BÀI 1 mặt nón

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NĨN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng ( P ) Cho hai đường thẳng Δ l cắt O tạo thành góc β với 0° < β < 90° Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh Δ đường thẳng l sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón  Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón  Góc 2β gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón ( N) khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho ∆OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Chú ý: Nếu cắt mặt nón ( N ) hai mặt phẳng song song ( P) ( Q ) với ( P)  Hình trịn tâm I, bán kính r = IM đáy hình qua O vng góc với ∆ phần mặt nón nón ( N ) giới hạn hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) hình trịn giao tuyến ( Q ) mặt nón ( N ) hình nón Trang 167 KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay - Nếu mp ( P ) chứa OI thiết diện mp ( P ) khối nón ta thường vẽ hình bên khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp ( P ) vng góc với OI (khơng chứa O) thiết diện mp ( P ) khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp ( P ) qua I CƠNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh l có: - Diện tích xung quanh: S xq = πr l - Diện tích đáy (hình trịn): S ht = πr - Diện tích tồn phần: Stp = πr l + πr 1 - Thể tích khối nón: V = S ht h = πr h 3 Trang 168 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NĨN MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng ( P ) Cho hai đường thẳng Δ l cắt O tạo thành góc β Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh Δ đường thẳng l sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho ∆OMI vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón CÁC CƠNG THỨC Diện tích xung quanh Diện tích đáy Diện tích tồn phần Thể tích Trang 169 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững công thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục tam giác vng cân Biết sử dụng kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vng góc, A S = 2π B S = 4π hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S = 2π D S = 2π vào tính tốn Hướng dẫn giải Tam giác OAB vng cân diện tích ⇒ OA2 = 2 ⇒ OA = OB = AB = 22 + 22 = 2 ⇒h=R= AB = 2 Suy S xq = π 2.2 = 2π Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6πa B 24πa C 3πa D 12πa Lưu ý: Diện tích tam giác Hướng dẫn giải cạnh x là: S = Chọn C Ta có h = 2a = a 3, l = 2a, r = a x2 độ dài chiều cao là: x Diện tích tồn phần hình nón h= Stp = πr l + πr = π.a.2a + π.a = 3πa Ở toán x = 2a Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9π Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Trang 170 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r , l , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho πr = 9π r = Theo giả thiết ta có  nên  l = l = 2r Lại có h = l − r h = 36 − = 3 Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng ( α ) qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc ( α ) đáy hình nón 60° A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O tâm đường trịn đáy, H trung điểm MN Ta có MN giao tuyến đường tròn đáy Lưu ý: Tam giác SMN tam giác cân S SM = SN = mặt phẳng ( α ) , lại có OH ⊥ MN , SH ⊥ MN · Do góc ( α ) đáy hình nón SHO = 60° Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng ⇒ SO = Xét ∆SOH vuông O có sin 60° = SO SO ⇒ SH = = SH sin 60°  6 Khi MN = SN − SH = −   ÷ ÷ =   2 Vậy diện tích tam giác SMN S ∆SMN = 1 SH MN = = 2 3 Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) Trang 171 a · · SAO = 30° , SAB = 60° Độ dài đường sinh hình nón theo a A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm AB, dựng OH ⊥ SI Ta có OH = a Lưu ý: · Do SAB = 60° nên tam giác SAB  Ta có: OH ⊥ SI (1) Suy SA = SB = AB  AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI )   AB ⊥ SI Mặt khác · SAO = 30° ⇒ SO = SA.sin 30° = SA OA = SA.cos 30° = ⇒ AB ⊥ OH (2) Từ (1) (2) suy ra: SA OH ⊥ ( SAB ) , Xét tam giác SOI ta có 1 1 1 = + = + = + 2 2 2 OH OS OI OS OA − AI    SA     ÷SA  ÷ −  SA ÷ 2   2  ⇔ d ( O; ( SAB ) ) = OH  Có thể đặt SA = x a = ⇔ SA = OH = 6=a 2 OH SA Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh a Mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt hình ( ) nón theo thiết diện tam giác có chu vi + a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( P ) A d = a B d = a C d = a D d = a Hướng dẫn giải Chọn D Do: Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có ( ) ⇔ OH = SA + SB + AB = + a ( 1 = + 2 OH OE OS ) OS OE OS + OE ⇔ a + a + AB = + a Trang 172 ⇔ AB = 2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB ⊥ SE , mặt khác AB ⊥ SO nên AB ⊥ ( SOE ) Kẻ OH ⊥ SE H, ( H ∈ SE ) Ta thấy OH ⊥ AB OH ⊂ ( SOE ) ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Vậy khoảng cách từ S đến ( P ) OH (hay d ( O; ( P ) ) = OH ) EB = AB = a, OB = R = 2a, OE = OB − EB = 4a − a = a SO = SB − OB = 5a − 4a = a , OH = OS OE OS + OE Vậy d = 2 = a.a a + 3a 2 = a a Bài tập 6: Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song ( P) ( Q ) hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M ∈ ( P ) , N ∈ ( Q ) , MN = a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc β Biết góc đường cao đường sinh hình nón 45° Độ dài đoạn EF a B EF = − tan 2β A EF = 2a C EF = − a tan 2β D EF = −2a tan 2β Hướng dẫn giải S ∆SFI + S∆SEI = S ∆SFE (*) Chọn B Xét tam giác NIO có OI = NI cos β = Lưu ý: a a cos β, NO = NI sin β = sin β 2 Xét tam giác SEF vng S có · · · SEF = ESM + SME = 45° + 90° − β = 135° − β S ∆SFI = SF SI sin 45° S ∆SEI = SE.SI sin 45° S ∆SFE = SF SE.sin 90° Thay vào (*) ta SI = SE.SF SE + SF Trang 173 + tan β · SF = SE.tan SEF = SE.tan ( 135° − β ) = SE tan β − · Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE nên SI = SE tan ( 135° − β ) SE.SF a ⇔ cos β = SE + SF + tan ( 135° − β )  + tan β  a 1 + cos β tan β −  a sin β  ⇔ SE = = + tan β ( + tan β ) 2 tan β − Do EF = SE SE a sin β a = = = − tan 2β · cos SEF cos ( 135° − β ) ( + tan β ) ( − cos β + sin β ) Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq = πa B S xq = πa 10 C S xq = πa D S xq = πa Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác ABC, SO ⊥ ( ABC ) Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA Gọi H trung điểm BC · = 60° (·( SBC ) ; ( ABC ) ) = SHO Tam giác ABC O tâm tam giác nên OH = 1 a a ; AH = = 3 OA = a AH = 3 Tam giác SOH vuông O có · SHO = 60° nên SO = OH tan 60° = a a 3= Trang 174 Tam giác SOA vuông O nên SA = SO + OA2 = a 3a a 21 + = Diện tích xung quanh hình nón S xq = πr l = π.OA.SA = π a a 21 πa = 6 Dạng 2: Tính thể tích khối nón, tốn cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60° , diện tích xung quanh 6πa Thể tích V khối nón cho A V = 3πa C V = 3πa B V = πa D V = πa Hướng dẫn giải Nhìn vào cơng thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 Vn = S ht h = πr h 3 ta thấy cần xác định chiều cao diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với tốn cực trị ta thường tính tốn đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc 2 Thể tích V = πR h = π.OA SO 3 vào biến sau dùng đánh giá (sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có ·ASB = 60° ⇒ ·ASO = 30° để tìm kết ⇒ tan 30° = OA = ⇒ SO = OA SO Lại có S xq = πRl = π.OA.SA = πOA OA2 + SO = 6πa ⇒ OA OA2 + 3OA2 = 6a ⇒ 2OA2 = 6a ⇒ OA = a ⇒ SO = 3a ⇒ V = π.3a 3a = 3πa Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ·ABC = 45°, ·ACB = 30°, AB = Trang 175 Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối trịn xoay tích V A V = C V = ( π 1+ ) B V = ( π 1+ ) D V = ( π 1+ ) 24 ( π 1+ ) Hướng dẫn giải Lưu ý: V tổng Chọn B thể tích hai khối AB AC BC = = Ta có sin 30° sin 45° sin105° nón: Khối nón có chiều  AC =  ⇒ 5π + =  BC = sin  12 cao BH đường sinh AB Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A AC khối nón có chiều cao CH đường sinh Ta có AH BC = AB AC.sin105° ⇒ AH = Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm ( ) 1 π 1+ V = πAH BH + πAH CH = πAH BC = 3 24 Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón ( N ) có đỉnh A đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón ( N ) A V = π 3a 27 B V = 6a 27 C V = π 6a D V = π 6a 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác BCD Ta có AO = h, OC = r a a ⇒r= = 3 Suy a 3 2a h = a − r = a −  = ÷ ÷   2 Trang 176 a a π 6a = Vậy thể tích khối nón V = πr h = π 3 27 Bài tập 3: Cho hình nón ( N ) có góc đỉnh 60° Mặt phẳng qua trục ( N ) cắt ( N ) theo thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Thể tích khối nón ( N ) A V = 3π C V = 3π B V = 3π D V = 6π Hướng dẫn giải Chọn C Tam giác SAB có SA = SB ·ASB = 60° Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB trọng tâm tam giác Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB r= SO = ⇔ SO = Mà SO = SA.sin 60° ⇒ SA = SO = =2 sin 60° Vậy bán kính đường trịn khối nón R = Vậy thể tích khối nón V = π ( 3) AB = = 2 = 3π Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , ABC tam giác vuông B Biết BC = a, AB = a 3, AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối trịn xoay Thể tích phần chung hai khối trịn xoay bằng: A 3πa 16 B 3πa C 3πa 16 D 3πa 16 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 177 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy đường trịn bán kính AE = cm Gọi I = AC ∩ BE , IH ⊥ AB , H Phần chung khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH Ta có ∆IBC đồng dạng với ∆IEA ⇒ Mặt khác IH // BC ⇒ IC BC = = ⇒ IA = 3IC IA AE AH IH AI 3 3a = = = ⇒ IH = BC = AB BC AC 4 Gọi V1 ; V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình tròn tâm H 1 V1 = πIH AH ; V2 = πIH BH 3 ⇒ V = V1 + V2 ⇒ V = π π 9a 3a 3 IH AB ⇒ V = a ⇒ V = π 3 16 16 Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Hai hình nón có chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích mặt đáy Vì tam giác ABC nên bán kính đường trịn ngoại tiếp Trang 178 đường cao tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp 3 đường cao tam giác Suy r V S = ⇒ = = R V2 S Bài tập 6: Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60° hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000π ( cm ) Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bao nhiêu? A 3 B C 27 D 64 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bán kính hình nón lớn nón nhỏ x, y ( x > y ) Suy chiều cao hình nón lớn nón nhỏ x 3, y  x + y = 30  Theo giả thiết, ta có  2  πx x + πy y = 1000π 3  x + y = 10 20 10 ⇔ ⇔x= , y= 3 3  x + y = 1000 3  y Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính  ÷ = x Bài tập 7: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh l Hình nón tích lớn Trang 179 A πl 3 B 2πl 3 C πl 3 27 D 2πl 3 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h ( < h < l ) chiều cao hình nón, suy bán kính r = l − h Suy thể tích khối nón 1 V = πr h = π ( l h − h3 ) = πf ( h ) 3 3 Xét hàm f ( h ) = l h − h ( 0;l ) l  h = f ′ ( h ) = l − 3h = ⇔  l   h = − ( khong thoa man )  Lập bảng biến thiên ta  l  2l Ta thấy max f ( h ) = f  ÷=  3 3 Vậy Vmax = l 2πl 3 Dấu “=” xảy ⇔ h = 27 Bài tập 8: Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r , l bán kính đáy đường sinh hình nón) A l = 3r B l = 2r C l = r D l = 2r Hướng dẫn giải Chọn A Ta có S = πr l + πr → l = Lưu ý: điều kiện S − πr πr biến khảo sát hàm Thể tích Trang 180 ( S − πr ) 2 1 V = πr h = πr l − r = πr 3 πr 2 − r2 = S ( Sr − 2πr ) Lập bảng biến thiên cho hàm f ( r ) = Sr − 2πr ( 0; +∞ ) , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn r = S → l = 3r 4π Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy a có diện tích a Gọi A, B hai điểm đường trịn ( O ) Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Tam giác cân SCD, có S ∆SCD = CD.SO ⇔ a = a.SO → SO = 2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO = 2a khơng đổi nên để thể tích lớn diện tích tam giác OAB lớn 1 Mà S ∆OAB = OA.OB.sin ·AOB = r sin ·AOB (với r bán kính đường 2 trịn mặt đáy hình nón) Do để S ∆OAB lớn sin ·AOB = Khi Vmax = a3 12 Bài tập 10: Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón ( N2 ) có đỉnh tâm đáy ( N1 ) có đáy thiết diện song song với đáy ( N ) hình vẽ Trang 181 Khối nón ( N ) tích lớn chiều cao x h A B h C 2h D h Hướng dẫn giải Chọn B Xét mặt cắt qua trục hình nón kí hiệu hình vẽ Với O, I tâm đáy hình nón ( N1 ) , ( N ) ; R, r bán kính hai đường trịn đáy ( N1 ) , ( N ) Ta có R ( h − x) SI r h−x r = ⇔ = →r= SO R h R h Thể tích khối nón ( N ) 1 R ( h − x) πR 2 = πr x = π x = x ( h − x ) 2 3 h 3h V( N ) Xét hàm f ( x ) = x ( h − x ) = x − 2hx + h x ( 0; h ) Ta có x = h f ′ ( x ) = x − 4hx + h ; f ′ ( x ) = ⇔  x = h  2 Lập bảng biến thiên ta có Vậy f ( x ) đạt giá trị lớn khoảng ( 0; h ) x = h Bài tập 11: Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón tích lớn Trang 182 A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón có chiều cao x cm bán kính đáy y cm (x, y dương) Ta có x + y = 102 ⇒ y = 100 − x , ta có điều kiện x, y ∈ ( 0;10 ) Thể tích khối nón 1 V = πr h = π ( 100 − x ) x 3 Xét hàm số f ( x ) = ( 100 − x ) x = 100 x − x , x ∈ ( 0;10 ) ; f ′ ( x ) = 100 − 3x ; f ′ ( x ) = ⇔ x = 10 Bảng biến thiên 10 Ta thấy V lớn f ( x ) lớn x = cm 2 Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y = ( m + 1) x − 2mx + m + có điểm cực trị A, B, C mà x A < xB < xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? A ( 4;6 ) B ( 2; ) C ( −2;0 ) D ( 0; ) Hướng dẫn giải Chọn B Trang 183 y ′ = ( m + 1) x − 4mx = x ( m + 1) x − m  x = y ′ = ⇔ x ( m + 1) x − m  = ⇔  m x = ± m > 0) (  m +1 2 Với m > đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A < xB < xC )   m m2 A  − ; − + m + 1÷ 2 ÷; B ( 0; m + 1) ; m + m +     m m2 C  ; − + m + ÷ 2 ÷  m +1 m +1  Quay ∆ABC quanh AC khối trịn xoay tích 2  m2  m V = πr h = πBI IC = π  ÷ = π 3  m +1  m +1 Xét hàm f ( m ) = Ta có f ′ ( m ) = (m m9 + 1) m8 ( − m ) ( m2 + 1) (m m9 + 1) ; f ′ ( m ) = ⇔ m = 3( m > 0) Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m = Bài tập 13: Cho tam giác ABC vng A, có AB = cm, AC = cm Gọi M điểm di động cạnh BC cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành Trang 184 A π B 4π C 8π D 4π Hướng dẫn giải Chọn C Đặt AH = x ( cm ) , < x < Khi BH = − x ( cm ) Xét tam giác BHM vuông H · = Ta có tan HBM HM BH · · ⇒ HM = BH tan HBM = ( − x ) tan HBM AC · = tan ·ABC = = = Mà tan HBM AB Do HM = ( − x ) Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH V = π π AH π.HM = x ( − x ) = ( x3 − 12 x + 36 x ) (1) 3 12 Xét hàm số f ( x ) = x − 12 x + 36 x với < x < , ta có x = f ′ ( x ) = x − 24 x + 36; f ′ ( x ) = ⇔ 3x − 24 x + 36 = ⇔  x = Bảng biến thiên hàm số f ( x ) = x − 12 x + 36 x với < x < Từ (1) bảng biến thiên ta tích lớn khối nón tạo thành V= π 8π 32 = 12 Bài tập 14: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ tích Gọi ( N) hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời Trang 185 điểm A′, B′, C ′, D′ nằm đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón ( N ) có giá trị nhỏ A 2π B 3π C 9π 9π 16 D Hướng dẫn giải Chọn C Xét phần mặt cắt qua trục hình nón qua mặt phẳng ( AA′C ′C ) , kí hiệu hình vẽ Với I, H tâm hình vng ABCD, A′B′C ′D′ đỉnh A′ nằm đường sinh EF hình nón Hình lập phương tích nên AA′ = HI = 1, A′H = Đặt EH = x ( x > ) Khi đó, ta có EH A′H x 2  x +1  = ⇔ = → FI =  ÷= r EI FI x + FI  x  Thể tích khối nón ( N ) 1  x +1  π ( x + 1) = πr EI = π  ÷ ( x + 1) =  x  x2 V( N ) Xét hàm số f ( x ) ( x + 1) = x2 3 x − ) ( x + 1) ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( x ) = ( x3 Lập bảng biến thiên Ta f ( x ) = ( 0;+∞ ) 27 9π x = Suy V( N ) = Trang 186 Bài tập 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R = a , góc đỉnh 120° Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác Diện tích lớn tam giác A 3a B 2a C a D 3a Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử ∆SAM thiết diện tạo mặt phẳng hình nón ( ) Gọi AM = x < x ≤ 2a Gọi H trung điểm AM ⇒ OH ⊥ AM ⇒ AM ⊥ ( SOH ) ⇒ AM ⊥ SH AO   SA = sin 60° = 2a Vì ·ASB = 120° ⇒ ·ASO = 60° ⇒  AO  SO = =a  tan 60° OH = OA2 − AH = 3a − S ∆SAM = x2 x2 ⇒ SH = OH + SO = 4a − 4 1 x2 AM SH = x 4a − 2 Ta có   1 x2 x2 S′ = 4a − − 2 x2 4a −     2  = 16a − x ⇒ S ′ = ⇒ x = 2a  x2  4a −  Trang 187 ⇒ S max = 2a Bài tập 16: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Hình nón ( N ) thay đổi có đỉnh đường trịn đáy thuộc mặt cầu ( S ) Thể tích lớn khối Chú ý: Sau tính nón ( N ) 32πR 81 A B 32πR 27 32 R 81 C D Hướng dẫn giải V = π ( − h3 + 2h R ) Ta tích khối nón đỉnh S lớn thể tích khối nón đỉnh S ′ Do = πh ( R − h ) cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy r đường cao = SI = h với h ≥ R Thể tích khối nón tạo nên ( N) π h.h ( R − 2h ) π  h + h + R − 2h  ≤  ÷ 6  1 V = hS( C ) = h.π.r 3 32πR = 81 = h.π  R − ( h − R )    Đẳng thức xảy = π ( − h3 + 2h R ) h = R − 2h ⇔ h = Xét hàm số f ( h ) = −h + 2h R với h ∈ [ R; R ) V = π ( − h3 + 2h R ) ta làm sau: Chọn A 32 R 27 4R Ta có f ′ ( h ) = −3h + 4hR f ′ ( h ) = ⇔ −3h + 4hR = ⇔ h = (loại) h = 4R Bảng biến thiên Trang 188 Ta có max f ( h ) = 32 4R R h = 27 Vậy thể tích khối nón tạo nên ( N ) có giá trị lớn 32 32 4R V = π R = πR h = 27 81 Dạng Bài tốn thực tế hình nón, khối nón Bài tập 1: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? A V = 16000 lít B V = 16 2π lít C V = 16000 2π 160 2π lít D V = lít 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đổi 60 cm = dm Đường sinh hình nón tạo thành l = dm Chu vi đường tròn ban đầu C = 2πR = 12π Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón tạo thành Chu vi đường trịn đáy hình nón tạo thành 2πr = 2π.6 4π = 4π (dm) ⇒ r = = (dm) 2π Đường cao khối nón tạo thành h = l − r = 62 − 22 = 1 16 2π 16 2π Thể tích phễu V = πr h = π22.4 = (lít) dm3 ) = ( 3 3 Bài tập 2: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao 2dm (mơ tả hình vẽ) Trang 189 Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ cịn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) A h ≈ 1, 73 dm B h ≈ 1,89 dm C h ≈ 1,91 dm D h ≈ 1, 41 dm Hướng dẫn giải Chọn C Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ AH = Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai AD = Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai AF = h Theo Ta-lét ta có R′ AD R′′ AF h R Rh = = , = = suy R′ = , R′′ = R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ V = 2πR Thể tích phần nước ly thứ hai V1 = πR′′2 h = πR h3 Thể tích phần nước lại ly thứ V2 = πR Mà V = V1 + V2 ⇔ πR h3 πR h3 + = 2πR ⇔ + = ⇔ h = = 1,91 4 4 Bài tập 2: Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai Trang 190 mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần Tính độ dài đoạn MN A 27 ( ( 9( 3( ) − m B 9 3 C 3 D ) − 1) m − 1) m − m Hướng dẫn giải Chọn C Ta gọi V1 , V2 , V thể tích khối nón có đường sinh SN, SM, SA Do ∆SEM đồng dạng với ∆SOA nên ta có SM SE EM = = SA SO OA 3 π.EM SE V2  SA   SM  = ⇔ = ⇔ = Lại có  ÷  ÷ ⇔ SM = 13122 V  SM   27  π.OA2 SA 3 V  SN   SN  Tương tự =  ÷ ⇔ = ÷ ⇔ SN = 6561 V  SA   27  Vậy MN = SM − SN = 13122 − 6561 Trang 191 ... khoảng ( 0; h ) x = h Bài tập 11 : Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10 cm Chiều cao hình nón tích lớn Trang 18 2 A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón có chiều cao x cm... + y = 10 2 ⇒ y = 10 0 − x , ta có điều kiện x, y ∈ ( 0 ;10 ) Thể tích khối nón 1 V = πr h = π ( 10 0 − x ) x 3 Xét hàm số f ( x ) = ( 10 0 − x ) x = 10 0 x − x , x ∈ ( 0 ;10 ) ; f ′ ( x ) = 10 0 −... kính đường 2 trịn mặt đáy hình nón) Do để S ∆OAB lớn sin ·AOB = Khi Vmax = a3 12 Bài tập 10 : Cho hình nón ( N1 ) có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón ( N2 ) có đỉnh tâm đáy ( N1 ) có đáy thiết