CD35 GOC GIUA đt VA MAT PHANG

Chuyên đề Ⓐ ㉟ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Phương pháp: d ∩ ( P) = I  Bước 1: Tìm d  Bước 2: Trên lấy điểm A khác I Tìm ( P) hình chiếu H A lên (Thông d A A thường ta chọn điểm ∆ ⊥ ( P) thuộc đường thẳng , hình ( P) A ∆ chiếu giao điểm ) d· ; ( P ) = (·AI ; HI ) = ·AIH   ( ) Bước 3: suy ·AIH Bước 4: Tính (nếu đề u cầu tính góc) Ⓑ Câu 1: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho hình chóp tứ giác S ABCD Tang góc đường thẳng A 2 B BM có tất cạnh mặt phẳng 3 C ( ABCD ) a Gọi M trung điểm D SD Lời giải Chọn D Gọi SO = a − SO ⊥ ( ABCD ) O a2 a = 2 tâm hình vng Ta có OD MH / / SO M H M Gọi trung điểm ta có nên hình chiếu lên mặt phẳng ( ABCD ) MH = a SO = Do góc đường thẳng Khi ta có BM mặt phẳng a MH · tan MBH = = = BH 3a Vậy tang góc đường thẳng Câu 2: Cho hình chóp SB = 2a A 60o S ABCD BM ( ABCD ) B 90o SB · MBH ( ABCD ) mặt phẳng có đáy hình vng cạnh Góc đường thẳng a SA , vng góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng đáy C 30o Lời giải Chọn A D 45o S A D B Ta có C ( ABCD ) SB AB hình chiếu SB SB AB Góc đường thẳng mặt phẳng đáy góc AB cos ·ABS = = SAB SB ⇒ ·ABS = 60o A Tam giác vng , Câu 3: Cho hình chóp SA = a A 45° S ABCD có đáy hình vng cạnh Góc đường thẳng B 60° SC a SA , vng góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng đáy C 30° D 90° Lời giải Chọn A Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) · tan SCA = SA = AC Khi đó: Câu 4: Cho hình chóp S ABC với mặt phẳng đáy nên góc đường thẳng SA AB + BC 2 = mặt phẳng đáy a · = ⇒ SCA = 450 a có đáy tam giác vng SA = a SC Góc đường thẳng C SB , · SCA AC = a , BC = 2a SA , vng góc mặt phẳng đáy A 60° B 90° C 30° D 45° Lời giải Chọn C SA ⊥ ( ABC ) AB Có nên hình chiếu · , ( ABC ) = SB · , AB = SBA · ⇒ SB ) ( ( ) Mặt khác có SA mặt phẳng ∆ABC vuông ( ABC ) C nên AB = AC + BC = a · tan SBA = Khi Câu 5: SA = AB nên · , ( ABC ) = 30° ) ( SB S ABC SA AB = a SB = 2a Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng đáy, Góc SB đường thẳng mặt phẳng đáy A 600 B 450 C 300 D 900 Lời giải Chọn A Ta có SA ⊥ ( ABC ) A nên AB hình chiếu SB lên mặt phẳng đáy Suy góc đường thẳng Tam giác Câu 6: SAB mặt phẳng đáy AB · · cos SBA = = ⇒ SBA = 600 SB vuông A nên Cho hình chóp S ABC SA có · SBA SB ( ABC ) vng góc với mặt phẳng , SA = 2a , tam giác ABC ( ABC ) BC = a SC B AB = a vng , Góc đường thẳng mặt phẳng A 90o B 45o C 30o D 60o Lời giải Chọn B Ta thấy hình chiếu vng góc Mà AC = AB + BC = 2a Vậy góc đường thẳng Câu 7: Cho hình chóp vng S ABC có nên SC ( ABC ) SC lên SA · tan SCA = =1 AC mặt phẳng SA AC nên · , ( ABC ) = SCA ) · ( SC ( ABC ) 45o ( ABC ) vng góc với mặt phẳng BC = 3a B AB = a , , SA = 2a , tam giác ABC Góc đường thẳng A 90° ( ABC ) SC mặt phẳng B 30° 60° C D 45° Lời giải Chọn D Vì SA ( ABC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Vậy Câu 8: · SCA = 45° Cho hình chóp Góc đường thẳng A mặt phẳng SC S ABC vuông cân B 450 SC · SCA SA 2a · tan SCA = = =1 AC a + 3a Mà , suy góc đường thẳng có AB = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) SA = 2a Tam giác mặt phẳng B 600 ( ABC ) C 300 Lời giải Chọn A D 900 ABC Ta có AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng ( ABC ) SC ( ABC ) · SCA =ϕ Suy góc đường thẳng mặt phẳng AC = a 2, SA = a SAC A ⇒ ϕ = 45 Ta có nên tam giác vng cân Câu 9: Cho hình chóp vng cân B S ABC AB = a Góc đường thẳng A 60o có SA SC B vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác mặt phẳng 45o ( ABC ) C 30o Lời giải Chọn B D 90o ABC Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên đường thẳng AC hình chiếu vng góc đường thẳng SC ( ABC ) lên mặt phẳng · , ( ABC ) = SC · , AC = SCA · α = SC ) ( ( Do đó, ) AC = AB = 2a B vuông cân nên SA · tan SCA = =1 α = 45o AC Suy nên Tam giác ABC Câu 10: Cho hình chóp A SA = 2a 450 S.ABCD Góc 3a SA , vng góc với mặt phẳng đáy có đáy hình vng cạnh SC B mặt phẳng 600 (ABCD) C 300 D 900 Lời giải Chọn C Ta có SA ⊥ (ABCD) · tan SCA = SA = AC Câu 11: Cho hình chóp vng cân B nên ta có 2a 3a S ABC có = SA AC = 2a · ,(ABCD )) = SCA · (SC · ⇒ SCA = 300 vng góc với mặt phẳng Góc đường thẳng SB ( ABC ) , SA = a mặt phẳng , tam giác ( ABC ) ABC A 30° B 45° C 60° D 90° Lời giải Chọn B Vì SA vng góc với Do tam giác Tam giác ABC ABC Câu 12: Cho hình chóp ( ABC ) A 45° SC B vuông cân A vuông S ABC nên nên ABC SA = 15a mặt phẳng AB = CB = a · tan SBA = có đáy góc với mặt phẳng đáy Góc nên góc SB ( ABC ) góc · SBA SA a = · · AB a ⇔ tan SBA = ⇔ SBA = 45° tam giác vuông tai B , AB = a BC = 2a SA , ; vuông mặt phẳng đáy B 30° C 60° D 90° Lời giải Chọn C SA ⊥ ( ABC ) · SCA =ϕ nên AC hình chiếu SC lên ( ABC ) , góc SC mặt phẳng đáy Tam giác ABC vuông B nên SAC A Tam giác vng có ϕ = 60° Vậy AC = AB + BC = 5a ⇒ AC = a tan ϕ = SA = ⇒ ϕ = 60° AC ABC B AB = 3a BC = 3a SA có đáy tam giác vng , , ; vng SA = 2a góc với mặt phẳng đáy Câu 13: Cho hình chóp S ABC Góc đường thẳng 60o A SC mặt phẳng đáy B 45o 30o C Lời giải D 90o Chọn C Ta có · , ( ABC ) = SCA ) · ( SC Xét tam giác Xét tam giác ABC SAC Câu 14: Cho hình chóp vng vng S ABC B A , ta có · tan SCA = , ta có có đáy góc với mặt phẳng đáy AC = AB + BC = ABC SA = 30a 2 + ( 3a ) = 2a SA 2a = = · AC 2a 3 ⇒ SCA = 30o tam giác vuông Góc đường thẳng 10 ( 3a ) B, AB = a, BC = 3a; SA SC mặt đáy vuông A 45° B 90° C 60° 30° D Lời giải Chọn C Ta có AC Tam giác Tam giác hình chiếu vng góc ABC SAC vuông vuông Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật đường thẳng A 45° A′C B AC = có A SA · = Þ SCA = 60° AC có ABCD A′B′C ′D′ B 30° lên mp ) ( · , ( ABC ) = SCA · ⇒ SC ( ABC ) AB + BC = a 10 · tan SCA = ( ABCD ) mặt phẳng SC có AB = a , AD = a , AA′ = 2a C 60° D 90° Lời giải Chọn C Do A′ A ⊥ ( ABCD ) nên A′C AC hình chiếu lên mặt phẳng ·A′CA ( ABCD ) A′C suy góc đường thẳng mặt phẳng 11 ( ABCD ) Góc tan ·A′CA = A′ A = AC A′ A AB + AD 2 3a = a + Có Câu 16: Cho hình chóp S ABC ( 3a A 60° có đáy tam giác đều, mặt bên nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết ( SAB ) ) = ⇒ ·A′CA = 60° SAB SA = 2a tam giác vng cân , tính góc SC S và mặt phẳng B 90° C 30° D 45° Lời giải Chọn A Gọi H trung điểm AB S SH ⊥ AB SA = 2a AB = 4a vuông cân , có nên , CH ⊥ AB ( 1) CH = 2a ABC Tam giác nên SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ CH ( ) ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Vì nên CH ⊥ ( SAB ) ( 1) ( ) Từ , suy ( SAB ) SC SC SH Góc mặt phẳng góc Tam giác Tam giác SAB SHC Suy góc vng SC H · tan HSC = , ta có mặt phẳng ( SAB ) 12 SH = HC 2a · = = ⇒ HSC = 60° HS 2a 60° AB = 2a Câu 17: Cho hình chóp SA = SB = SD = A S ABCD a Gọi có đáy α B ABCD góc SD hình thoi tâm mặt phẳng C 2 I ( SBC ) , cạnh a , góc cos α Giá trị D · BAD = 60o , Lời giải Chọn D Vì  AB = AD = a ⇒ ∆ABD · o  BAD = 60 SA = SB = SD = tam giác cạnh a a S ABD nên hình chóp chóp G ABD ⇒ SG ⊥ ( ABD ) Gọi trọng tâm tam giác ( SBC ) ( SBC ) SE SD E D Gọi hình chiếu nên hình chiếu mặt phẳng · ( SBC ) ⇒ DSE SD SD SE Góc mặt phẳng góc hai đường thẳng , · ⇒ DSE =α DE = d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Ta có Lại có AG ∩ ( SBC ) = C ⇒ d ( A, ( SBC ) ) d ( G, ( SBC ) ) = AC 3 = GC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( G, ( SBC ) ) 13 Kẻ ( 1) H GH ⊥ SB  BC ⊥ BG ⇒ BC ⊥ ( SBG )  ⇒ BC ⊥ HG ( )  BC ⊥ SG Ta có: GH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( G, ( SBC ) ) = GH ( 1) ( ) Từ suy a a BG = = 3 Xét tam giác SAG SBG Xét tam giác ⇒ DE = vuông Xét tam giác SED G vuông a 15 HG = SG = SA2 − AG = có G ta có vng E ta có Khi đó: Cho hình chóp S ABCD AD = a , SA ⊥ ( ABCD) A 3 1 12 27 a 15 = + = + = ⇒ HG = 2 HG GS GB 5a a 5a sin α + cos α = ⇒ cos α = Câu 18: 3a a 5a − = 12 có a 15 DE sin α = = = SD a 2 ABCD đáy Tính tan góc B C Lời giải Chọn C 14 SD hình chữ ( SAB ) nhật, AB = a, SA = a , D Ta có S = SD ∩ ( SAB ) AD ⊥ SA   ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ AB  ⇒A ⇒ SA ⇒ hình chiếu vng góc Góc SD Trong tam giác Câu 19: hình chiếu vng góc ASD Cho hình chóp ( SAB ) góc vng S ABC SD A SD A 300 SA B có SA = a C SAB tam giác vng cân Tính góc 900 vuông cân S , gọi H trung điểm 15 SC mặt phẳng D Chọn B SAB ·ASD AD a = = SA a 3 Lời giải Tam giác ( SAB ) góc có đáy tam giác đều, mặt bên 600 ( SAB ) tan ·ASD = nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, D AB 450 S ( SAB ) ⇒ SH = ⇒ AB = SA = a AB a = 2 a ABC Tam giác cạnh , nên CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB )  CH ⊥ SH Ta có Vậy SH CH = a 3a = 2 SC hình chiếu vng góc mặt phẳng · ( SAB ) SC CSH Do góc mặt phẳng góc SHC H Tam giác vuông · CSH = 60° Suy Câu 20: Cho hình chóp S ABC A 45o , nên có đáy SA Góc đường thẳng · tan CSH = B ABC ( ABC ) 30o CH = SH ( SAB ) tam giác vuông A BC = 2a SA = SB = SC = 2a C 60o D 90o Lời giải: Chọn A Gọi Vì H trung điểm ∆ABC Ta có: vng BC A nên H tâm đường tròn ngoại tiếp SA = SB = SC ( gt ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ · · ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = (·SA, HA ) = SAH 16 hình chiếu ∆ABC SA lên ( ABC ) HA AH = Ta có: Xét ∆SHA vng Vậy Câu 21: BC =a H · cos SAH = : · = 45° (·SA, ( ABC ) ) = SAH thẳng A 30o mặt phẳng ( ABCD ) B 45o ABCD A′B′C ′D′ Cho hình hộp chữ nhật A′C AH a · = = ⇒ SAH = 45° SA a 2 , có AB = a, AA′ = 3a AD = a , Góc đường C 90o D 60o Lời giải: Chọn D ABCD AB = a AD = a Vì hình chữ nhật, có , nên ( AC = BD = AB + AD = a + a Ta có ) ( A′C ; ( ABCD ) ) = ( A′C; CA ) = A· ′CA Do tam giác A′AC vuông A =a tan ·A′CA = nên 17 AA′ 3a = = AC a ⇒ ·A′CA = 60o Câu 22: Cho lăng trụ mặt phẳng 30° A ABC A′B′C ′ ( ABC ) G trùng với trọng tâm Sin góc a có đáy tam giác cạnh AB mặt phẳng B a 7 tam giác ( BCC ′B′) 2a Hình chiếu vng góc ABC Cạnh bên hợp với a 21 C D a 21 14 Lời giải Chọn C Ta có B′G ⊥ ( ABC ) nên BG hình chiếu ⇒ ( BB′, ( ABC ) ) = ( BB′, BG ) = B · ′BG = 30° Gọi M trung điểm BC H Mà AH ⊥ B′M Do HB nên AH ⊥ ( BCC ′B′ ) hình chiếu AB lên mặt phẳng hình chiếu  BC ⊥ AM   BC ⊥ B′G ⇒ BC ⊥ ( AB′M ) ⇒ BC ⊥ AH BB′ A lên B′M lên mặt phẳng ⇒ ( AB, ( BCC ′B′ ) ) = ( AB, HB ) = ·ABH 18 ( BCC ′B′) , ta có ( ABC ) B′ ( ABC ) lên góc Xét tam giác ABH B′G = BG.tan 30° vng = 2a H sin ·ABH = có = a 3 AH AB B′M = B′G + GM Ta có Vậy Câu 23:  2a   2a  =  ÷ +  ÷ =a    ÷  2a 2a = 21a = AM B′G a ⇒ AH = ∆AHM : ∆B′GM B′M 21a 21 sin ·ABH = = a 2a Cho hình lăng trụ tam giác M tan A N , ABC A′B′C ′ a 19 AP B mặt phẳng a 19 có cạnh đáy 2a , cạnh bên AA′ = a BB′ B′C ′ P A′B′ , Lấy điểm thuộc cho trung điểm góc đường thẳng ( MNP ) C Lời giải Chọn B 19 PB′ = a 21 D a 19 a Gọi Tính Gọi H K A′B′ , trung điểm Khi ta có HB / / PM Mặt khác ta có , HB ⊥ AM BC ′ ⊥ MK , AM ⊥ ( MNP ) Vậy góc đường thẳng AM ⊥ MP BC ′ ⊥ AK ⇒ BC ′ ⊥ ( AMK ) ⇒ MN ⊥ AM Từ suy Suy AP ( MNP ) mặt phẳng góc ·APM a 3 19 AB + MB = ( 2a ) +  = a ÷ ÷   AM = Ta có 2  a   a 2 MP = B′M + B′P =  =a ÷ ÷ +  ÷    2 tan ·APM = Suy Câu 24: AM 19 = PM a ∆SAD hình vng cạnh , tam giác nằm CD SA M mặt phẳng vng góc với đáy trung điểm Góc hợp đường thẳng Cho hình chóp mặt phẳng A 55° S ABCD ( SBM ) có ABCD B 45° C 30° Lời giải Chọn B 20 D 60° Gọi Ta có Gọi H trung điểm HC ⊥ MB AD ⇒ d ( H , ( SMB ) ) = HK Lại có CM CB CM + CB Suy  HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SMB )   HK ⊥ MB ( MB ⊥ ( SHC ) ) = 5a HI = CH − CI = CD + HD − CI = Do ⇒ d ( H , ( SMB ) ) = HK = Suy d ( A, ( SBM ) ) = Do Gọi α Suy góc α = 45° I = MB ∩ BC , HK ⊥ SI CI = suy SH ⊥ ( ABCD ) SA 5a 10 HI SH = a HI + SH a d ( H , ( SBM ) ) = ( SMB ) sin α = Suy 21 d ( A, ( SMB ) ) SA a 2 = = a Câu 25: S ABCD Cho hình chóp ABCD có đáy hình thang vng A B có AB = BC = 2a AD = 4a SA SA = 3a M N , , có vng góc với đáy Gọi , trung điểm A SB CD Tính cosin 15 B góc MN C 5 ( SAC ) D Lời giải Chọn B MN Xác định giao điểm ( SAC ) : ( SBN ) MN Chọn mặt phẳng chứa mp ( SBN ) ∩ ( SAC ) = SI Giao tuyến P = MN ∩ ( SAC ) ( SBN ) SI ∩ MN = P Trong gọi , suy ·MN , SAC ( Xác định góc Ta có: AC = AB + BC = 8a CD = CK + KD = 8a )) ( 2 : ; ; AD = ( 4a ) = 16a ⇒ AC + CD = AD 2 CD ⊥ ( SAC ) ∆ACD C ⇒ CD ⊥ AC CD ⊥ SA Suy vuông mà nên · , ( SAC ) = MN · , PC = NPC · MN ) ( ( ) Góc S M P A H I B Tính góc · NPC D N C : 22 5 NC = Ta có CD 2a = =a 2 M BN SB ∆SBN P trung điểm trung điểm suy trọng tâm ⇒ PN = MN MH //SA ∆MNH H AB H Gọi trung điểm suy vng Ta có I MN = MH + HN Suy PC = PN − NC = Từ suy Cosin góc · NPC cos ·NPC = : 3a  3a   2a + 4a  =  ÷ + ÷ =     ( a 5) −( a 2) PC a 15 = = PN a 5 23 PN = =a MN = a