BÀI 1 mặt nón

BÀI MẶT NÓN MỤC TÊU Kiến thức 1.Nắm định nghĩa mặt nón trịn xoay, hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay Nắm cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, diện tích đáy hình nón, diện tích tồn phần hình nón, thể tích khối nón Kỹ 1.Nhận biết khối trịn Xoay khối nón 2.Tính yếu tố liên quan đến khối nón độ dài đường sinh, chiều cao, góc đỉnh, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thiết diện, thể tích khối nón 3.Giải tốn nâng cao liên quan đến khối nón tốn cực trị, toán thực tế I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM MẬT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng (P) Cho hai đường thẳng A C cắt O tạo thành góc  với 00    900 Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  đường thẳng sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó: * Đường thẳng gọi trục mặt nón * Đường thẳng ¢ gọi đường sinh mặt nón * Góc gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón (N) khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó: * Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón * Hình trịn tâm , bán kính r = }M đáy hình nón Chú ý: Nếu cắt mặt nón (N) hai mặt phẳng song song (P) (Q) VỚi (P) qua O vng góc với A phần mặt nón (N) giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) hình trịn giao tuyến (Q) mặt nón (N) hình nón Trang KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoa hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: - Nếu mp  P  chứa O thiết diện mp  P  khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp  P  vng góc với OI (khơng chứa O) thiết diện mp  P  khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp  P  qua I CÔNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh - Diện tích xung quanh: S xq   r có: - Diện tích đáy (hình trịn): Sht   r - Diện tích tồn phần: Stp   r   r 1 - Thể tích khối nón: V  Sht h   r h 3 Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khổi nón ta thường vẽ hình bên SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN Trang II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm mặt nón, hình nón, khổi nón Ví dụ: Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r A  r h B  r h C  r h 3 Hướng dẫn giải 1 Vì thể tích khối nón Vn  Sht h   r h ( Sht diện tích hình trịn đáy) 3 Chọn A Ví dụ mẫu D 2 r h Trang Ví dụ Cho đường thẳng cắt khơng vng góc với  quay quanh  ta A khối nón trịn xoay B mặt trụ trịn xoay C mặt nón trịn xoay D hình nón trịn xoay Hướng dẫn giải Cho đường thẳng I cắt không vng góc với  quay quanh  ta mặt nón trịn xoay Nếu khơng nắm kĩ lí thuyết dễ nhầm với đáp án A đáp án D Chọn C Ví dụ Gọi I , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau đúng? 1 A l  hR B   C l  h2  R2 D R2  h2  l l h R Hướng dẫn giải Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vng Do OM  Ol  IM , suy l  h2  R2 Lưu ý: Tam giác OIM vuông : nên ta sử dụng định lý Py-ta-go suy đáp án Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hình nón (N) Có chiều cao h, độ dài đường sinh , bán kính đáy r Kí hiệu S xq diện tích xung quanh khối nón (N) Cơng thức sau đúng? A S xq   rh B S xq  2 r C S xq  2 r h D S xq   r Câu : Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành? A Một B Hai C Khơng có hình nón D Ba Câu : Cho hình nón có diện tích xung quanh S xq bán kính r Cơng thức sau dùng để tính đường sinh hình nón cho S xq 2S xq S xq A  B  C  2 S xq r D  r r 2 r Câu : Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy R, chiều cao h, độ dài đường sinh Khẳng định sau đúng? A  R  h B R   h2 C h  R  D  R  h2 ĐÁP ÁN 1-D 2-B 3-A 4-D Trang Dạng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy Biết sử dụng kết phần kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác để áp dụng vào tính tốn Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân diện tích 2? A S  2 Hướng dẫn giải B S  4 C S  2 D S  2 Tam giác OAB vng cân diện tích   OA2  2  OA  OB  AB  22  22  2 hR AB  2 Suy S xq   2.2  2 Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6 a Hướng dẫn giải B 24 a C 3 a D 12 a 2a  a 3,  2a, r  a Diện tích tồn phần hình nón Ta có h  Trang Stp   r   r   a.2a   a  3 a Lưu ý: Diện tích tam giác cạnh x là: S  x2 x độ dài chiều cao là: h  Ở toán x  2a Chọn C Ví dụ Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Hướng dẫn giải Gọi r, , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho  r  9 r  nên  Theo giả thiết ta có    r   Lại có h   r h  36   3 Chọn A Ví dụ Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng   qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc   đáy hình nón 600 A Hướng dẫn giải B C B Gọi O tâm đường tròn đáy, H trung điểm MN Ta có MN giao tuyến đường trịn đáy mặt phẳng   ,lại có OH  MN , SH  MN Do góc   đáy hình nón SHO  600 Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng Có cạnh góc vng  SO  Trang Xét SOH vng O có sin 600  SO SO  SH   SH sin 60  6 Khi MN  SN  SH        2 1 SHMN   2 3 Lưu ý: Tam giác SMN tam giác cân S SM = SN = Ví dụ 4.Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng a SAO  300 , SAB  600 Độ dài đường sinh hình nón cách từ O đến mặt phẳng (SAB) theo a A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Vậy diện tích tam giác SMN S ASMN  Gọi I trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a Do SAB  600 nên tam giác SAB Suy SA  SB  AB Mặt khác SAO  300  SO  SA.sin 300  Xét tam giác SOI ta có SA SA OA  SA.cos 300  2 1 1 1       2 2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA   2   SA     SA  2   2  a   SA  OH   a 2 OH SA Chọn A Lưu ý: * Ta có: OH  SI 1   AB  OI  AB   SOI   AB  OH   AB  SI  2 Từ 1   suy OH   SAB  , d  O;  SAB    OH * Có thể đặt SA  x Trang Chọn A Ví dụ Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh   a Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (P) A d  a a B d  C d  a D d  a Hướng dẫn giải   Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có SA  SB  AB   a    a  a  AB   a  AB  2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB  SE, mặt khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H ,  H  SE  Ta thấy OH  AB OH  (SOE)  OH  (SAB) Vậy khoảng cách từ s đến (P) OH (hay d  O ;  P    OH ) EB  AB  a, OB  R  2a, OE  OB  EB  4a  a  a SO  SB  OB  5a  4a  a, OH  Vậy d  OS OE OS  OE  a.a a  3a  a a Chọn D Ví dụ Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song (P) (Q) hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi J trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN  a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao đường sinh hình nón 450 Độ dài đoạn EF Trang a B EF   tan 2 A EF  2a C EF  a tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải a a Xét tam giác NIO có OI  NI cos   cos  , NO  NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vng S có SEF  ESM  SME  450  900    1350   SF  SE.tan SEF  SE.tan 1350     SE  tan  tan   Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE nên SE tan 1350    SE.SF a SI   cos   SE  SF  tan 1350      tan   a 1  cos  tan    a sin    SE    tan  2(1  tan  ) 2 tan   Do SE EF   cos SEF SE a sin  a    tan 2 cos 135    (1  tan  )( cos   sin  ) Lưu ý: SSFI  SSEI  SSFE * SF SI sin 450 S SEI  SE.SI sin 450 S SFE  SF SE  sin 900 S SFI  Thay vào  *  ta SI  SE.SF SE  SF Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq   a2 3 Hướng dẫn giải B S xq   a 10 C S xq   a2 D S xq   a2 Trang Gọi O tâm tam giác ABC, SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA Gọi H trung điểm BC   SBC  ,  ABC    SHO  60 Tam giác ABC O tâm tam giác nên OH  1 a a a AH   ; OA  AH  3 3 Tam giác SOH vuông O có SHO  600 nên SO  OH tan 600  a a 3 a 3a a 21   Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA  2 Diện tích xung quanh hình nón S xq   rl   OA.SA   a a 21  a  6 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A ' B ' C ' D ' Kết tính diện tích tồn phần Stp khối nón có dạng  a2   b  c với b c hai số nguyên dương b  Giá trị bc A bc  B bc  C bc  15 D bc  Câu 2: Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với định hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm đường trịn hình nón Khi diện tích xung quanh hình nón 2 3 a a a B C D 3 a2 3 Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh 5 a2 bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho A A a C 3a B 3a D 5a Câu 4: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng có cạnh huyền a Diện tích xung quanh S xq hình nón A S xq   a2 B S xq   a2 C S xq   a2 D S xq   a2 Câu 5: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy Trang 10   Vậy thể tích khối nón V   3  3 Chọn C Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có AD  ( ABC), ABC tam giác vuông B Biết BC  a, AB  a 3, AD  3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối trịn xoay Thể tích phần chung hai khối trịn xoay 3 a 16 Hướng dẫn giải A B 3 a C 3 a 16 D 3 a 16 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy đường trịn bán kính AE  cm I  AC  BE, IH  AB , H Phần chung khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH IC BC Ta có IBC đồng dạng với IEA     IA  3IC 1A AE AH IH AI 3 3a Mặt khác IH / / BC      IH  BC  AB BC AC 4 Gọi V1;V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình trịn tâm H 1 V1   IH AH ;V2   IH BH 3  V  V1  V2  V   JH AB  V   9a 16 a  V  3a 3  16 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có định S có đường trịn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho 1 A B C D Hướng dẫn giải Trang 14 Hai hình nón có chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích mặt đáy Vì tam giác ABC nên bán kính đường trịn ngoại tiếp đường cao tam giác; bán kính đường trịn nội tiếp 3 đường cao tam giác V S r 1 Suy     R V2 S Chọn D Ví dụ Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đường sinh hình nón tạo với đáy góc 600 hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000  cm3  Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bao nhiêu? A B C 27 3 Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình nón lớn nón nhỏ x, y ( x  y) D 64 Suy chiều cao hình nón lớn nón nhỏ x 3, y  x  y  30  Theo giá thiết, ta có  2   x x   y y  1000 3  20 10  x  y  10  x ,y 3 3   x  y  1000 3  y Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính    x Chọn B Trang 15 Ví dụ Trong tất hình nón có độ dài đường sinh Hình nón tích lớn A  3 B Hướng dẫn giải 2 C  27 Gọi h(0  h  ) chiều cao hình nón, suy bán kính r  Suy thể tích khối nón 1 V   r h    h  h3    f (h) 3 3 Xét hàm f (h)  h  h (0; ),  h  2 f '(h)   3h     h    Lập bảng biến thiên ta D 2 27  h2  không thoa mãn    Ta thấy max f (h)  f    3 3 Vậy Vmax  2 3 27 Dấu "  " xảy  h  Chọn D Ví dụ Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r , bán kính đáy đường sinh hình nón) A  3r Hướng dẫn giải C  r B  2r Ta có S   r   r   D  2r S  r2 r Thể tích 1 V   r 2h   r 3  r   r2 S  r  2  r 2  r2  S  Sr  2 r  Trang 16 Lập bảng biến thiên cho hàm f (r )  Sr  2 r (0; ), ta thấy hàm số đạt giá trị lớn S   3r 4 Chọn A Ví dụ Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy a có diện tích a Gọi A, B hai điểm đường trịn (O) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn r a3 Hướng dẫn giải A B a3 C a3 12 D a3 12 1 Tam giác cân SCD, có SSCD  CD.SO  a  a.SO  SO  2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO  2a không đổi nên để thể tích lớn diện tích tam giác OAB lớn 1 Mà SOAB  OA.OB.sin AOB  r sin AOB (với r bán kính đường trịn mặt đáy hình nón) 2 Do để SOAB lớn sin AOB  Khi Vmax  a3 12 Lưu ý: điều kiện biến khảo sát hàm Chọn C Ví dụ 10 Cho hình nón  N1  có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón  N  có đỉnh tâm đáy  N1  có đáy thiết diện song song với đáy  N  hình vẽ Khối nón  N  tích lớn chiều cao x h A B h C 2h D h Trang 17 Hướng dẫn giải Xét mặt cắt qua trục hình nón kí hiệu hình vẽ Với O, I tâm đáy hình nón  N1  ,  N  ; R, r Ta có bán kính hai đường tròn đáy  N1  ,  N  SI r hx r R (h  x )    r  SO R h R h R ( h  x)  R2 N x  x ( h  x ) Thể tích khối nón   V N2    r x   3 h 3h 2 Xét hàm f ( x)  x(h  x)  x  2hx  h x  0; h  Ta có x  h f '( x)  3x  4hx  h ; f '( x)    x  h  Lập bảng biến thiên ta có 2 h Vậy f ( x) đạt giá trị lớn khoảng (0; h) x  Chọn B Ví dụ 11 Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10 cm Chiều cao hình nón tích lớn A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Xét hình nón có chiều cao x cm bán kính đáy y cm (x, y dương) Trang 18 Ta có x2  y  102  y  100  x2 , ta có điều kiện x, y   0;10  1 Thể tích khối nón V   r h   100  x  x 3 Xét hàm số f ( x)  100  x  x  100 x  x , x   0;10  ; f '( x)  100  x ; f '( x)   x  10 Bảng biến thiên Ta thấy V lớn f ( x) lớn x  10 cm Chọn D Ví dụ 12 Giả sử đồ thị hàm số y   m  1 x  2mx  m  có điểm cực trị A, B, C mà xA  xB  xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối trịn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? A (4;6) B (2;4) C (  2;0) D (0;2) Hướng dẫn giải y '   m2  1 x3  4mx  x  m2  1 x  m  x  y '   x  m  1 x  m     m x   m     m2  Với m  đồ thị hàm số có điểm cực trị (với xA  xB  xC ) 2     m m2 m m2 2 A   ;   m  ; B 0; m  ; C ;   m2  1     2 2    m 1 m 1   m 1 m 1  Quay ABC quanh AC khối trịn xoay tích 2  m2  m 2 V    r h   BI IC       3  m 1  m 1 m m9  1 Trang 19 Xét hàm số f (m)  Ta có f '(m)  m m9  1 m8   m  m  1 ; f '(m)   m  (m  0) Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m  Chọn B Ví dụ 13 Cho tam giác ABC vng A, có AB  6cm, AC  3cm Gọi M điểm di động cạnh BC cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành  4 8 A B C D 4 3 Hướng dẫn giải Đặt AH  x (cm),0  x  Khi BH   x (cm) Xét tam giác BHM vuông H HM  HM  BH tan HBM  (6  x).tan HBM Ta có tan HBM  BH AC Mà tan HBM  tan ABC    AB Do HM  (6  x) Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH   V  AH  HM  x .(6  x)   x3  12 x  36 x  1 3 12 Xét hàm số f ( x)  x3 12x2  36x với  x  , ta có x  f '( x)  3x  24 x  36; f '( x)   x  24 x  36    x  Trang 20 Bảng biến thiên hàm số f ( x)  x3 12x2  36x với  x  Từ 1 bảng biến thiên ta tích lớn khối nón tạo thành V   12 32  8 Chọn C Ví dụ 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D tích Gọi (N) hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vuông ABCD, đồng thời điểm A ', B ', C ', D ' nằm đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ 2 Hướng dẫn giải A B 3 C 9 D 9 16 Xét phần mặt cắt qua trục hình nón qua mặt phẳng  AA ' C ' C  , kí hiệu hình vẽ Với I , H tâm hình vng ABCD, A ' B ' C ' D đỉnh A ' nằm đường sinh EF hình nón Hình lập phương tích nên AA '  HI  1, A ' H  Đặt EH  x ( x  0) Khi đó, ta có EH A ' H x 2  x 1      FI     r EI FI x  FI  x  1  x 1   ( x  1)3 Thể tích khối nón (N) V N    r EI    x       x  x2 Trang 21 ( x  1)3 ( x  2)( x  1) 0;  Ta có f '( x )    x2 x3 Lập bảng biến thiên Xét hàm số f ( x)  Ta f ( x)  (0;  ) 27 9 x  Suy V N   Chọn C Ví dụ 15 Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R  a 3, góc đỉnh 1200 Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác A 3a2 B 2a C a D 3a Hướng dẫn giải Giả sử SAM thiết diện tạo mặt phẳng hình nón   Gọi AM  x  x  2a Gọi H trung điểm AM  OH  AM  AM  (SOH )  AM  SH AO  SA   2a   sin 60   Vì ASB  120  ASO  60   AO  SO  a  tan 60 OH  OA2  AH  3a  SSAM x2 x2  SH  OH  SO  4a  4 1 x2  AM SH  x 4a  2   x2 x2 Ta có S '   4a   2 x2 4a      2   16a  x  S '   x  2a  x2  4a   Trang 22  Smax  2a Chọn B Ví dụ 16 Cho mặt cầu (S) bán kính R Hình nón (N) thay đổi có đỉnh đường trịn đáy thuộc mặt cầu (S) Thể tích lớn khối nón (N) 32 R3 A 81 Hướng dẫn giải 32 R B 81 32 R3 C 27 32 R D 27 Ta tích khối nón đỉnh S lớn thể tích khối nón đình S Do cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường trịn đáy r đường cao sl  h với h  R Thể tích khối nón tạo nên bởi(N)là 1 V  h.S( c )  h. r 3  h.  R  (h  R )      h  2h R  Xét hàm số f (h)  h3  2h2 R với h [ R;2R) Ta có f  (h)  3h2  4hR f  (h)   3h2  4hR   h  (loại) h  4R Bảng biến thiên Ta có max f (h)  32 4R R h  27 Trang 23 Vậy thể tích khối nón tạo nên (N) có giá trị lớn 32 32 4R V  R   R khih  27 81 Chú ý: Sau tính V    h3  2h R  ta làm sau: V     h  2h R    h (2 R  h)    , h  h(4 R  2h)   h  h  R  2h   6 3   32 R 81 Đắng thức xảy 4R h  R  2h  h  Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu : Cho hình nón đỉnh S có chiều cao cm bán kính đáy cm Cắt hình nón cho mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy hình nón (N) đỉnh S có đường sinh cm Thể tích khối nón (N) 768 786 2304 2358  cm3  cm3  cm3  cm3 A V  B V  C V  D V  125 125 125 125  Câu : Cho hình nón (N) Có bán kính đáy a diện tích xung quanh S xp  2 a Tính thể tích V khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy khối nón (N) đỉnh S trùng với đỉnh khối nón (N) 5a 2a 3a B V  C V  3a3 D V  3 Câu : Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết AB  BC  10a, A V  AC  12a, góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) 450 Thể tích V khối nón cho A V  3 a3 B V  9 a3 C V  27 a3 D V  12 a3 Câu : Cắt hình nón S mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vuông cân, cạnh huyền a Thể tích khối nón A a B  a3 C  a2 12 D  a3 12 Câu : Cho hình nón có góc đỉnh 600 , diện tích xung quanh 6 a Thể tích V khối nón cho A V  3 a B V   a3 C V  3 a3 D V   a3 Trang 24 Câu : Cho hình nón (N) có góc đỉnh 600 Mặt phẳng qua trục (N) cắt (N) theo thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Tính thể tích khối nón (N) A V  3 B V  3 C V  3 D V  6 Câu : Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón (N) có đỉnh A đường tròn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón (N)  3a 6a  6a  6a A V  B V  C V  D V  27 27 27 Câu : Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác Gọi V1 ,V2 thể tích khối cầu nội tiếp ngoại tiếp nội tiếp hình nón cho Tính V1 V2 A.4 B.2 C.8 D.16 Câu : Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R, phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn R 2 R 2 R 2 R B x  C x  D x  3 3 Câu 10 : Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước 3R 5R 5R 4R A h  B h  C h  D 2 Câu 11 : Cho mặt cầu (S) có bán kính R khơng đổi, hình nón (H) nội tiếp mặt cầu (S) Thể tích khối V nón (H) V1 ; thể tích phần lại khối cầu V2 Giá trị lớn V2 A x  A 81 32 1-A B 2-D 76 32 3-B C 4-D 32 31 ĐÁP ÁN 5-C 6-C D 7-D 8-C 19 9-A 10-D 11-D Dạng Bài tốn thực tế hình nón, khối nón Phương pháp giải Sử dụng tổng hợp kiến thức từ dạng toán 1, để giải tốn thực tế hình nón hay khối nón Ví dụ: Người thợ gia cơng sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? 16000 lit Hướng dẫn giải Đổi 60 cm  6dm A V  B V  16 2 lit C V  16000 2 lit D V  160 2 lit Trang 25 Đường sinh hình nón tạo thành I  6dm Chu vi đường tròn ban đầu C  2 R  12 Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón tạo thành Chu vi đường trịn đáy hình nón tạo thành 2 4 2 r   4 (dm)  r   2(dm) 2 Đường cao khối nón tạo thành h  l  r  62  22  Thể tích phễu 1 16 2 V   r h   22   dm3   3  16 2  lit  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, Có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ cịn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần h với sai số khơng q 0,01dm) A h  1,73dm B h  1,89dm C h  1,91dm D h  1, 41dm Hướng dẫn giải Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ AH  Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai AD  Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai AF  h R AD R AF h R Rh   ,   suy R  , R  Theo Ta-lét ta có R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ V  2 R2 Trang 26 Thể tích phần nước ly thứ hai V1   R n h  Thể tích phần nước lại ly thứ V2  Mà V  V1  V2   R h3  R2  R h3  R2 h3   2 R     h   1,91 4 Chọn C Ví dụ Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba Biết lượng nước lần thoát Tính độ dài đoạn MN A 27(  1)m B 9(  1)m C 9(  1)m D 3(  1)m Hướng dẫn giải Ta gọi V1 ,V2 ,V thể tích khối nón có đường sinh SN, SM, SA Do SEM đồng dạng với SOA nên ta có SM SE EM   SA SO OA 3  EM SE V2  SA   SM       SM  13122 Lại có    V  SM   27   OA2 SA 3 V  SN   SN  Tương tự        SN  6561 V  SA   27  Vậy MN  SM  SN  13122  6561 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Trang 27 Câu : Cho bìa có hình dạng tam giác vng, biết b c độ dài hai cạnh góc vng bìa Trên bìa ta chọn cạnh huyền làm trục quay xung quanh bìa (kể điểm trong) với trục tạo thành khối tròn xoay Thể tích V khối trịn xoay sinh bìa A V  b2c b2  c2 B V   b2c b2  c2 C V  2 b c b2  c2 D V   b2c  b2  c2  Câu : Cho khối gỗ hình trụ có bán kính cm chiều cao 6cm, đáy hai hình trịn tâm O O Đục khối gỗ tạo hai khối nón có đỉnh nằm OO ' đáy trùng với hai đáy khối gỗ cho góc   đỉnh 600 (như hình vẽ) OI  x  x  3 Giá trị nhỏ tổng diện tích xung quanh hai hình nón đục A 12 cm2 B 14 cm2 C 44 cm2 D 72 cm2 Câu : Một tơn hình tam giác SBC có độ dài cạnh K trung điểm BC Người ta dùng Compa vạch cung trịn MN có tâm S, bán kính SK Lấy phần hình quạt gị thành hình nón khơng có mặt đáy với định S, cung MN thành đường trịn đáy hình nón (hình vẽ) Tính thể tích khối nón A  105 64 B 3 32 C 3 32 D  141 64 ĐÁP ÁN 1-B 2-A 3-A Trang 28 ... tiếp mặt cầu (S) Thể tích khối V nón (H) V1 ; thể tích phần cịn lại khối cầu V2 Giá trị lớn V2 A x  A 81 32 1- A B 2-D 76 32 3-B C 4-D 32 31 ĐÁP ÁN 5-C 6-C D 7-D 8-C 19 9-A 10 -D 11 -D Dạng Bài. .. x2  y  10 2  y  10 0  x2 , ta có điều kiện x, y   0 ;10  1 Thể tích khối nón V   r h   ? ?10 0  x  x 3 Xét hàm số f ( x)  ? ?10 0  x  x  10 0 x  x , x   0 ;10  ; f '( x)  10 0  x... khối nón: V  Sht h   r h 3 Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khổi nón ta thường vẽ hình bên SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN Trang II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón,