Bài tập mặt nón, mặt cầu

Khi quaymp P xung quanh trụcDvới gócbkhông thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnhOhình 1... c/ Chứng minh rằng hình chiếuK củaOtrênIMdi động trên một đường tròn cố

Trang 1

Chương

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng( ) P , cho 2 đường thẳng d,Dcắt nhau tạiOvà chúng tạo thành gócb với 00< < b 900 Khi quaymp P ( )xung quanh trụcDvới gócbkhông thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnhO(hình 1)

 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón

 Đường thẳngDgọi là trục, đường thẳngdđược gọi là đường sinh và góc2bgọi là góc ở đỉnh

2/ Hình nón tròn xoay

ChoD OIM vuông tạiI quay quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2)

 Đường thẳngOI gọi là trục, Olà đỉnh, OI gọi là đường cao vàOM gọi là đường sinh của hình nón

 Hình tròn tâmI , bán kínhr = IM là đáy của hình nón

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáyrvà đường sinh là l thì có:

 Diện tích xung quanh: Sxq = p r l

 Diện tích đáy (hình tròn): Sð = p r2

 Thể tích khối nón: 1 . 1 .2

non ð

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhÞ Thiết diện là tam giác cân

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nónÞ giao tuyến là một đường tròn

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nónÞ giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nónÞ giao tuyến là 1 đường parabol

1

Hình

2

Diện tích toàn phần hình nón:

MẶT NÓN

MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU

2

Trang 2

5/ Một số thí du

Bài giải tham khảo GọiSlà đỉnh của hình nón Mặt phẳng( ) P đi qua đỉnhScắt khối nón theo

hai đường sinh bằng nhauSA = SB = l nên ta có thiết diện là tam giác cânSAB

GọiI là trung điểm của đoạnAB Þ OI ^AB Từ tâmO, ta keOH ^ SI tạiH

Ta có: OH ^ mp SAB ( ) Þ OH = d O SAB é ê ë , ( ) ù ú û = 12 ( ) cm

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho

* Ta có: SA = AO2+ SO2 = 202+ 252 = 5 41 ( ) cm

(Pitago trong tam giác vuông SAO)

* Diện tích xung quanh của hình nón:

( )2

xq

non

c/ Tính diện tích của thiết diện SDSAB

SAB

15

12

OSOI

OH

* Trong tam giác vuôngAIO IA : = OA2- OI2 = 252- 152 = 20 ( ) ( ) cm 3

* Thay( ) ( ) 2 , 3 vào( ) 1 Þ SDSAB = 20.25 = 500 ( ) cm2

Bài giải tham khảo

* Khối nón có chiều cao bằngavà bán kính đáy

2

a

r =

* Diện tích xung quanh khối nón:

( )

.

xq

S = p rl = p a a + æö ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ÷ = p Ðvdt

* Thể tích của khối nón:

( )

2

a

V = Bh = p r h = p æö ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ÷ a = p a Ðvtt

2

Thí du 1 Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho

b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó

c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là12 cm ( ) Tính diện tích thiết diện đó

S

A

B

O I

H

h

r

l

Thí du 2 Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh làa Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của

khối nón có đỉnh là tâmOcủa hình vuôngABCDvà đáy là hình tròn nội tiếp hình vuôngA B C D ' ' ' '

A

’

O

B

’

D

a

Trang 3

Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân (D SABvuông cân tại

đỉnhS) có cạnh huyền bằnga 2nênD SABlà nửa hình vuông với

đường chéo hình vuông làAB = a 2

Þ đường sinh hình nón: l = SA = SB = a, đường cao hình nón là

2

a

a/ Tính diện tích xung quanh hình nón

( )

2

xq

Diện tích toàn phần:

( )

2

tp xq ð

a

( )

3 2

a

b/ Tính diện tích thiết diện( SDSBC)

GọiI là trung điểm củaBC và keOH ^ SI tạiH Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón làmp a ( )

Ta có:

( )

a

Trong tam giác vuôngSIO(vuông tại O), ta có: ·

0

2

6 2

sin

3

2

a

SI

Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: 1 1 6 2 3 2 2 ( )

SBC

3

Thí du 3 Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằnga 2

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh làS

b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng

c/ Cho dây cungBC của đường tròn đáy hình nón, sao chomp SBC ( )tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc600 Tính diện tích tam giácSBC

S

A B

O C I

Thí du 4 Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS,Olà tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằnga 2và góc giữa đường

sinh và mặt phẳng đáy bằng600

a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên

b/ GọiI là một điểm trên đường caoSOcủa hình nón sao cho tỉ số 1

3

SI

SO = Tính diện tích của thiết

diện quaI và vuông góc với trục của hình nón

Trang 4

Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = p rl = p AO SA ( ) 1

* DoAOlà hình chiếu củaSAlên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường

sinh SAvà mặt phẳng đáy làSAO = · 600.

* Trong tam giác vuôngSAO:

( )

0

2 2

.cos60

2

AO

a

2.

2

xq

a

Diện tích toàn phần của hình nón:

( )

tp xq ð

S = S + S = p a + p r = p a + p = p Ðvdt

Thể tích của khối nón tròn xoay:

( )

2

3

V = p r h = p AO SO = p æ ç ç ç ö ÷ ÷ ÷ ÷ SA = p a a = p Ðvtt

b/ Tính diện tích của thiết diện

Thiết diện quaI và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính làIBnhư hình vẽ Gọi diện

tích của hình tròn này làStd

18

td

a

Bài giải tham khảo a/ Diện tích xung quanh của hình nón

Trong tam giác vuôngD SOA:

2

xq

Thể tích khối nón:

3

R

b/ CMR: N di động trên một đường thẳng cố định

* GọiWlà mặt xung quanh của mặt nón đã cho và

( )

mp a là mặt phẳng đi qua các điểmS A I , ,

4

B

r

l

S

A

O

I

60

0

B h

Thí du 5 Cho hình nón đỉnhSvới đáy là đường tròn tâmO, bán kínhR, chiều cao của hình nón bằng2R GọiI

là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao choIO = 2 R Giả sửAlà điểm nằm trên đường tròn( O R , )

sao choOA ^ OI

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành

b/ GọiM là một điểm di động trênSA IM , cắt mặt nón tại điểm thứ hai làN Chứng minh rằngN di

động trên một đường thẳng cố định

c/ Chứng minh rằng hình chiếuK củaOtrênIMdi động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâm

H củaD SAI

I

M

K

O

N S

B A

H

Trang 5

* Ta có: ( ) ( ) ( )

N

ìï Î W

ïïî

VậyN di động trên đoạnSBlà giao tuyến thứ hai củamp a ( )vàW (B là giao điểm thứ hai củaIAvà đường tròn đáy)

c/ CMR: Hình chiếuK củaOtrênIMdi động trên một đường tròn cố định đi qua trực tâmH của D SAI

Dễ thấy trực tâmH củaD SAI chính là hình chiếu vuông góc củaOtrênmp SAI ( )

Vậy,K di động trên đường tròn, đường kínhIH trongmp a ( ) Hiển nhiên, đường tròn này đi quaH và nó là đường tròn cố định

Bài giải tham khảo Giả sửABlà một đường kính của đường tròn đáy hình nón,Olà tâm đáy Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cânSAM có:

SA = SM = h + R (không đổi)

2

ASM

Do đó, SDASMlớn nhất khi và chỉ khisinalớn nhất

Vậy:

 NếuASB < · 900, nghĩa làh > Rthìsinalớn nhất khi

· sin a = sinASB, lúc đó: max SDSAM = hR .

 NếuASB ³ · 900, nghĩa làh £ R thìsinalớn nhất bằng 1, lúc

2

SAM

6/ Bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho khối nón tròn xoay có đường caoh = avà bán kính đáy là 5

4

a

r = Một mặt phẳng( ) P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâmOcủa đáy bằng3

5

a .

a/ Hãy xác định thiết diện củamp P ( )đối với khối nón Tính diện tích khối thiết diện đó

b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón

c/ Tính thể tích của khối nón tạo nên hình nón đó

Bài 2 Trong không gian choD OIM vuông tạiI cóIOM = · 300và cạnhIM = a Khi quay tam giác OIM

quanh cạnh góc vuôngOI thì đường gấp khúcOMI tạo thành một hình nón tròn xoay

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

b/ Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên

Bài 3 Một hình nón tròn xoay có chiều caoh = 30 cmvà bán kính đáy bằng20cm

a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao Tính diện tích của thiết diện

b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

5

Thí du 6 Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáyRvà chiều caoh Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh của

hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó

M

S

với

Trang 6

Bài 4 Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằnga.

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

c/ Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc600 Tính diện tích của thiết diện được tạo nên

Bài 5 Hình nón có bán kính đáy bằng2a, thiết diện qua trục là một tam giác đều

a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón

b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

Bài 6 Một hình nón có bán kính đáy bằng2cm, góc ở đỉnh bằng600

Bài 7 Một hình nón có đỉnhS, bán kính đáyr = 10 cm

a/ Tính diện tích thiết diện domp P ( )cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau

b/ GọiGlà trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng( ) a quaG, đồng thời vuông góc với trục của hình nón Tính diện tích của thiết diện do mặt phẳng( ) a cắt hình nón

Bài 8 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, thiết diện này có diện tích bằng12a2

c/ Mặt phẳng( ) P đi qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo một dây cung có độ dài bằng2 3 a Tính góc tạo bởi mặt phẳng( ) P và mặt phẳng đáy

Bài 9 Mặt nón tròn xoay có đỉnh làS,Olà tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằnga 2và góc giữa đường sinh

và mặt phẳng đáy bằng600

a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên

b/ GọiI là một điểm trên đường caoSOcủa hình nón sao cho tỉ số SI 2

SO = Tính diện tích của thiết

diện quaI và vuông góc với trục của hình nón

Bài 10 Cho hình chóp tam giác đềuS ABC có cạnh bên bằnga, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng300

Hình nón đỉnhScó đường tròn đáy nội tiếp tam giác đềuABC (được gọi là hình nón nội tiếp hình chóp) a/ Tính thể tích của hình chópS ABC

b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên

Bài 11 Cho hình chóp đềuS ABCD có chiều caoSO = h SAB , · = a , 45 ( 0< < a 900) Hãy tính diện tích xung

quanh của hình nón có đỉnh làSvà có đường tròn đáy ngoại tiếp đáyABCDcủa hình chóp

Bài 12 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng2a

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo nên

b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng là

2

a Tính diện tích của

thiết diện tạo thành đó

Bài 13 Đường sinh của hình nón bằng13a, chiều cao là12a Một đường thẳngdsong song với đáy của hình nón

và cắt hình nón Khoảng cách từ đường thẳngdấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a

và2a Tính độ dài đoạn thẳngdnằm trong phần hình nón

Bài 14 Cho hình nón đỉnhSvà đáy là hình tròn tâmO Mặt phẳng( ) a đi qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung

AB, sao choAOB = · 600vàmp a ( )hợp với mặt phẳng chứa đáy một góc300

a/ Tính góc ·ASB

b/ Cho diện tích của tam giácSABbằngb Tính diện tích xung quanh của hình nón

Bài 15 Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nội tiếp hình nón làV

Bài 16 Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia) Sao cho hai đỉnh cách

nhau một đoạn là a Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2avà của hình nón nhỏ là 2b

.Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn

6

Trang 7

A

D

B

C

l

r

Bài 17 Cho hình nón có đường caoSO = hvà bán kính đáy R GọiM là điểm trên đoạnOS, đặt OM = x

( 0 x < < h )

a/ Tính diện tích thiết diện( )G vuông góc với trục tạiM

b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhOvà đáy( )G theoR h x , , Xác địnhxsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất

Bài 18 Cho hình nón tròn xoay đỉnhS Trong đáy của hình nón đó có hình vuôngABCD nội tiếp, cạnh bằng a

Biết rằng: ASB · = 2 , 0 a ( 0< < a 450) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón

1/ Mặt tru tròn xoay

Trongmp P ( )cho hai đường thẳngDvàlsong song nhau, cách nhau một

khoảngr Khi quaymp P ( )quanh trục cố địnhDthì đường thẳnglsinh ra

một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ

 Đường thẳng Dđược gọi là trục

 Đường thẳnglđược gọi là đường sinh

 Khoảng cáchrđược gọi là bán kính của mặt trụ

2/ Hình tru tròn xoay

Khi quay hình chữ nhậtABCDxung quanh đường thẳng chứa một cạnh,

chẳng hạn cạnhABthì đường gấp khúcABCDtạo thành một hình, hình

đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ

 Đường thẳngABđược gọi là trục

 Đoạn thẳngCDđược gọi là đường sinh

 Độ dài đoạn thẳngAB = CD = hđược gọi là chiều cao của hình trụ

 Hình tròn tâmA, bán kínhr = ADvà hình tròn tâmB , bán kínhr = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ

 Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ

3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình tru

Cho hình trụ có chiều cao làhvà bán kính đáy bằngr, khi đó:

 Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 p rh

 Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq+ 2 SÐay = 2 p rh + 2 p r2

 Thể tích khối trụ: V = B h = p r h2

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi mộtmp a ( )vuông góc với trụcDthì ta được đường tròn

có tâm trênDvà có bán kính bằngrvớircũng chính là bán kính của mặt trụ đó

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính làr) bởi mộtmp a ( )không vuông góc với trụcDnhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng2rvà trục lớn bằng 2

sin

r

j , trong đó

j là góc giữa trụcDvàmp a ( ) với00< < j 900

 Chomp a ( )song song với trụcDcủa mặt trụ tròn xoay và cáchDmột khoảngk

+ Nếuk < r thìmp a ( )cắt mặt trụ theo hai đường sinhÞ thiết diện là hình chữ nhật

+ Nếuk = rthìmp a ( )tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh

+ Nếuk > r thìmp a ( )không cắt mặt trụ

7

MẶT TRỤ

h

Trang 8

B

’

A

O

C

A’

C

’

B

D

’

5/ Một số thí du

Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích của thiết diện

Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kínhOA OB , sao cho

AOB = GọiA O B ', ', 'lần lượt là hình chiếu vuông góc của

, ,

A O Btrên mặt đáy còn lại Ta có: OAvàO B ' 'tạo với nhau một góc

0

30 Thiết diện là hình chữ nhậtABB A ' 'có:

( )

-( )

Mặt khác, ta có: AA ' = BB ' = OO ' = 20 ( ) cm

( )2

ABB A

b/ Diện tích xung quanh của hình trụ

( )2

xq

Diện tích toàn phần hình trụ:

( )

tp xq Ðay

S =S + S = p rh+ p r = p+ p = p cm

Thể tích khối trụ: V = B h = p r h2 = p 10 20 20002 = p ( ) cm3

Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ

Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên l = = h 2 r

Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: Sxq = 2 p rl = 4 p r2

b/ Tính thể tích của hình lăng trụ

GọiABCD A B C D ' ' ' 'là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ

Ta có, hình vuôngABCDnội tiếp trong đường tròn đáy

Do đó, AB = r 2 và thể tích khối lăng trụ là:

( )2 3( )

ABCD

c/ Tìm tỉ số:

2

V = Bh = p r r = p.

8

Thí du 7 Một khối trụ có chiều cao bằng20 cm ( )và có bán kính đáy bằng10 cm ( ) Người ta ke hai bán kính đáy

OAvàO B ' 'lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng300 Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳngAB 'và song song với trục của khối trụ đó

a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên

b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

O ' B

B '

A '

0

30

Thí du 8 Một khối trụ có bán kính đáy bằngrvà có thiết diện qua trục là một hình vuông

a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó

b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho

c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ vàV 'là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số

'

V

V .

Thí du 9 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCDcạnhacó hai đỉnh liên tiếpA B , nằm trên đường tròn

đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc450 Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ

Trang 9

* GọiM N , theo thứ tự là trung điểm củaABvàCD Khi đó:

OM ^ ABvàO N ' ^ DC Giả sửI là giao điểm củaMN vàOO '

* ĐặtR = OA h , = OO '

2

* Ta có: R2= OA2+ AM2+ MO2

2

= ç ç ÷ ç è ø ÷ + ç ç çè ÷ ÷ ÷ ø = + = .

2

.

2 2

xq

p

ìïï

ïï

Þ í

ïï

ïî

* Kí hiệuRlà bán kính đáy,hlà độ dài đường cao của khối trụ

* Ta có: S = 2 p R2+ 2 p Rh Ta cần tìmRvàhđểV = p R h2 có giá trị lớn nhất

* Theo trên, ta có: S = 2 p R2+ 2 p Rh Û

2

3.

Côsi

3

2 27

4

V

p

æ ö ÷

ç ÷

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2

R

p

6

S

p

* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có

6

S R

p

6

S h

p

9

D

45

0

A

O

C

N O

’

B M

I

Thí du 10 Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằngS, khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?

Thí du 11 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn( O R , )và( O R ', ) Biết rằng tồn tại dây cungABcủa

đường tròn( ) O sao choD O AB ' đều vàmp O AB ( ' )hợp với mặt phẳng chứa đường tròn( ) O một góc

0

60 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Trang 10

* Ta có: OO ' ^ ( OAB ) GọiH là trung điểm củaABthìOH ^ AB O H , ' ^ AB Þ OHO · ' = 600.

* Giả sử OH = x Khi đó: 0 x < < RvàOO ' = x tan600= x 3

* XétD OAH, ta có: AH2= R2- x2

* Vì D O AB ' đều nên: O A ' = AB = 2 AH = 2 R2- x2 ( ) 1

* Mặt khác, D AOO 'vuông tạiOnên:

( )

7

R

7

R

* Vậy, nếu kí hiệuSlà diện tích xung quanh vàV là thể tích của hình trụ

thì, ta có:

2

3 2

2

7

R

p p

ìïï

ïï íï

ïïî

6/ Bài tập rèn luyện

Bài 19 Trong không gian cho hình vuôngABCDcạnha GọiI H , lần lượt là trung điểm của các cạnhAB và

CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trụcIH , ta được một hình trụ tròn xoay

a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó

b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên

Bài 20 Một khối trụ có bán kính đáy bằngRvà có thiết diện qua trục là một hình vuông

a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ

b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)

Bài 21 Một hình trụ có bán kính đáy là 20 cm ( ), chiều cao là 30 cm ( )

a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng

c/ Cho hai điểmAvàBlần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳngABvà trục của hình trụ bằng 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳngAB và trục của hình trụ

Bài 22 Một khối trụ có bán kính đáy bằng10 cm ( )và chiều cao bằng10 3 cm ( ) GọiA B , lần lượt là hai điểm

trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngABvà trục của khối trụ bằng 300 a/ Tính diện tích của thiết diện quaAB và song song với trục của khối trụ

b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy quaAvà quaB

c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củaAB và trục của khối trụ

Bài 23 Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmOvàO ', có bán kínhrvà có đường caoh = r 2 GọiAlà

một điểm trên đường tròn tâmOvàB là một điểm trên đường tròn tâmO 'sao choOAvuông góc vớiO B ' a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diệnOABO 'là những tam giác vuông Tính thể tích tứ diện này b/ Gọimp a ( )đi quaABvà song song vớiOO ' Tính khoảng cách giữa trụcOO 'vàmp a ( )

c/ Chứng minh rằngmp a ( )tiếp xúc với mặt trụ trụcOO 'có bán kính bằng 2

2

r dọc theo 1 đường sinh.

Bài 24 Một hình trụ có bán kính đáy bằng30 cm ( )và có chiều caoh = 30 ( ) cm

a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên

10

A O

O

’

B H

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	2,2 MB