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq = πa B S xq = πa 10 C S xq = πa D S xq = πa Dạng 2: Tính thể tích khối nón, tốn cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60° , diện tích xung quanh 6πa Thể tích V khối nón cho A V = 3πa C V = 3πa B V = πa D V = πa Hướng dẫn giải Nhìn vào cơng thức tính thể tích khối nón Chọn C Trang 40 1 Vn = S ht h = πr h 3 ta thấy cần xác định chiều cao diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với tốn cực trị ta thường tính tốn đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc Thể tích V = πR h = π.OA2 SO 3 vào biến sau dùng đánh giá (sử · · dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có ASB = 60° ⇒ ASO = 30° để tìm kết ⇒ tan 30° = OA = ⇒ SO = OA SO Lại có S xq = πRl = π.OA.SA = πOA OA2 + SO = 6πa ⇒ OA OA2 + 3OA2 = 6a ⇒ 2OA2 = 6a ⇒ OA = a ⇒ SO = 3a ⇒ V = π.3a 3a = 3πa Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ·ABC = 45°, ·ACB = 30°, AB = Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối trịn xoay tích V A V = C V = ( π 1+ ) B V = ( π 1+ ) D V = ( π 1+ ) 24 ( π 1+ ) Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón ( N ) có đỉnh A đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón ( N ) A V = π 3a 27 B V = 6a 27 C V = π 6a D V = π 6a 27 Bài tập 3: Cho hình nón ( N ) có góc đỉnh 60° Mặt phẳng qua trục ( N ) cắt ( N ) theo thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Thể tích khối nón ( N ) Trang 41 A V = 3π B V = 3π C V = 3π D V = 6π Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , ABC tam giác vuông B Biết BC = a, AB = a 3, AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối trịn xoay Thể tích phần chung hai khối trịn xoay bằng: A 3πa 16 B 3πa C 3πa 16 D 3πa 16 Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S có đường tròn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho A B C D Bài tập 6: Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60° hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000π ( cm ) Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bao nhiêu? A 3 B C 27 D 64 Bài tập 7: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh l Hình nón tích lớn Trang 42 A πl 3 B 2πl 3 C πl 3 27 D 2πl 3 27 Bài tập 8: Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r , l bán kính đáy đường sinh hình nón) A l = 3r B l = 2r C l = r D l = 2r Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy a có diện tích a Gọi A, B hai điểm đường trịn ( O ) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Bài tập 10: Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón ( N2 ) có đỉnh tâm đáy ( N1 ) có đáy thiết diện song song với đáy ( N ) hình vẽ Khối nón ( N ) tích lớn chiều cao x A h B h C 2h D h Bài tập 11: Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón tích lớn A cm B 10 cm C cm D 10 cm 2 Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y = ( m + 1) x − 2mx + m + có điểm cực trị A, B, C mà x A < xB < xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? Trang 43 A ( 4;6 ) B ( 2; ) C ( −2;0 ) D ( 0; ) Bài tập 13: Cho tam giác ABC vng A, có AB = cm, AC = cm Gọi M điểm di động cạnh BC cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành A π 4π B C 8π D 4π C 9π D Bài tập 14: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ tích Gọi ( N) hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời A′, B′, C ′, D′ điểm nằm đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón ( N ) có giá trị nhỏ A 2π B 3π 9π 16 Bài tập 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a , góc đỉnh 120° Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác A 3a B 2a C a D 3a Bài tập 16: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Hình nón ( N ) thay đổi có đỉnh đường tròn đáy thuộc mặt cầu ( S ) Thể tích lớn khối nón ( N ) A 32πR 81 B 32 R 81 C 32πR 27 D 32 R 27 Dạng Bài toán thực tế hình nón, khối nón Bài tập 1: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba Trang 44 miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? A V = 16000 lít B V = 16 2π lít C V = 16000 2π 160 2π lít D V = lít 3 Bài tập 2: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ cịn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) A h ≈ 1, 73 dm B h ≈ 1,89 dm C h ≈ 1,91 dm D h ≈ 1, 41 dm Bài tập 3: Một bể nước lớn khu công nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần Tính độ dài đoạn MN A 27 ( ) − m Trang 45 ( 9( 3( B 9 3 C 3 D ) − 1) m − 1) m − m Trang 46 ... h B h C 2h D h Bài tập 11 : Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10 cm Chiều cao hình nón tích lớn A cm B 10 cm C cm D 10 cm 2 Bài tập 12 : Giả sử đồ thị hàm số y = ( m + 1) x − 2mx + m + có... B a3 C a3 12 D a3 12 Bài tập 10 : Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón ( N2 ) có đỉnh tâm đáy ( N1 ) có đáy thiết diện song song với đáy ( N ) hình vẽ Khối nón ( N ) tích... = 2π Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6πa B 24πa C 3πa D 12 πa Bài tập 2: Cho hình nón có đường