CD15 TICH PHAN CO BAN

Chuyên đề ⑮ Ⓐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Ghi nhớ ➊  Phương pháp đổi biến số: b I = ò f ( x) dx  Để tính tích phân đổi biến sau: • • Bước Bước a , ta thực phép t = u( x) Þ dt = u¢( x) dx Đặt Đổi cận: u(b) I = • • Bước Thay vào, ta có ò g( t) dt = G ( t) u(a) Có thể đặt Ví dụ  ☞Đặt ① Có ② Có  ☞Đặt  ☞Đặt Có  ☞Đặt ④ Có biểu thức chứa .☞ Đặt ⑤ Có ⑥ Có ⑦ Có biểu thức chứa  ☞Đặt  ☞Đặt ⑧ u( a) Dấu hiệu nhận biết cách đổi biến Dấu hiệu ③ u( b) Có  ☞Đặt ⑨  ☞Đặt Có  Ghi nhớ ❷ • Phương pháp phần: Cho hai hàm số liên tục có đạo hàm liên tục b b òudv = uv Khi đó: a a b òvdu a Một số tích phân hàm số dễ phát u b b b a a a ∫ P(x).cos xdx Đặt dv P(x) dv ∫ P(x).sin xdx ∫ P (x).l n xdx P(x) P(x) lnx cosxdx sinxdx P(x) Ghi nhớ: đặt theo quy tắc log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN π I = ∫ cos3 x.sin xdx Câu Tính tích phân A I = − π4 B I = −π C Lời giải Chọn C I =0 I =− D π I = ∫ cos3 x.sin xdx Ta có: Đặt x = ⇒ t =1 Đổi cận: Với −1 Vậy ; với t4 I = − ∫ t dt = ∫ t dt = −1 t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇔ −dt = sin xdx x = π ⇒ t = −1 14 ( −1) = − =0 4 −1 Cách khác : Bấm máy tính ∫ Câu Cho A I = ∫ f (2 x )dx f ( x )dx = 16 Tính I =32 B I =8 C I =16 D I =4 Lời giải Chọn B t = 2x ⇒ Đặt dt =dx Đổi cận I = ∫ f (2 x )dx = Khi ta có x =0⇒t =2 x =2⇒t =4 ; 4 f ( t ) dt = f ( x )dx =8 ∫0 ∫0 I = ∫ x x − 1dx Câu Tính tích phân cách đặt B I = ∫ udu I = ∫ udu , mệnh đề đúng? I = ∫ udu A u = x2 − 1 C I= D udu ∫1 Lời giải Chọn C I = ∫ x x − 1dx ;đặt u = x − ⇒ du = xdx I = ∫ udu Nên Đổi cận x =1⇒ u = x = ⇒ u = ; ∫ Câu Cho A I = ∫ f (3x)dx f (x)dx = 12 0 Tính I =6 B I = 36 C I =2 D I =4 Lời giải Chọn D I = ∫ f (3x)dx = Ta có: Xét ∫ xe , đặt u = x2 2 ∫ e du x2 dx 2 ∫ e du u A x ∫ xe dx Câu 1 f (3x)d3x = ∫ f (t)dt = 12 = ∫ 30 30 u B C u e du ∫0 D u e du ∫0 Lời giải Chọn D Đặt u = x ⇒ du = xdx ⇒ xdx = du Đổi cận x = ⇒ u =  x = ⇒ u = x ∫ xe dx = Vậy u e du ∫0 e I = ∫ x ln xdx Câu Tính tích phân I= A : I= B e2 − 2 I= C Lời giải Chọn C e2 + I= D e2 − e I = ∫ x ln xdx Đặt e  du = dx  u = ln x  x ⇒  dv = xdx v = x  e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2 + ⇒ I = ln x − ∫ dx = − ∫ xdx = − = − + = x 2 20 4 4 0 I =∫ Câu Biết A S =6 dx = a ln + b ln + c ln 5, x +x với B S=2 a, b, c số nguyên Tính C S = −2 D S = a + b + c S = Lời giải Chọn B 1 1 = = − x + x x( x + 1) x x + Ta có: 4 dx  1 =  − ÷dx = ( ln x − ln( x + 1) ) = (ln − ln 5) − (ln − ln 4) ∫ x + x  x x +1 = ln − ln − ln I =∫ Khi đó: Suy ra: a = 4, b = −1, c = −1 Vậy S = e ∫ ( + x ln x ) dx = ae Câu Cho A + be + c với a + b = −c B a+b = c a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? C a−b = c D a − b = −c Lời giải Chọn C e e e 1 e e ∫ ( + x ln x ) dx = ∫ 2dx + ∫ x ln xdx = x + I = 2e − + I Ta có I = ∫ x ln xdx với Đặt =  du = x dx ⇒ e ex e x2 e u = ln x x2 x2 x v = ⇒ I = ln x − ∫ dx = ln x −  12 2  dv = xdx e2 e2 + − ( e − 1) = 4  a = ; b = ⇒ e e2 + 1 c = − ⇒ ∫ ( + x ln x ) dx = 2e − + = e + 2e − 4  ⇒ a−b = c 1 xdx ∫ ( x + 2) = a + b ln + c ln Câu Cho A −2 B −1 a b c 3a + b + c với , , số hữu tỷ Giá trị C D Lời giải Chọn B ∫ ( x + 2) =∫ = ln ( x + ) Vậy ( x + ) − dx = dx − 2dx ∫0 x + ∫0 ( x + ) ( x + 2) xdx ( x + 2) − −1 −1 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 a = − ; b = −1; c = ⇒ 3a + b + c = −1 I = ∫ x x − 1dx Câu 10 Cho I= u u A u = x2 −1 3 Tìm khẳng định sai khẳng định sau: B I= 27 C Lời giải Ta có : du = x.dx I = ∫ udu I = ∫ udu D x =1⇒ u = Đổi cận : ; x = 2⇒u =3 3 I = ∫ u du = u u = 27 3 =2 3 K =∫ Câu 11 Tính A K = ln x dx x −1 B K = ln C K = ln D K = ln Lời giải 3 x 1 K = ∫ dx = ∫ d ( x − 1) = ln x − = ln 2 x −1 2 x −1 2 I = ∫ x x + 5dx Câu 12 Tích phân A 10 6− có giá trị B 10 6− 3 C 10 7− D 10 6− Lời giải: Chọn A 1 1 10 x + 5d ( x3 + ) =  ( x3 + )  = 6− 3 3   1 I = ∫ x x + 5dx = ∫ Câu 13 Biết A f ( x) hàm liên tục B 27 ¡ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x − ) dx Khi giá trị C D Lời giải Đặt u = 3x − Đổi cận: ∫ Ta có: x =1 , suy du = 3dx u=0 x=4 u =9 ; 9 1 1 f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = = 3 30 30 f ( x − 3) dx = ∫ 24 ∫ f ( 3x − 3) dx = Vậy Câu 14 Cho A F ( x) f ( x) = nguyên hàm hàm số I= I =e B ln x x C F ( e ) − F ( 1) Tính I =1 I= D e Lời giải Chọn B e e e ln x dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ln x = x 1 F ( e ) − F ( 1) = ∫ Ta có I = ∫ x ( x − 3) dx Câu 15 Xét u du 4∫ A Bằng cách đặt u du ∫ 12 B u = x4 − C Khi ∫ u du I D u du ∫ 16 Lời giải Chọn D u = x − ⇒ du = 16 x 3dx ⇒ x 3dx = Đặt I= Suy ra: u du 16 ∫ du 16 I = ∫ − x dx Câu 16 Cho tích phân Với cách đặt 1 I = 3∫ t dt C Lời giải Đặt t = − x dx ⇒ t = − x ⇒ 3t 2dt = − dx Đối cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 1 I = − ∫ t.3t dt = 3∫ t dt Lúc đó: I = ∫ t dt B ta I = 3∫ t dt A t = − x dx I = 3∫ t dt 0 D e ln x dx x ∫ Câu 17 Tích phân A B e2 − C e2 + − D Lời giải e Ta có x ∫ xe Câu 18 Biết A e e ln x ln x ln e ln 1 d x = ln x d ln x = = − = ( ) ∫1 x ∫1 2 2 +2 dx = ( a b c e −e ) với B a, b, c ∈ ¢ Giá trị C a+b+c D Lời giải x ∫ xe Vậy a+b+c = ∫ Cho A dx = x2 +2 x2 +2 1 2 e d x + = e = e −e 2 ∫0 ( ) ( ) a =1 b = c = , , −1 Câu 19 +2 Ta có: Nên ∫ f ( x − 1) dx f ( x + 1) dx = −3 −2 −2 Giá trị B −3 − C D Lời giải Chọn B −1 ∫ Ta có tích phân khơng phụ thuộc vào biến số nên Đặt: x − = t + ⇒ dx = dt Đổi cận: f ( x + 1) dx = −3 ⇒ −2  x = ⇒ t = −2   x = ⇒ t = −1 −1 ∫ f ( t + 1) dt = −3 −2 ∫ ∫ f ( t + 1) dt = −3 −2 Khi −1 f ( x − 1) dx = J = ∫ x  f ( x + 1) + 1 dx I = ∫ f ( x ) dx = 26 Câu 20 Cho A 13 Khi B 52 C 54 D 15 Lời giải Chọn D 2 0 J = ∫ x  f ( x + 1) + 1 dx = ∫ xf ( x + 1) dx + ∫ x dx = A + Ta có: A = ∫ xf ( x + 1) dx Xét Đặt ln x ∫ ( x + 1) dx = Câu 21 a +b+c 1 t = x + ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt ⇒ A = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 13 ⇒ J = 15 21 21 Cho a ×ln − c ×ln b với a , b, c ∈ ¥ * phân số a b tối giản Giá trị A B C D Lời giải Chọn A Đặt dx  u = ln x du =    x dv = dx ⇒   v = − + = x ( x + 1)  x +1 x +1  ∫ ( x + 1) Ta có Suy ln x a =  b = c =  dx = 3 x dx 3 ln x − ∫ = ln − ln x + 1 = ln − ln + ln = ln − ln x +1 x +1 4 1 Do a+b+c =8 10 ∫ ( x − 2) e Câu 22 Tích phân 2x dx −5 − 3e A B − 3e − 3e2 C D + 3e Lời giải du = dx u = x −  ⇒  2x 2x  dv = e dx  v = e  Đặt Suy 1 1 2x 2x ∫0 ( x − ) e dx = ( x − ) e − ∫0 e dx 2x 1 2x 2 5 − 3e = − e +1− e = − e +1− e + = − e + = 4 4 4 ∫ f ( x ) dx = −3 Câu 23 Cho ∫ f ( x ) dx = A 12 ∫ f ( x ) dx Khi B C D −12 Lời giải ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −3 + = Câu 24 Cho hàm số A 30 f ( x) liên tục B 20 ¡ ∫ C Chọn D t = x → dt = 2dx Đổi cận x = → t =  x = → t = ∫ f ( x ) dx , 10 Lời giải Đặt f ( x ) dx = 10 11 D 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = Khi 10 =5 Câu 25 Cho hàm số y = f ( x) liên tục tập ¡ ∫ f ( x ) dx = 12 Giá trị tích phân I = ∫ f ( x + 1) dx A B 12 C Lời giải I = ∫ f ( x + 1) dx Xét t = x + ⇒ dx = đặt dt , x =1⇒ t = x = ⇒ t = đổi cận , I = ∫ f ( t) Vậy 5 dt 1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 23 23 12 D ... a a ∫ P(x).cos xdx Đặt dv P(x) dv ∫ P(x).sin xdx ∫ P (x).l n xdx P(x) P(x) lnx cosxdx sinxdx P(x) Ghi nhớ: đặt theo quy tắc log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN π I = ∫ cos3 x.sin... B I = −π C Lời giải Chọn C I =0 I =− D π I = ∫ cos3 x.sin xdx Ta có: Đặt x = ⇒ t =1 Đổi cận: Với −1 Vậy ; với t4 I = − ∫ t dt = ∫ t dt = −1 t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇔ −dt = sin xdx x = π ⇒