Bài tập mặt nón, mặt cầu

Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Chương MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU MẶT NÓN 1/ Mặt nón tròn xoay Hình Hình ( ) Trong mặt phẳng P , cho đường thẳng d , D cắt tạiO và chúng tạo thành góc b với 00 < b < 900 ( ) Khi quay mp P xung quanh trục D với góc b khơng thay đởi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnhO (hình 1)  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón  Đường thẳng D gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2b gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho D OIM vng tại I quay quanh cạnh góc vngOI thì đường gấp khúcOIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2)  Đường thẳngOI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao vàOM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón 3/ Cơng thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: Sxq = p.r l  Diện tích đáy (hình tròn): Sð = p.r  Thể tích khới nón: Vnon = Diện tích toàn phần hình nón: 1 Sð h = p.r 2.h 3 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường sinh Þ Thiết diện là tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo mợt đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón  Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng khơng qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vng góc với trục hình nón Þ giao tún là mợt đường tròn + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón Þ giao tún là nhánh của hypebol + Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón Þ giao tún là đường parabol Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ 5/ Một số thí du Thí du Mợt hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho b/ Tính thể tích khới nón tạo nên bởi hình nón ( ) c/ Mợt thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm Tính diện tích thiết diện Bài giải tham khảo ( ) Gọi S là đỉnh của hình nón Mặt phẳng P qua đỉnh S cắt khới nón theo S hai đường sinh bằng SA = SB = l nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB Gọi I là trung điểm của đoạn AB Þ OI ^ AB Từ tâmO , ta keOH ^ SI tại H ( ) ( ) ( ) O, SAB ù Ta có: OH ^ mp SAB Þ OH = d é ê ú= 12 cm ë û a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho h ( ) * Ta có: SA = AO + SO = 202 + 252 = 41 cm (Pitago tam giác vuông SAO) * Diện tích xung quanh của hình nón: ( l ) Sxq = p.r l = p.OA.SA = p.25.5 41 = 125p 41 cm2 H B 1 12500p b/ Thể tích của khới nón: Vnon = p.r 2.h = p.252.20 = cm3 3 c/ Tính diện tích của thiết diện SD SAB ( O I ) r A 1 AB SI = 2IA.SI = IA.SI ( 1) 2 1 * Xét tam giác vng SOI , ta có: = 2+ Þ OI = 15( cm) OH OI OS OSOI 20.15 * Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì: OI OS = SI OH Þ SI = = = 25( cm) OH 12 * Diện tích thiết diện: SD SAB = ( 2) ( ) ( 3) * Trong tam giác vuông AIO : IA = OA2 - OI = 252 - 152 = 20 cm ( )( ) ( () ) * Thay , vào Þ SD SAB = 20.25 = 500 cm Thí du Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh là a Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khới nón có đỉnh là tâmO của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A 'B 'C 'D ' Bài giải tham khảo a D a * Khới nón có chiều cao bằng a và bán kính đáy r = C O a * Diện tích xung quanh khới nón: ỉư a ÷ pa2 ÷ Sxq = prl = p.a a + ỗ = ỗ ( évdt) ữ ỗ ữ ố2ứ A B * Thờ tích của khới nón: 1 ỉư ÷ V = Bh = pr 2h = p ç a = pa3 ( Ðvtt ) ç ÷ ç ÷ 3 è2ø 12 a A ’ D ’ C’ B ’ Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Thí du Thiết diện qua trục của hình nón là mợt tam giác vng cân có cạnh cạnh hùn bằng a a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử có đỉnh là S b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng ( ) c/ Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, cho mp SBC tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón mợt góc 600 Tính diện tích tam giác SBC Bài giải tham khảo S Do thiết diện qua trục là tam giác vuông cân ( D SAB vuông cân tại đỉnh S ) có cạnh huyền bằng a nên D SAB là nửa hình vuông với đường chéo hình vng là AB = a Þ đường sinh hình nón: l = SA = SB = a , đường cao hình nón là h = SO = AB a và bán kính đáy: a = r = h = SO = 2 a/ Tính diện tích xung quanh hình nón B a pa2 Sxq = prl = p .a = ( Ðvdt) 2 O I Diện tích toàn phần: C ( ) pa2 pa2 a2p pa + Thể tích khới nón tương ứng: Stp = Sxq + Sð = + pr = + = 2 2 1 a3p V = B h = pr 2h = ( Ðvtt ) 3 12 b/ Tính diện tích thiết diện ( SD SBC ) ( ) Gọi I là trung điểm của BC và keOH ^ SI tại H Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón là mp a mp( SBC ) Ç mp( a ) = BC ( ) mp( SBC ) Ta có: BC ^ OI Ì mp a BC ^ SI Ì é· ù · Þ êmp( SBC ) ;mp( a ) ú= SIO = 600 ê ú ë û SO SO · Þ SI = = Trong tam giác vuông SI O (vuông tại O), ta có: sin SIO = SI sin600 a 2 =a 3 Trong tam giác vuông SIB (vuông tại I), ta có: BC = 2IB = SB - SI = a2 - 2a2 2a = 3 1 a 2a a2 Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: S = SI BC = = Ðvdt D SBC 2 3 ( ) Thí du Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khới nón được tạo nên b/ Gọi I là một điểm đường cao SO của hình nón cho tỉ sớ diện qua I và vng góc với trục của hình nón SI = Tính diện tích của thiết SO A Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Bài giải tham khảo () a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = prl = p.AO.SA S * Do AO là hình chiếu của SA lên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường · sinh SA và mặt phẳng đáy là SAO = 600 * Trong tam giác vng SAO : ìï SA = a ï ïìï SA = a AO ïíï cos600 = Þ ïí Û ïï AO = SA.cos600 ïï AO = a SA ïỵ ïïỵ I B B ( 2) l h * Thay vào Þ S = p.a a = pa2 Ðvdt xq ( ) () ( ) Diện tích toàn phần của hình nón: pa2 3pa2 Stp = Sxq + Sð = pa + pr = pa + = ( Ðvdt) 2 2 A O 60 r Thể tích của khới nón tròn xoay: ö 1 æ pa3 ça 2÷ ÷ V = pr 2h = pAO 2.SO = p.ỗ SA sin60 = p a a = ữ ( évtt) ỗ ữ 3 ỗ 12 ữ ỗ ố ø b/ Tính diện tích của thiết diện Thiết diện qua I và vng góc với trục của hình nón là mợt hình tròn có bán kính là IB hình vẽ Gọi diện tích của hình tròn này là Std pa2 Do D SIB : D SOA Þ SI = IB Û IB = SI OA = a = a Þ Std = p.IB = SO OA SO 18 ( Ðvdt) Thí du Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâmO , bán kính R , chiều cao của hình nón bằng 2R Gọi I ( là một điểm nằm mặt phẳng đáy cho IO = 2R Giả sử A là điểm nằm đường tròn O, R ) choOA ^ OI a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khới nón tạo thành b/ Gọi M là một điểm di động SA, IM cắt mặt nón tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng N di động một đường thẳng cố định c/ Chứng minh rằng hình chiếu K củaO IM di động một đường tròn cố định qua trực tâm H của D SAI Bài giải tham khảo a/ Diện tích xung quanh của hình nón Trong tam giác vng D SOA : S SA = SO + OA = R + 4R = R Þ Sxq = prl = pR.R = pR Thể tích khối nón: 1 2pR pOA 2.SO = pR 22R = 3 b/ CMR: N di động một đường thẳng cố định * Gọi Wlà mặt xung quanh của mặt nón đã cho và mp( a ) là mặt phẳng qua các điểm S, A, I V = M K N O H I B A Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cu Vn Th ỡù N ẻ W ù ị N ẻ mp( a ) ầ W * Ta cú: í ïï N Ỵ mp( a ) ( doN Ỵ IM ) ïỵ Vậy N di đợng đoạn SB là giao tuyến thứ hai của mp( a ) và W ( B là giao điểm thứ hai của IA và đường tròn đáy) c/ CMR: Hình chiếu K củaO IM di động một đường tròn cố định qua trực tâm H của D SAI ( ) Dễ thấy trực tâm H của D SAI chính là hình chiếu vng góc củaO mp SAI ìï OH ^ ( SAI ) Þ OH ^ IM ï Do í ïï OK ^ IM ïỵ · I = 900 Þ IM ^ (OHK ) Þ HK ^ IM Þ HK ( ) Vậy, K di đợng đường tròn, đường kính IH mp a Hiển nhiên, đường tròn này qua H và là đường tròn cố định Thí du Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy R và chiều cao h Trong tất cả các mặt phẳng qua đỉnh của hình nón, hãy xác định mặt phẳng cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất Bài giải tham khảo Giả sử AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón,O là tâm đáy Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân SAM có: S SA = SM = h2 + R (không đổi) · SA.SM sin ASM 1 · vớia = ASM = SA 2.sin a = h2 + R sin a 2 Do đó, SD ASM lớn nhất và chỉ sina lớn nhất Ta có: SD ASM = ( ( ) ) Vậy: ·  Nếu ASB < 900 , nghĩa là h > R thì sina lớn nhất · , lúc đó: max SD SAM = hR sin a = sinASB ·  Nếu ASB ³ 900 , nghĩa là h £ R thì sina lớn nhất bằng 1, lúc đó: max SD SAM = A h + R2 ( B O ) M 6/ Bài tập rèn lụn Bài Cho khới nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính đáy là r = 5a của khới nón và có khoảng cách đến tâmO của đáy bằng 3a ( ) ( ) Một mặt phẳng P qua đỉnh a/ Hãy xác định thiết diện của mp P đối với khới nón Tính diện tích khới thiết diện b/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khới nón c/ Tính thể tích của khới nón tạo nên hình nón · Bài Trong khơng gian cho D OIM vng tại I có IOM = 300 và cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vngOI thì đường gấp khúcOMI tạo thành mợt hình nón tròn xoay a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón b/ Tính thể tích khới nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón Bài Mợt hình nón tròn xoay có chiều cao h = 30cm và bán kính đáy bằng 20cm a/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng chứa đường cao Tính diện tích của thiết diện b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh, ta được một thiết diện là một tam giác đều Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Bài Thiết diện qua trục của hình nón là mợt tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b/ Tính thể tích của khới nón tương ứng c/ Một mặt phẳng qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy mợt góc 600 Tính diện tích của thiết diện được tạo nên Bài Hình nón có bán kính đáy bằng 2a , thiết diện qua trục là một tam giác đều a/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón b/ Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh, ta được thiết diện là một tam giác vuông Tính diện tích của thiết diện này và khoảng cách từ tâm của mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện Bài Mợt hình nón có bán kính đáy bằng 2cm , góc ở đỉnh bằng 600 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b/ Tính thể tích của khới nón tương ứng Bài Mợt hình nón có đỉnh S , bán kính đáy r = 10cm ( ) a/ Tính diện tích thiết diện mp P cắt hình nón theo hai đường sinh vng góc ( ) b/ GọiG là trọng tâm của thiết diện và mặt phẳng a quaG , đờng thời vng góc với trục của hình nón ( ) Tính diện tích của thiết diện mặt phẳng a cắt hình nón Bài Cho hình nón có thiết diện qua trục là mợt tam giác vng cân, thiết diện này có diện tích bằng 12a2 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b/ Tính thể tích của khới nón tương ứng ( ) c/ Mặt phẳng P qua đỉnh của hình nón, cắt mặt phẳng đáy theo mợt dây cung có đợ dài bằng 2a ( ) Tính góc tạo bởi mặt phẳng P và mặt phẳng đáy Bài Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S ,O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khới nón được tạo nên b/ Gọi I là một điểm đường cao SO của hình nón cho tỉ sớ SI = Tính diện tích của thiết SO diện qua I và vng góc với trục của hình nón Bài 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nợi tiếp tam giác đều ABC (được gọi là hình nón nợi tiếp hình chóp) a/ Tính thể tích của hình chóp S.ABC b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khới nón tạo nên · ( ) Bài 11 Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao SO = h, SAB = a, 450 < a < 900 Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là S và có đường tròn đáy ngoại tiếp đáy ABCD của hình chóp Bài 12 Cho hình nón có thiết diện qua trục là mợt tam giác đều cạnh bằng 2a a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khới nón tạo nên b/ Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón mợt khoảng là a Tính diện tích của thiết diện tạo thành Bài 13 Đường sinh của hình nón bằng 13a , chiều cao là 12a Một đường thẳng d song song với đáy của hình nón và cắt hình nón Khoảng cách từ đường thẳng d ấy đến mặt phẳng đáy và chiều cao hình nón lần lượt là 6a và 2a Tính độ dài đoạn thẳng d nằm phần hình nón Bài 14 Cho hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn tâmO Mặt phẳng (a ) qua đỉnh, cắt đáy theo một dây cung · AB , cho AOB = 600 và mp(a) hợp với mặt phẳng chứa đáy mợt góc 30 · a/ Tính góc ASB b/ Cho diện tích của tam giác SAB bằng b Tính diện tích xung quanh của hình nón Bài 15 Tính thể tích hình nón biết thể tích hình chóp tam giác đều nợi tiếp hình nón làV Bài 16 Trên một hình tròn làm đáy chung ta dựng hai hình nón (hình này chứa hình kia) Sao cho hai đỉnh cách một đoạn là a Góc ở đỉnh của thiết diện qua trục của hình nón lớn là 2a và của hình nón nhỏ là 2b Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở hình nón lớn Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Bài 17 Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R Gọi M là điểm đoạnOS , đặt OM = x ( < x < h) a/ Tính diện tích thiết diện (G) vng góc với trục tại M b/ Tính thể tích của khới nón đỉnhO và đáy (G) theo R, h, x Xác định x cho thể tích đạt giá trị lớn nhất Bài 18 Cho hình nón tròn xoay đỉnh S Trong đáy của hình nón có hình vng ABCD nợi tiếp, cạnh bằng a · ( ) Biết rằng: ASB = 2a, 00 < a < 450 Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khới nón MẶT TRỤ 1/ Mặt tru tròn xoay ∆ ( ) Trong mp P cho hai đường thẳng D và l song song nhau, cách một ( ) khoảng r Khi quay mp P quanh trục cố định D thì đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ  Đường thẳng D được gọi là trục  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ A r l D h 2/ Hình tru tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành mợt hình, hình B được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ r  Đường thẳng AB được gọi là trục C  Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình tru Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2prh  Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2.SÐay = 2prh + 2pr  Thể tích khối trụ: V = B h = pr 2h 4/ Tính chất: ( )  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi mợt mp a vng góc với trục D thì ta được đường tròn có tâm D và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ ( )  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi mợt mp a khơng vng góc với trục D cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tún là mợt đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng j là góc giữa trục D và mp( a ) với 00 < j < 900 ( )  Cho mp a song song với trục D của mặt trụ tròn xoay và cách D một khoảng k ( ) Nếu k = r thì mp( a ) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh Nếu k > r thì mp( a ) không cắt mặt trụ + Nếu k < r thì mp a cắt mặt trụ theo hai đường sinh Þ thiết diện là hình chữ nhật + + 2r , sin j Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ 5/ Một số thí du ( ) ( ) Thí du Mợt khới trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm Người ta ke hai bán kính đáy OA vàO 'B ' lần lượt nằm hai đáy, cho chúng hợp với mợt góc bằng 300 Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB ' và song song với trục của khới trụ a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích của thiết diện Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kínhOA,OB cho A · AOB = 300 Gọi A ',O ', B ' lần lượt là hình chiếu vng góc của A,O, B mặt đáy còn lại Ta có: OA vàO 'B ' tạo với mợt góc 300 Thiết diện là hình chữ nhật ABB 'A ' có: ( 30 O B ) AB = OA + OB - 2.OAOB cos300 = 100 - 3 ( cm) Þ AB = 10 - ( ) Mặt khác, ta có: AA ' = BB ' = OO ' = 20 cm Þ SABB 'A ' = AB.BB ' = 10 - ( b/ Diện tích xung quanh của hình trụ ( Sxq = 2prh = 2p.OAOO ' = 2p.10.20 = 400p cm2 ) Diện tích toàn phần hình trụ: ) cm2 3.20 = 200 - ( 2 ) Stp = Sxq + 2.SÐay = 2prh + 2pr = 400p + 2p10 = 600p cm 2 ( O ' A ' B ' ) Thể tích khối trụ: V = B h = pr h = p.10 20 = 2000p cm Thí du Mợt khới trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là mợt hình vng a/ Tính diện tích xung quanh của khới trụ b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho c/ GọiV là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ vàV ' là thể tích khối trụ Hãy tính tỉ số V V' Bài giải tham khảo a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên l = h = 2r B A O Do đó, diện tích xung quanh của khới trụ là: Sxq = 2prl = 4pr C b/ Tính thể tích của hình lăng trụ D Gọi ABCD.A 'B 'C 'D ' là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ Ta có, hình vng ABCD nợi tiếp đường tròn đáy Do đó, AB = r và thể tích khối lăng trụ là: ( ) V = SABCD AA ' = r 2r = 4r ( Ðvtt ) c/ Tìm tỉ số: A’ B ’ V 4r 4r = = = V ' Bh p pr 2r C D ’ Thí du Cho một hình trụ tròn xoay và hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp ’A, B nằm đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm8trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khới trụ Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Bài giải tham khảo * Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB vàCD Khi đó: OM ^ AB vàO 'N ^ DC Giả sử I là giao điểm của MN vàOO ' * Đặt R = OA, h = OO ' * Trong D IOM vuông cân tại I nên: OM = OI = D N O ’ IM h a = Û h= a 2 2 * Ta có: R = OA + AM + MO 2 ỉư ổ a ữ a2 a2 3a2 ỗ ỗ ữ ç =ç ÷ + = + = ÷ ÷ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 4 8 ữ ố2ứ ỗ ố ứ ùỡù 3a2 a 2a3 ïïV = pR 2h = p = ï 16 Þ í ïï a a pa2 = ïï Sxq = 2pRh = 2p ùợ 2 ị C I A 45 M O B Thí du 10 Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng S , khới trụ nào có thể tích lớn nhất ? Bài giải tham khảo * Kí hiệu R là bán kính đáy, h là độ dài đường cao của khối trụ * Ta có: S = 2pR + 2pRh Ta cần tìm R và h đểV = pR 2h có giá trị lớn nhất * Theo trên, ta có: S = 2pR + 2pRh Û ỉS V2 ữ ữ ị 27 Ê ỗ V Ê ç ÷ ç ÷ 4p è2p ø S3 54p Dấu “=” xảy và chỉ R = Khi S = 6pR nên R = S V V V Côsi V = R2 + = R2 + + ³ 2p pR 2pR 2pR 4p2 V pR 2h Rh hay h = 2R = = 2pR 2pR S 6p * Vậy khới trụ có thể tích lớn nhất là khới trụ có R = S và S h = 6p 6p ( ) ( ) Thí du 11 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn O, R và O ', R Biết rằng tồn tại dây cung AB của ( ) ( ) ( ) đường tròn O cho D O 'AB đều và mp O 'AB hợp với mặt phẳng chứa đường tròn O mợt góc 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Bài giải tham khảo Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ ( ) · * Ta có: OO ' ^ OAB Gọi H là trung điểm của AB thìOH ^ AB, O 'H ^ AB Þ OHO ' = 600 * Giả sử OH = x Khi đó: < x < R vàOO ' = x tan600 = x * Xét D OAH , ta có: AH = R - x2 2 * Vì D O 'AB đều nên: O 'A = AB = 2AH = R - x O ’ ( 1) * Mặt khác, D AOO ' vuông tạiO nên: AO '2 = OO '2+ R = 3x2 + R ( 2) ()( ) ( ) * Từ , Þ R - x2 = 3x2 + R Þ x2 = Þ h = OO ' = x = 3R 3R B * Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh vàV là thể tích của hình trụ O ìï ïï S = 2pRh = 6pR ï thì, ta có: ïí ïï 3pR ïïV = pR 2h = ïỵ H A 6/ Bài tập rèn luyện Bài 19 Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I , H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH , ta được một hình trụ tròn xoay a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói Bài 20 Mợt khới trụ có bán kính đáy bằng R và có thiết diện qua trục là một hình vuông a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vng nợi tiếp đường tròn đáy của hình trụ) ( ) ( ) Bài 21 Mợt hình trụ có bán kính đáy là 20 cm , chiều cao là 30 cm a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng c/ Cho hai điểm A và B lần lượt nằm hai đường tròn đáy, cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ ( ) ( ) Bài 22 Mợt khới trụ có bán kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng 10 cm Gọi A, B lần lượt là hai điểm hai đường tròn đáy, cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300 a/ Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khới trụ b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khới trụ Bài 23 Mợt hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmO vàO ' , có bán kính r và có đường cao h = r Gọi A là một điểm đường tròn tâmO và B là một điểm đường tròn tâmO ' choOA vuông góc vớiO 'B a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO ' là những tam giác vuông Tính thể tích tứ diện này ( ) ( ) b/ Gọi mp a qua AB và song song vớiOO ' Tính khoảng cách giữa trụcOO ' và mp a c/ Chứng minh rằng mp a tiếp xúc với mặt trụ trụcOO ' có bán kính bằng r dọc theo đường sinh ( ) ( ) ( ) Bài 24 Mợt hình trụ có bán kính đáy bằng 30 cm và có chiều cao h = 30 cm a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên 10 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ ( ) b/ Một đoạn thẳng có chiều dài 60 cm và có hai đầu mút nằm hai đường tròn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ Bài 25 Hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = SB = SC = a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng b a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp b/ Các mặt bên SAB, SBC , SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến thế nào? Bài 26 Mợt hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4p a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên ( ) b/ Một mp a song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện ABA1B1 Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 1200 Tính diện tích của thiết diện này Bài 27 Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF A 'B 'C 'D 'E 'F ' có cạnh đáy bằng a , chiều cao h a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a , đáy lớnCD = 4a , cạnh bên bằng 5a và chiều cao hình lăng trụ là h a/ Chứng minh rằng có mợt hình trụ nội tiếp được hình lăng trụ đã cho b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khới trụ Bài 29 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O vàO ' , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâmO lấy điểm A , đường tròn đáy tâmO ' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể khối tứ diện OO 'AB Bài 30 Bên hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ của hình trụ, đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ của hình trụ Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ mợt góc 450 Tính diện tích và thể tích của hình trụ MẶT CẦU – MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỚI ĐA DIỆN I Mặt cầu 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M không gian cách điểmO cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâmO , bán kính R , ( ) kí hiệu là: S O; R hay {M / OM = R} 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu ( ) Cho mặt cầu S O; R và một điểm A bất kì, đó: ( )  NếuOA = R Û A Ỵ S O; R Khi đóOA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và uuu r uuu r OB là hai bán kính choOA = - OB thì đoạn thẳng AB gọi là đường của mặt cầu  NếuOA < R Û A nằm mặt cầu  NếuOA > R Û A nằm ngoài mặt cầu B kính O A A Þ Khới cầu S (O; R ) là tập hợp tất cả các điểm M choOM £ R A 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ( ) chiếu củaO mp( P ) Þ ( ) ( ) Cho mặt cầu S O; R và một mp P Gọi d là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến mp P và H là hình d = OH 11 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ ( ) ( ) ( )  Nếu d < R Û mp P cắt mặt cầu S O; R theo giao tuyến là đường tròn nằm mp P có tâm là H và bán kính r = HM = R - d2 = R - OH (hình a) ( ) ( ) Nếu d = R Û mp( P ) có mợt điểm chung nhất Lúc này, ta gọi mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp( P ) Do đó, điều kiện cần và đủ để mp( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) là d ( O, mp( P ) ) = R (hình c)  Nếu d > R Û mp P không cắt mặt cầu S O; R (hình b)  d Hình a d= Hình b Hình c 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ( ) Cho mặt cầu S O; R và một đường thẳng D Gọi H là hình chiếu củaO đường thẳng D và d = OH là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến đường thẳng D Khi đó: ( )  Nếu d > R Û D không cắt mặt cầu S O; R ( )  Nếu d < R Û D cắt mặt cầu S O; R tại hai điểm phân biệt  Nếu d = R Û D và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để ( ) đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu là d = d O, D = R ( ) Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O; R thì: ( )  Qua A có vơ sớ tiếp tún với mặt cầu S O; R  Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng ( )  Tập hợpc các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S O; R II Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm bản  Truc của đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Þ Bất kì một điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác  Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng Þ Bất kì mợt điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng  Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vng góc với đoạn thẳng Þ Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 12 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của mợt cạnh bên hình chóp  Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp 3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện bản a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương  Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Þ Tâm là I , là trung điểm của AC '  Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Þ Bán kính: R = AC ' A D C A ’ I I B ’ C ’ A1 D ’ b/ Hình lăng tru đứng có đáy nội tiếp đường tròn ' ' ' A B C ’A n O A2 ' n Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 An A A A A , có đáy A3 A1A2A3 An và A1'A2' A3' An' nội tiếp đường tròn ( O ) và ( O ') Lúc đó, I mặt cầu nợi tiếp hình lăng trụ đứng có:  Tâm: I với I là trung điểm củaOO ' A’  Bán kính: R = IA1 = IA2 = = IAn' A’ A’ c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc vng · ·  Hình chóp S.ABC có SAC = SBC = 900 + Tâm: I là trung điểm của SC SC + Bán kính: R = = IA = IB = IC  Hình chóp S.ABCD có · · · SAC = SBC = SDC = 900 S I I A SC + Bán kính: R = = IA = IB = IC = ID A C D C B B d/ Hình chóp đều S Cho hình chóp đều S.ABC  Gọi O là tâm của đáy Þ SO là trục của đáy  Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, ∆ ) chẳng hạn mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA M là D cắt SA tại M và cắt SO tại I Þ I là tâm của mặt cầu  Bán kính: Ta có: D SMI : D SOA Þ A’ S + Tâm: I là trung điểm của SC ( n O ’ SM SI = Þ Bán kính là: SO SA SM SA SA2 R = IS = = = IA = IB = IC = SO 2SO e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy 13 I A D O B C Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ ( ) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ^ đáy ABC và đáy ABC nội tiếp được đường tròn tâmO Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định sau: ( )  Từ tâmO ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp ABC tạiO ( )  Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực D của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I Þ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = S d  Tìm bán kính: M Ta có: MIOB là hình chữ nhật Xét D MAI vng tại M có: ∆ I ỉ SA ÷ R = AI = MI + MA = AO + ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ 2 O A C f/ Hình chóp khác  Dựng trục D của đáy B ( )  Dựng mặt phẳng trung trực a của một cạnh bên bất kì ( ) a ầ D = I ị I la tõm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, chính là đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán O O Hình vuông: O là giao điểm đường chéo O Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo ∆ đều: O là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm) O O ∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền ∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆ 4/ Diện tích và thể tích mặt cầu 14 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ  Diện tích mặt cầu: SC = 4pR  Thể tích mặt cầu: VC = pR 15 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU ( ) Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ^ ABCD Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy mợt góc 300 Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 32 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 33 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ( ) Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạiC , SA ^ ABC Biết rằng: AB = a 3, BC = a, SB tạo với mp( ABC ) mợt góc 600 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 35 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích và thể tích của khới cầu ( ) Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ^ ABCD , SA = a, AC = a Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ( ) Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều và SA ^ ABCD a/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b/ Gọi H , K , L là chân đường cao vẽ từ A tỏng các tam giác: D SAB, D SAC , D SAD Chứng minh rằng các điểm A, B,C , D, H , K , L nằm một mặt cầu · Bài 38 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BAC = 1200, SA ^ ABC ,SA = 2a Định tâm và bán ( ) kính mặt cầu qua các điểm S, A, B,C Tìm diện tích và thể tích khới cầu ( ) ( ) Bài 39 Cho hình chóp S.ABC có mp SBC ^ mp ABC và SC = b, SA = SB = AB = AC = a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho Tìm diện tích và thể tích của Bài 40 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và O là tâm của mặt phẳng đáy Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 600 Gọi M là trung điểm của cạnhCD và H là hình chiếu củaO SM ( ) a/ Tính khoảng cách từ A đến mp SCD Tính thể tích hình chóp S.ABCD b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tìm diện tích và thể tích mặt cầu Bài 41 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và D SAB là tam giác đều Mặt phẳng ( SAB ) ^ ( ABCD ) a/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD ( ) ( ) b/ Tìm góc giữa hai mp SAB , mp SCD c/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho Tìm diện tích và thể tích khới cầu · Bài 42 Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = a và BC ' hợp với mặt ( ) phẳng ACC 'A ' mợt góc b a/ Tính thể tích lăng trụ đã cho b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Bài 43 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A 'B 'C ' có cạnh đáy bằng a , bán kính đường tròn ngoại tiếp một mặt bên là a a/ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho b/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích và thể tích khối cầu ( ) ( ) Bài 44 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên đều bằng 15 cm Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tìm diện tích và thể tích mặt cầu Bài 45 Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đơi mợt vng góc với tạo thành một tứ diện SABC , SA = a, SB = b, SC = c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 16 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ Bài 46 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A ' B 'C ' có cạnh đều bằng Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp và thể tích khối cầu được tạo bởi ( ) mặt cầu ngoại tiếp Biết cạnh có đợ dài là 10 cm ( ) Bài 47 Cho tứ diện SABC có SA ^ mp ABC , SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm, bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các trường hợp sau: · a/ BAC = 900 · b/ BAC = 600,b = c · c/ BAC = 1200,b = c Bài 48 Cho hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Một mặt cầu qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB, SC tại trung điểm của cạnh a/ Chứng minh mặt cầu qua trung điểm của AB, AC b/ Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D Tính độ dài đoạn thẳng AC , SD Bài 49 Hình tứ diện ABCD có cạnh bằng a có đường cao AH GọiO là trung điểm AH Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD Bài 50 Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vng tại A, B có AB = BC = a, AD = 2a Gọi E là trung điểm của AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE Tìm diện tích và thể tích mặt cầu Bài 51 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh là a a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vng ABCD và A 'B 'C ' D ' b/ Tính diện tích mặt cầu qua tất cả các đỉnh của hình lập phương c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC ' làm trục và đường sinh AB Bài 52 Cho tam giác vng cân ABC có cạnh hùn AB = 2a Trên đường thẳng d qua A và vng góc với ( ) mặt phẳng ABC lấy một điểm S khác A ta được tứ diện SABC a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC ( ) ( ) b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trường hợp mp SBC tạo với mp ABC mợt góc 300 Bài 53 Cho hình lăng trụ có bán kính đáy bằng R Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông a/ Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ ( ) b/ Một mp P song song với trục của hình trụ, cắt đáy hình trụ theo mợt dây cung có độ dài bằng bán kính ( ) đáy hình trụ Tính diện tích các thiết diện của hình trụ và hình cầu ngoại tiếp hình trụ cắt bởi mp P ( ) ( ) Bài 54 Cho hình chóp S.ABC có D ABC đều cạnh a và mp SBC ^ mp ABC , SC = SB = a ( ) ( ) ( ) a/ Tính góc giữa mp SAB , mp SAC và khoảng cách từ B đến mp SAC b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đã cho c/ Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính diện tích và thể tích khối cầu này ( )( Bài 55 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Hai mặt bên SAD , SAB cùng vng góc với mp(ABCD ), SA = a GọiO là tâm của hình chữ nhật a/ Tính thể tích hình chópO.SCD b/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích và thể tích khới cầu Bài 56 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông, đáy lớn AD = 2a , đường cao AB = a, BC = a , SA ^ ( ABCD ) , SA = a a/ b/ c/ d/ Tính thể diện tích toàn phần và thể tích hình chóp Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDM với M là trung điểm AD Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD 17 ) ... tích và thể tích mặt cầu 14 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ  Diện tích mặt cầu: SC = 4pR  Thể tích mặt cầu: VC = pR 15 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ TÌM TÂM VÀ BÁN... d là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến mp P và H là hình d = OH 11 Mặt nón – Mặt Trụ - Mặt Cầu Đỗ Văn Thọ ( ) ( ) ( )  Nếu d < R Û mp P cắt mặt cầu S O; R theo giao tuyến là đường... kính mặt cầu Nếu OA và uuu r uuu r OB là hai bán kính choOA = - OB thì đoạn thẳng AB gọi là đường của mặt cầu  NếuOA < R Û A nằm mặt cầu  NếuOA > R Û A nằm ngoài mặt cầu B