TÍCH PHÂN CƠ BẢN-KẾT HỢP

TÍCH PHÂN CƠ BẢN-KẾT HỢP dx √ = a+b ln với a, b ∈ Z Mệnh đề sau đúng? 3 + 2x + Câu Cho tích phân I = A a − b = B a − b = C a + b = D a + b = Lời giải √ Đặt t = 2x + ⇒ t2 = 2x + ⇒ dx = tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Khi I = = (t − ln |t + 3 dx √ = + 2x + ã 1− dt t+3 1 3|)|31 Å tdt = 3+t = + ln Do a + b = Chọn đáp án C Câu Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (ln 3) = f (x) = e2x √ , ∀x ∈ R Khi ex + − ex + ln ex f (x) dx √ −10 − A Lời giải √ 20 − B √ 20 + C √ 10 − D √ e2x ex + + ex + e2x √ dx = dx Ta có f (x) = f (x)dx = x+1− x+1 x + 1)2 − (ex + 1) e e (e √ Å ã √ e2x ex + + ex + ex x e +√ x dx = ex + ex + + C = dx = x x e (e + 1) √e +1 x Do f (ln 3) = ⇒ C = −4 ⇒ f (x) = e + ex + − ln ln Å ã Ä ä √ 2x x x 2x x x x x Khi e f (x) dx = e + 2e e + − 4e dx = e + (e + 1) − 4e 0 ln √ 20 − = Chọn đáp án B Câu Cho hàm số f (x) xác định liên tục R Gọi g(x) nguyên hàm hàm số x y= Biết x + f (x) g(x)dx = 2g(2) − g(1) = Tích phân A 1, x2 dx x + f (x) B C D Lời giải Vì g(x) nguyên hàm hàm số y = x x nên g (x) = x + f (x) x + f (x) x2 Đặt I = dx ⇒ I = xg (x)dx x + f (x)   u = x du = dx Đặt ⇒ dv = g (x)dx v = g(x) Khi I = xg(x) 2 − g(x)dx = 2g(2) − g(1) − = P = 2a − b + c Trang Chọn đáp án B x √ Câu Cho hàm số f (x) có f (0) = f (x) = với x > −1 Khi 1+ x+1 f (x)dx −113 30 Lời giải A B Ta có f (x) = C D √ x( x + − 1) dx = x+1−1 x √ dx = 1+ x+1 f (x)dx = −5 113 30 √ ( x + − 1)dx (x + 1)3 − x + C 2 Do f (0) = ⇒ C = Vậy suy f (x) = (x + 1)3 − x 3 3 Å ã 2» 113 Khi f (x)dx = (x + 1) − x dx = 30 = 0 Chọn đáp án D Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn f (4 − x) = f (x) Biết xf (x) dx = 5, f (x) dx tính Lời giải A B Ta có = C D 11 xf (x) dx = Đặt t = − x ⇒ xf (4 − x) dx  x = − t dx = −dt Đổi cận ta có  x = ⇒ t = x = ⇒ t = x.f (4 − x) dx = − Do (4 − t) f (t) dt = (4 − t) f (t) dt = 4.f (t) dt − f (t) dt = 10 ⇒ 3 4.f (t) dt − ⇒ Suy = 3 f (t) dt = t.f (t) dt hay f (x) dx = Chọn đáp án A Å ã Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R f (x) + 2f = 3x Tính I = x f (x) dx x A I= B I = C I= D I = −1 2 Lời giải 1 Đặt t = ⇒ x = x t Å ã Å ã Å ã 3 Ta có: f + 2f (t) = ⇒ 2f (x) + f = ⇔ 4f (x) + 2f = (1) t t x x x x Trang Å ã Theo đề: f (x) + 2f = 3x (2) Từ (1) (2) suy x f (x) 3f (x) = − 3x ⇒ = −1 x x x 2 Å ã2 ã Å f (x) ⇒I= dx = = − dx = − − x x x x 2 2 Chọn đáp án A Câu Cho hàm số f (x) xác định R \ {−2; 1} thỏa mãn f (x) = x2 1 ; f (0) = +x−2 x2 1 ; f (0) = +x−2 f (−3) − f (3) = Tính giá trị biểu thức T = f (−4) + f (−1) − f (4) 1 A ln + B ln 80 + Å ã3 Å ã 1 C ln D ln + ln + + 5 Lời giải Ta có 1 = f (x) = (x − 1) (x + 2) Å ã 1 − x−1 x+2 −3 I = f (−3) − f (−4) = f (x)dx = x−1 ln x+2 −4 J = f (0) − f (−1) = f (x)dx= −1 x−1 f (x)dx= ln x+2 K = f (4) − f (3) = x−1 ln x+2 −1 = −3 = −4 ln = − ln ln −I − J − K = f (−4) − f (−3) + f (−1) − f (0) + f (3) − f (4) = [f (−4) + f (−1) − f (4)] − f (0) − [f (−3) − f (3)] f (−4) + f (−1) − f (4) = −I − J − K + f (0) + [f (−3) − f (3)] 1 T = f (−4) + f (−1) − f (4) = − ln + ln − ln + = ln + 3 3 Chọn đáp án A Câu Cho hàm số f (x) xác định R \ {−2; 1} thỏa mãn f (x) = f (−3) − f (3) = Tính giá trị biểu thức T = f (−4) + f (−1) − f (4) 1 A ln + B ln 80 + Å ã3 Å ã 1 C ln + ln + D ln + 5 Lời giải Ta có 1 f (x) = = (x − 1) (x + 2) Å ã 1 − x−1 x+2 −3 I = f (−3) − f (−4) = f (x)dx = x−1 ln x+2 −4 J = f (0) − f (−1) = f (x)dx= −1 x−1 ln x+2 −1 −3 = −4 ln = − ln Trang K = f (4) − f (3) = f (x)dx= x−1 ln x+2 = ln −I − J − K = f (−4) − f (−3) + f (−1) − f (0) + f (3) − f (4) = [f (−4) + f (−1) − f (4)] − f (0) − [f (−3) − f (3)] f (−4) + f (−1) − f (4) = −I − J − K + f (0) + [f (−3) − f (3)] 1 T = f (−4) + f (−1) − f (4) = − ln + ln − ln + = ln + 3 3 Chọn đáp án A √ −11 f (x) = x x + 1, ∀x ∈ [1; +∞) Khi Câu Cho hàm số f (x) có f (1) = 15 f (x)dx bằng? 115 Lời giải A B 115008 525 C √ x x + 1dx √ Đặt t = x + ⇒ t2 = x + ⇒ 2tdt = dx 115007 525 D 115 f (x) = 2t5 2t3 2t3 dt = − +C = 3t2 − 5 15 t − t.2tdt = 2t − 2t √ (x + 1) (3x + 2) x + + C = 15 −11 −11 +) Thay x = vào f (x) ⇔ f (1) = ⇔C+ = ⇔ C = −1 15 15 15 √ (x + 1) (3x + 2) x + → f (x) == − 15 √ (x + 1) (3x + 2) x + 115007 +) f (x)dx = ( − 1)dx = 15 525 Ta có: I = Chọn đáp án C (x + 1) f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính I = Câu 10 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x)dx A I = B I = C I = −12 D I = −8 Lời giải Gọi f (x) = ax + b, (a = 0) ⇒ f (x) = a Theo giả thiết ta có: 1 (x + 1) f (x)dx = 10⇔ a +) (x + 1) dx = 10 ⇔ (x + 1) dx = 10 10 20 ⇔ = ⇒a= a a 0 ã 20 34 +) 2f (1) − f (0) = 2⇔ +b −b=2 ⇔b=− 3 20 34 Do đó, f (x) = x − 3 Å ã 1 20 34 Vậy I = f (x)dx= x− dx = −8 3 0 Chọn đáp án D Å Trang 4 Câu 11 Nếu f (1) = 12, f (x) liên tục f (x)dx = 17, giá trị f (4) A 19 B 29 C D Lời giải f (x)dx = f (x)|41 = f (4) − f (1) = 17 Ta có ⇒ f (4) = 17 + 12 = 29 Chọn đáp án B 1 (x + 1) f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính Câu 12 Cho hàm số f (x) thỏa mãn A I = −12 B I = D I = −8 C I = Lời giải   du = dx u = x + Khi I = (x + 1) f (x)|10 − ⇒ Đặt v = f (x) dv = f (x)dx Suy 10 = 2f (1) − f (0) − f (x)dx f (x)dx f (x)dx ⇒ f (x)dx = −10 + = −8 f (x)dx = −8 Vậy Chọn đáp án D 11 x Câu 13 Cho hàm số f (x) có f (1) = , ∀x ∈ f (x) = √ 12 4x + Å ã ; +∞ Khi f (x)dx bằng? 20 Lời giải A +) Đặt t = = B √ 29 20 4x + ⇔ t2 = 4x + → − C 20   2tdt = 4dx → − f (x) =  x = t − t D √ 20 29 xdx = 4x + t2 − tdt = t t2 − dt Å ã t −t +C = Ñ» é (4x + 1)3 √ − 4x + + C 11 11 +) Thay x = vào f (x) ⇔ f (1) = ⇔C− = ⇔C=1 12 é 12 12 Ñ» (4x + 1)3 √ → f (x) = − 4x + + Ñ» é 2 √ (4x + 1) 29 − 4x + + 1)dx = +) f (x)dx = ( 20 1 Chọn đáp án B Trang x √ Câu 14 Cho hàm số f (x) có f (0) = f (x) = với x > −1 Khi 1+ x+1 f (x)dx −113 30 Lời giải A B Ta có f (x) = C x √ dx = 1+ x+1 f (x)dx = −5 D √ x( x + − 1) dx = x+1−1 113 30 √ ( x + − 1)dx (x + 1)3 − x + C 2 (x + 1)3 − x Do f (0) = ⇒ C = Vậy suy f (x) = 3 3 Å ã 2» 113 Khi f (x)dx = (x + 1) − x dx = 30 = 0 Chọn đáp án D 11 x , ∀x ∈ Câu 15 Cho hàm số f (x) có f (1) = f (x) = √ 12 4x + Å ã ; +∞ Khi f (x)dx bằng? 20 Lời giải A +) Đặt t = = B √ 29 20 C 4x + ⇔ t2 = 4x + → − 20 D   2tdt = 4dx → − f (x) =  x = t − t √ 20 29 xdx = 4x + t2 − tdt = t t2 − dt Å ã t −t +C = é Ñ» √ (4x + 1) − 4x + + C 11 11 +) Thay x = vào f (x) ⇔ f (1) = ⇔C− = ⇔C=1 12 é 12 12 Ñ» (4x + 1)3 √ → f (x) = − 4x + + Ñ» é 2 √ (4x + 1) 29 +) f (x)dx = ( − 4x + + 1)dx = 20 1 Chọn đáp án B dx √ = a ln + b ln + c ln 5, với a, b, c số hữu tỉ 3x + 3x + + Câu 16 Biết Giá trị a + b + c 10 A − B − 3 Lời giải √ Đặt t = 3x + ⇒ t2 = 3x + ⇒ 2tdt = 3dx C 10 D Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 dx √ = 3x + + 3x + + Ta có: Å tdt = t + 5t + ã 2 − dt = [3 ln |t + 3| − ln |t + 2|]|21 t+3 t+2 Trang 20 [(3 ln − ln 4) − (3 ln − ln 3)] = − ln + ln + ln 3 20 Suy ra: a = − , b = , c = 3 10 Vậy a + b + c = − Chọn đáp án A = Câu 17 Cho hàm số y = f (x)liên tục R thỏa mãn f (4 − x) = f (x) Biết x.f (x)dx = Tính tích phân I = f (x)dx 11 A I= Lời giải B I= D I= C I= Vì f (4 − x) = f (x)không phụ thuộc x nên chọn f (x) = st Chọn f (x) = k mà xf (x)dx = kx2 kxdx = Do f (x) = →I= = 4k = ⇒ k = f (x)dx = 5 dx = Chọn đáp án D Câu 18 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a(t) = 2t + t2 (m/s2 ) Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bao nhiêu? 7900 (m) Lời giải A B 1600 (m) Vận tốc chuyển động có phương trình v(t) = C 1300 (m) a(t)dt = D 3800 (m) 2t + t2 dt = t2 + t3 + C Tại thời điểm vận tốc 10m/s C = 10 ⇒ v(t) = t2 + t3 + 10 Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 10 Å ã 3800 S= t + t + 10 = (m) 3 Chọn đáp án D x Câu 19 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xe f (0) = Tính f (x) dx 2 B −8 A e + C e + D Lời giải Ta có f (x) = f (x) dx = x.ex dx Đặt u = x dv = ex dx, ta có du = dx v = ex Do f (x) = f (x) dx = x.ex − ex dx = x.ex − ex + C Theo đề: f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = ⇒ f (x) = x.ex − ex + Trang 2 x (−ex + 3) dx = (x.ex − ex )|20 +(−ex +3x)|20 = x (x.e − e + 3) dx = f (x)dx = Khi x x.e dx+ 0 Chọn đáp án D Câu 20 Biết √ √ dx √ = a − b − c với a, b, c ∈ Z+ Tính P = a + b + c √ (x + 1) x + x x + 1 A P = 12 B P = 18 C P = 24 D P = 46 Lời giải √ √ x+1+ x dx Ta có I = √ √ = √ √ dx x (x + 1) x + + x x (x + 1) x + + x 1 √ √ ã Å √ √ 1 x+ x+1 √ + √ Đặt u = x + + x, suy du = dx → − 2du = dx x+1 x x (x + 1) √ √  √ √ √ √ 3+ Å ã x = → u = + du 3+ √ −√ = −2 √ Đổi cận Khi I = =− √ x = → u = √ + u u + 2+1 2+1 √ 2+1  a = 32  Ç√ å √ √   √ √ 3− 2−1 − P = 46 = −2 − = 32 − 12 − → − b = 12 →  3−2 2−1   c = 2 Chọn đáp án D ln Câu 21 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = (x + 1) ex , f (0) = Khi f (x)dx = a ln + ln b ln + c Tính a + b + c A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Lời giải Theo đề: f (x) = (x + 1) ex (x + 1) ex dx ⇔ f (x) = (x + 1) ex − f (x)dx = ex dx Nguyên hàm vế ta ⇒ f (x) = (x + 1) ex − ex + C = xex + C Mà f (0) = ⇒ 0.e0 + C = ⇔ C = ⇒ f (x) = xex ln ln ⇒ f (x)dx = ln ln x xe dx = x ex |ln ln − ln ex dx = ln − ln − ex |ln ln = ln − ln − ln Suy a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ a + b + c = Chọn đáp án D (x + 1) f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính I = Câu 22 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x)dx A I = B I = C I = −12 D I = −8 Lời giải Trang (x + 1) f (x)dx = 10 Đặt Từ  u = x + ⇒ dv = f (x)dx v = f (x) Ta có 10 =  du = dx (x + 1) f (x)dx = (x + 1) f (x)|10 − f (x)dx = 2f (1) − f (0) − I I = − 10 = −8 Chọn đáp án D x Câu 23 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xe f (0) = Tính f (x) dx 2 B −8 A e + C e + D Lời giải Ta có f (x) = x.ex dx f (x) dx = Đặt u = x dv = ex dx, ta có du = dx v = ex Do f (x) = f (x) dx = x.ex − ex dx = x.ex − ex + C Theo đề: f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = ⇒ f (x) = x.ex − ex + 2 (x.ex − ex + 3) dx = f (x)dx = Khi 2 (−ex + 3) dx = (x.ex − ex )|20 +(−ex +3x)|20 = x.ex dx+ 0 Chọn đáp án D Câu 24 Cho hàm số f (x)có f (3) = f (x) = 2x , ∀x ∈ (2; +∞) Khi x − 4x + e+2 f (x)dx = ae + b (a, b ∈ Z) Tích a.bbằng A −2 B 24 C D −24 Lời giải Cách Ta có: f (x) = x2 2x dx = − 4x + 2x dx = I (x − 2)2 Đặt t = x − ⇒ dt = dx 2(t + 2) I= dt = ln |t| − + C t t Với x = ⇒ t = 1nên có f (1) = ⇒ C = Đổi cận: x = ⇒ t = x=e+2⇒t=e e+2 e Å ã Vậy f (x)dx = ln |t| − + dt = 4e − Suy a = 4; b = −6 t 2x (x − 2) + Cách f (x) = dx = dx = dx + dx 2 x − 4x + x−2 (x − 2) (x − 2)2 = ln |x − 2| − +C x−2 f (3) = ⇒ C = Vậy f (x) = ln |x − 2| − +4 xã− Å e+2 e+2 f (x)dx = ln |x − 2| − + dx = 4e − Suy a = 4; b = −6 x−2 3 Chọn đáp án D Trang e ln x Câu 25 Cho hàm số f (x) có f (1) = f (x) = − , ∀x > Khi x f (x)dx bằng: A Lời giải B − e C − 2 D 1− e ln x Xét I = f (x)dx = − dx x2      u = ln x du = dx ln x x Khi đó: I = − ln x dx = ln x − Đặt: + +C ⇒ dx = 1 2   x x x x x dv = dx  v=− x x ln x + +C Suy ra: f (x) = x x ln x ln x + Do f (1) = ⇒ = + C ⇒ C = ⇒ f (x) = + = x x x e e e Å ãe ln x + = dx = (ln x + 1) d (ln x) = ln x + ln x Khi đó: J = f (x)dx = x 2 1 1 Chọn đáp án A f (x)dx = 2; Câu 26 Cho hàm số f (x) liên tục R có A I= Lời giải f (|2x − 1|) dx = Có I = −1 f (|2x − 1|) dx f (x)dx = Tính I = −1 C I= B I = 1 D I = f (2x − 1) dx = I1 + I2 f (1 − 2x) dx + −1 2 f (1 − 2x) dx Đặt u = − 2x ⇒ du=-2 dxu = − 2x ⇒ du = −2 dx.Đổi cận: Tính I1 = −1   x = −1 ⇒ u =  x = ⇒ u = −1 ⇒ I1 = f (u) du = f (u) du = f (2x − 1) dx Đặt u = 2x − ⇒ du = dx Tính I2 = Đổi cận: 2  x = ⇒ u =  x = ⇒ u = 1 ⇒ I2 = 1 f (u)du = f (u)du = Vậy I = I1 + I2 = Chọn đáp án B Trang 10 Å ã f (x) + 2f = 3x, x = (1) Å ãx Nên f + 2f (x) = , x = (2) x ï Åx ãò (1), (2) ⇒ f (x) + f = + 3x x x Å ã 1 ⇒ f (x) + f = x + (3) x x (2), (3) ⇒ f (x) = −x + x 2 Å ã Å ã f (x) 2 ⇒I= −1 + dx = −x − = dx = x x x 1 2 Chọn đáp án A Câu 47 Biết F (x) họ nguyên hàm F (x) = bao nhiêu? 13 A Lời giải Ta có: F (x) = B x dx = (x + 1)3 x F (0) = Khi F (1) + F (2) (x + 1) C x+1−1 dx = (x + 1)3 Å D ã 1 1 − dx = − + + (x + 1) (x + 1) x + 2(x + 1)2 C 1 ⇔ − + C = ⇔ C = 2 1 13 Suy ra: F (x) = − + + ⇒ F (1) + F (2) = + = x + 2(x + 1) 8 Chọn đáp án B F (0) = x Câu 48 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xe f (0) = Tính f (x) dx 2 B −8 A e + C e + D Lời giải Ta có f (x) = f (x) dx = x.ex dx Đặt u = x dv = ex dx, ta có du = dx v = ex Do f (x) = f (x) dx = x.ex − ex dx = x.ex − ex + C Theo đề: f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = ⇒ f (x) = x.ex − ex + 2 (x.ex − ex + 3) dx = f (x)dx = Khi 2 (−ex + 3) dx = (x.ex − ex )|20 +(−ex +3x)|20 = x.ex dx+ 0 Chọn đáp án D 1 2x2 √ Câu 49 Cho hàm số f (x) biết f (0) = f (x) = Khi x + − x2 + f (x)dx thuộc khoảng khoảng sau? A (−1; 0) B (0; 1) C (2; 3) D (−2; −1) Lời giải Trang 18 Ä ä √ 2x2 + x + + x2 2x √ dx = dx = x + − x2 + (1 + x)2 − (1 + x2 ) x2 x3 » = + + (1 + x2 )3 + C 3 1 x2 x3 Do f (0) = nên + C = ⇔ C = Suy f (x) = + + 3 3 f (x) = f (x)dx Khi ä Ä √ x + x + + x2 dx = x + x2 dx + 1» (1 + x2 )3 0, 77 Chọn đáp án B Câu 50 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = xex f (0) = Tính f (x) dx 2 B −8 A e + C e + D Lời giải Ta có f (x) = x.ex dx f (x) dx = Đặt u = x dv = ex dx, ta có du = dx v = ex Do f (x) = f (x) dx = x.ex − ex dx = x.ex − ex + C Theo đề: f (0) = ⇔ = −1 + C ⇔ C = ⇒ f (x) = x.ex − ex + 2 x (−ex + 3) dx = (x.ex − ex )|20 +(−ex +3x)|20 = x (x.e − e + 3) dx = f (x)dx = Khi x x.e dx+ 0 Chọn đáp án D Câu 51 Cho hàm số f (x) có f (x) = 4xsin2 x − sin x cos x f (0) = Biết π f (x) a a dx = π + ln c + 1, với a, b, c số nguyên dương phân số tối giản π x b b Tính P = a.b.c A P = 48 B P = 24 C P = 12 D P = Lời giải Ta có f (x) = = f (x)dx = 4xsin2 xdx − 4xsin2 x − sin x cos x dx sin 2xdx cos 2x + C = 2xdx − 2x cos 2xdx + cos 2x + C     du = dx u=x Đặt ⇒ dv = cos 2xdx v = sin 2x = 2x (1 − cos 2x) dx + Suy 2x cos 2xdx = x sin 2x − sin 2xdx = x sin 2x + cos 2x + C1 1 cos 2x + cos 2x + C + C1 = x2 − x sin 2x + C2 2 Vì (0) = ⇒ C2 = ⇒ f (x) = x2 − x sin 2x + Do f (x) = x2 − x sin 2x − Khi đó, ta có Trang 19 π π f (x) dx = x π π Å ã Å ã x x − sin 2x + dx = + cos 2x + ln |x| x 2 π + ln + Suy a = 3, b = 8, c = Vậy P = a.b.c = 48 π Å π = ã Å ã π π π2 + + ln π − − + ln 2 2 Chọn đáp án A Câu 52 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) liên tục R đồ thị f (x) đoạn [−2 ; 6] hình bên Khẳng định đúng? y y = f (x) O −2 −1 x A f (−2) < f (−1) < f (2) < f (6) B f (2) < f (−2) < f (−1) < f (6) C f (−2) < f (2) < f (−1) < f (6) D f (6) < f (2) < f (−2) < f (−1) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm f (x) đoạn [−2; 6] ta suy bảng biến thiên hàm số f (x) đoạn [−2; 6] sau: x −2 f (x) −1 + − + f (−1) f (6) f (x) f (−2) f (2)   f (−2) < f (−1)    Dựa vào bảng biến thiên ta có f (2) < f (−1) nên A, D sai    f (2) < f (6) y y = f (x) S1 −2 −1 O S2 x Trang 20 Chỉ cần so sánh f (−2) f (2) xong Gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng tơ đậm hình vẽ Ta có: −1 −1 |f (x)| dx= S1 = −2 f (x)dx= f (−1) − f (−2) −2 |f (x)| dx= − S2 = −1 f (x)dx= f (−1) − f (2) −1 Dựa vào đồ thị ta thấy S1 < S2 nên f (−1) − f (−2) < f (−1) − f (2)⇔ f (−2) > f (2) Chọn đáp án B Câu 53 Tìm hai số thực A, B cho f (x) = A sin πx+B, biết rằngf (1) = A   A = −2  B = − π Lời giải B   A = 2  B = − π C f (x)dx =   A = − π D  B =   A = −2  B = π f (x) = A sin πx + B ⇒ f (x) = A cos πx f (1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A = − π 2 f (x)dx = ⇒ (A sin πx + B)dx = ⇒ − A A cos 2π + 2B + cos = ⇒ B = π π Chọn đáp án D Câu 54 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, thỏa mãn f (−x) + 2020f (x) = ex Tính I = f (x)dx −1 A I= e2 − 2021e B I= e2 − 2020e C I = D I= e2 − e Lời giải Đặt t = −x ⇒ dx = −dt Khi I = f (−t)dt = −1 Suy I + 2020I = f (−x)dx −1 ex dx = (f (−x) + 2020f (x))dx = −1 e2 − e −1 e2 − e2 − Do 2021I = ⇒I= e 2021e Chọn đáp án A 23 2(x + 2)4 + Câu 55 Cho hàm số f (x) có f (0) = f (x) = Khi (x + 2)3 f (x)dx 57 A Lời giải Ta có: f (x) = 23 B 49 C D 55 2(x + 2)4 + (x + 2)3 Trang 21 ⇒ I = f (x) = 2(x + 2)4 + dx = (x + 2)3 f (x) dx = (2(x + 2) + )dx (x + 2)3 Đặt t = x + ⇒ dt = dx ⇒ I = (2t + )dx = t2 − + C t t ⇒ f (x) = (x + 2)2 − +C (x + 2)2 23 23 ⇒ (0 + 2)2 − ⇒C=2 Mà f (0) = +C = (0 + 2) ⇒ f (x) = (x + 2)2 − +2 (x + 2)2 2 Å ã 1 (x + 2)3 + + 2x ⇒ f (x)dx = (x + 2) − + dx = (x + 2) x+2 1 = 57 Chọn đáp án A π sin 2x + cos x F (0) = Tính F Câu 56 Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = √ + sin x √ √ π 2−8 π 2+8 A F B F = = 2 √3 √3 π 2−8 π 2+8 C F = D F = 3 Lời giải Ta có: π π 2 f (x)dx = Đặt t = π √ + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π f (x)dx = √ sin 2x + cos x π √ dx = F − F (0) + sin x π sin 2x + cos x √ dx = + sin x √ sin x + √ cos xdx + sin x √ ã Å 2(t2 − 1) + 2t = 2tdt = −t 2t − dt = t 1 √ √ √ 2+2 8+2 π 2+2 + F (0) = +2= F = 3 Chọn đáp án B √ 2+2 = f (x)dx = Tính tích phân I = Câu 57 Cho hàm số f (x) liên tục R f (2) = 16, x.f (2x) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 D I = Lời giải    u = x du = dx Đặt ⇒ dv = f (2x) dx  v = f (2x) 1 Khi đó, I = x f (2x) − 2 1 1 f (2x) dx = f (2) − 2 1 f (2x) dx = − f (2x) dx Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx Trang 22 Với x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2 Suy I = − f (t)dt = − = Chọn đáp án D Å ã Câu 58 Cho hàm số y = f (x) liên tục với x = thỏa mãn f (x) + 2f = 3x, x = Tính x f (x) dx x I= A I= B I= C I= 2 Lời giải Å ã f (x) + 2f = 3x, x = (1) Å ãx Nên f + 2f (x) = , x = (2) x ï Åx ãò (1), (2) ⇒ f (x) + f = + 3x x x Å ã 1 = x + (3) ⇒ f (x) + f x x (2), (3) ⇒ f (x) = −x + x Å ã Å ã 2 f (x) dx = −1 + dx = −x − ⇒I= = x x x 1 2 D I= Chọn đáp án A 2x √ , x > Khi Câu 59 Cho hàm số f (x), biết f (1) = 1, f (x) = 3x + − 3x + f (x)dx bằng? 184 Lời giải A B 916 81 C 440 27 D 128 Biến đổi √ √ Å ã 2x 3x + + 3x + + 2 2x √ =√ = √ = 1+ √ = + √ f (x) = √ 3 3 3x 3x + 3x + − 3x + 1(3x + − 1) 3x + 3x + 2 2√ ⇒ f (x) = x + 3x + + C 33 f (1) = ⇒ C = − 916 Khi f (x)dx = 81 Chọn đáp án B 1 f (x)dx, biết f (x) = √ − √ , x > f (1) = 2 3x + 2x − Câu 60 Tính tích phân 262 A 27 Lời giải B 106 81 C 118 27 D 106 27 Trang 23 Å f (x) = ã 1 √ − √ dx = 3x + 2x − 1 1√ 1√ √ 3x + 1− 2x − 1+ dx = 3 2x − 1 √ dx− 3x + C 2 1√ 1√ − + C = ⇒ C = Do f (x) = 3x + − 2x − + 3 3 3 5 Å ã 1√ 106 1√ dx = Vậy f (x)dx = 3x + − 2x − + 3 27 Mà f (1) = ⇒ 1 Chọn đáp án D Å ã Câu 61 Cho hàm số y = f (x) liên tục nhận giá trị dương (0; +∞) với x ∈ − ; +∞ thỏa √ mãn f (1) = 1, f (x) = f (x) 3x + Tính f (x) √ dx 3x + A I= e3 (e − e ) Å ã 2 B I = e3 e3 − ã Å C I = e e3 − e3 2 D I = e (e2 − e) Lời giải √ Ta biến đổi: f (x) = f (x) 3x + f (x) f (x) ⇒ =√ Ta lấy nguyên hàm hai vế: dx = f (x) f (x) 3x + d [f (x)] 2√ √ ⇒ = dx ⇔ ln f (x) = 3x + + C f (x) 3x + 2√ ⇒ f (x) = e ⇒ f (x) = e 3x+1+C 2√ 3x+1− √ dx 3x + 4 , ta lại có f (1) = ⇔ e +C = ⇒ C = − 3 5 f (x) √ dx = 3x + Từ tính I = e 2√ 3x+1− √ 3x + dx 2√ 3x + − ⇒ dt = √ dx, 3 3x +    x = t = 3 ⇒ Đổi cận:   x = t = 4 Å ã 4 2 t t = e3 − e3 = e3 e3 − ⇒ I = e dt = e Đặt t = 3 Chọn đáp án B Câu 62 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R, thỏa f (x5 + 4x + 3) = 2x + với x ∈ R Tích phân f (x)dx −2 A 10 B C 32 D 72 Lời giải Đặt x = t5 + 4t + ⇒ dx = (5t4 + 4) dt Với x = −2 ⇒ t = −1; x = ⇒ t = Trang 24 f (x)dx = Vậy −2 Å = f t + 4t + 5t + dt= −1 10t5 + 5t4 + 8t + dt (2t + 1) 5t + dt = −1 −1 ã 32 5t6 = + t + 4t + 4t − = 10 3 −1 Chọn đáp án A π Câu 63 Cho hàm số f (x) Biết f (0) = f (x) = sin2 x + 3, ∀ ∈ R, f (x)dx π2 − A Lời giải Ta có: f (x) = π + 8π − B π + 8π − C sin2 x + dx = f (x)dx = D (4 − cos2x)dx = 4x − π + 4π − sin 2x + C Mặt khác, ta có: f (0) = ⇔ 4.0 − sin + C = ⇔ C = ⇒ f (x) = 4x − sin 2x + π π 4Å ã π + 8π − ⇒ f (x)dx = 4x − sin 2x + dx = 0 Chọn đáp án C ln 2 (x − 2) f (x) dx = 10 Tính x x Câu 64 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết f (e ) dx = I= f (x)dx A I = B I = 18 C I = 14 D I = Lời giải Đặt t = ex ⇒ dt = ex dx ⇒ dx = dt t Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ln ⇒ t = ln 2 f (ex ) dx = ⇔ Do f (x) dx = x (x − 2) f (x) dx = x Ta có f (t) dt = ⇒ t ï ò f (x) f (x) − dx⇔ 10 = x f (x)dx − 2.4 ⇒ f (x)dx = 18 Chọn đáp án B Câu 65 Cho hàm số f (x) liên tục R f (3) = 21, f (x)dx = Tính tích phânI = x.f (3x) dx A I = 15 B I = 12 C I = D I = Lời giải Trang 25 Đặt  u = x ⇒ dv = f (3x)dx   du = dx  v = f (3x) 1 Suy I = x.f (3x) − Vậy I = 1 f (3x)dx = f (3) − 3 f (x)dx = Chọn đáp án D 2 f (x)dx = 3, Câu 66 Cho 12 f (5x + 2) dx = Khi A 18 f (x)dx B 12 C D 10 Lời giải Đặt t = 5x + ⇒ dt = 5dx (Với x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 12) 12 f (5x + 2) dx = ⇒ f (t)dt ⇒ 2 12 f (x)dx = Vậy ta có 12 f (t)dt = 15 12 f (x)dx + f (x)dx = + 15 = 18 Chọn đáp án A Câu 67 Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = + 2x, ∀x > −1, biết F (0) = Giá trị x+1 F (1) A + ln B ln C + ln D + ln Lời giải Å ã Ta có: F (x) = + 2x dx = ln |x + 1| + x2 + C x+1 Do ∀x > −1 nên F (x) = ln (x + 1) + x2 + C Ta lại có: F (0) = ln (0 + 1) + 02 + C = ⇔ C = Vậy F (x) = ln (x + 1) + x2 ⇒ F (1) = ln (1 + 1) + 12 = ln + x ln x2 + 16 dx = a ln + b ln + Câu 68 Biết c a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A T = −2 B T = 16 C T = D T = −16 Lời giải 3 Å ã 3 x x 16x 2 x ln x + 16 dx = ln x + 16 − dx = ln 25 − x− dx x2 + 16 x + 16 0 0 ï ò3 x = ln − − ln (x2 + 16) = ln − + ln 25 − ln 16 = 25 ln − 32 ln − 2 Suy a = 25, b = −32, c = −9 Vậy T = a + b + c = −16 Chọn đáp án D sin 2x + cos x π Câu 69 Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = √ F (0) = Tính F + sin x Trang 26 π A F π C F Lời giải √ 2−8 = √3 2−8 = π B F π D F √ 2+8 = √3 2+8 = Ta có: π π 2 sin 2x + cos x π √ f (x)dx = − F (0) dx = F + sin x √ Đặt t = + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π π π 2 sin 2x + cos x sin x + √ √ f (x)dx = dx = cos xdx + sin x + sin x √ √ √ Å ã 2(t2 − 1) + 2t 2tdt = 2t − dt = −t = t 1 √ √ √ π 2+2 2+2 8+2 F = + F (0) = +2= 3 Chọn đáp án B √ 2+2 = sin 2x + cos x π Câu 70 Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = √ F (0) = Tính F + sin x √ √ 2−8 2+8 π π A F B F = = 2 √3 √3 2−8 2+8 π π = = C F D F 3 Lời giải Ta có: π π 2 sin 2x + cos x π √ f (x)dx = dx = F − F (0) + sin x √ Đặt t = + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π π π 2 sin 2x + cos x sin x + √ √ f (x)dx = dx = cos xdx + sin x + sin x √ √ √ Å ã 2(t2 − 1) + 2t = 2tdt = 2t − dt = −t t 1 √ √ √ π 2+2 2+2 8+2 F = + F (0) = +2= 3 Chọn đáp án B Câu 71 Cho hàm số f (x) có f (x) = (x + 1) √ √ 2+2 = √ √ , ∀x > f (1) = 2 Khi x−x x+1 f (x)dx √ 14 A 3− Lời giải √ 10 B 3+ √ 10 C 3− √ √ 10 D 3+ − 3 Trang 27 dx dx √ √ = Ta có f (x) = f (x)dx = √ √ √ √ (x + 1) x − x x + x + x x + − x √ √ √ x + + x dx √ dx dx √ √ = = + √ = x + + x + C √ x x√ + x x+1 √ √ Mà f (1) = 2 nên C = −2 ⇒ f (x) = x + + x −  2 2 3 Ä √ ä √ √ 10 Vậy f (x) dx = x + + x − dx =  (x + 1) + x − 2x = − 3 1 Chọn đáp án C 28 2x Câu 72 Cho hàm số f (x) có f (3) = f (x) = √ , ∀x ∈ (2; +∞) Khi x−2 f (x)dx bằng? 809 15 Lời giải A +) Đặt t = B √ 808 15 C 807 15 D 808 17 x − ⇒ t2 = x − ⇒ 2tdt = dx (t2 + 2) 4t3 2tdt = 4t2 + dt = + 8t + C = t t2 + + C t 3 Khi I = 4√ = x − (x + 4) + C 28 28 28 ⇔C+ = ⇔C=0 +) Thay x = vào f (x) ⇔ f (3) = 3 √ → f (x) = x − (x + 4) 6 Å ã 808 4√ x − (x + 4) dx = +) f (x)dx = 15 3 Chọn đáp án B ï ò Å ã 1 = 3x với x ∈ ; Tính Câu 73 Cho hàm số y = f (x) liên tục thỏa mãn f (x) + 2f x 2 f (x) dx x Lời giải 9 C − D − 2 Å ã Å ã 1 Ta có f (x) + 2f = 3x ⇒ f + 2f (x) = từ ta có hệ phương trình: x x Å ã x    = 3x f (x) + 2f f (x) x Å ã ⇒ f (x) = − x ⇒ = − 1  x x x  4f (x) + 2f = x x 2 Å ã f (x) Do I = dx = − dx = x x 1 2 Cách khác: 1 1 f (x) Tính I = dx, đặt t = ⇒ x = ⇒ dx = − dt; x = ⇒ t = , x = ⇒ t = x x t t 2 A B Trang 28 2 f t Suy I = Å ã dt = t Å ã f t dt = t 2 Å ã f x dx x Å ã Å ã 2f f (x) x = 3x ⇒ + = Theo giả thiết f (x) + 2f x x x 2 f (x) 2f (x) + dx = x x Vậy 3I = ⇒I= 2 3dx = 2 Chọn đáp án A Câu 74 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) = (x + 1) ex , f (0) = ln f (x)dx = a ln + b ln + c Tính a + b + c Khi ln A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Lời giải Theo đề: f (x) = (x + 1) ex Nguyên hàm vế ta (x + 1) ex dx ⇔ f (x) = (x + 1) ex − f (x)dx = ex dx ⇒ f (x) = (x + 1) ex − ex + C = xex + C Mà f (0) = ⇒ 0.e0 + C = ⇔ C = ⇒ f (x) = xex ln ⇒ ln f (x)dx = ln ln x xe dx = x ex |ln ln ln ex dx = ln − ln − ex |ln ln = ln − ln − − ln Suy a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ a + b + c = Chọn đáp án D f (x)dx = Tính I = Câu 75 Cho −1 f (2x + 1) dx −1 B I= A I = D I= C I = Lời giải Đặt t = 2x + ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt Với x = −1 ⇒ t = −1, với x = ⇒ t = 1 f (t) dt = 2 f (2x + 1) dx ⇒ I = Khi ta có I = 5 −1 −1 f (t)dt = −1 f (x)dx = = 2 −1 Chọn đáp án A Câu 76 Cho số thực a,b khác không Xét hàm số f (x) = a + bxex với x khác −1 (x + 1)3 Biết f (0) = −22 f (x)dx = Tính a + b? A 19 B C D 10 Lời giải Trang 29 −3a x x + be + bxe nên f (0) = −3a + b = −22 (1) (x + 1) 1 1 đ a −3 Xét = f (x)dx = + bxex dx = a (x + 1) d (x + 1) + b xd (ex ) (x + 1)3 0 0  Å ã ỵ ó 3a a a x x x 1   =− + b xe | − e dx = − − + b e − e | + b (2) | 0 = (x + 1)2     − 3a + b = −22 a = Từ (1) (2) ta có 3a ⇔ ⇒ a + b = 10  b =  +b=5 Chọn đáp án D Ta có f (x) = x f (x) = Khi đó, Câu 77 Giả sử hàm số f (x)liên tục, dương R; thỏa mãn f (0) = f (x) x +1 Ä √ ä hiệu T = f 2 − 2f (1) thuộc khoảng A (2; 3) B (7; 9) C (0; 1) D (9; 12) Lời giải f (x) x d (f (x)) d (x2 + 1) Ta có dx = dx ⇔ = f (x) x2 + f (x) x2 + √ Vậy ln (f (x)) = ln (x2 + 1) + C, mà f (0) = ⇔ C = Do f (x) = x2 + Ä √ ä √ √ Nên f 2 = 3; 2f (1) = 2 ⇒ T = − 2 ∈ (0; 1) Chọn đáp án C f (x)dx = Tính I = Câu 78 Cho √ f ( x) √ dx x A I = B I = C I = D I= Lời giải √ Đặt t = x ⇒ dt = √ dx; đổi cận: x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 2 x 2 √ f ( x) √ dx = f (t)2dt = f (t)dt = 2.2 = I= x 1 Chọn đáp án C dx = a ln 2+b ln 5+c, với a, b, c số hữu tỉ Tính S = a−3b+c (x + 1)(x − 2) Câu 79 Biết A S = C S = −2 B S = D S = Lời giải β dx ax + b = ln (ax + b)(cx + d) ad − bc cx + d Áp dụng công thức giải nhanh: I = α dx x+1 = ln (x + 1)(x − 2) −3 x−2 Ta có: β α 1 = − ln = − (ln − ln 2) = ln − ln = a ln + 3 b ln + c Suy a = 1; b = − ; c = ⇒ a − 3b + c = + = Chọn đáp án B Trang 30 1 (x + 1) f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) = Tính Câu 80 Cho hàm số f (x) thỏa mãn A I = −12 f (x)dx B I = D I = −8 C I = Lời giải   u = x + du = dx Đặt ⇒ dv = f (x)dx v = f (x) Khi I = (x + 1) f (x)|10 − f (x)dx Suy 10 = 2f (1) − f (0) − f (x)dx ⇒ f (x)dx = −10 + = −8 f (x)dx = −8 Vậy Chọn đáp án D Câu 81 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (ln 3) = f (x) = e2x √ , ∀x ∈ R Khi ex + − ex + ln ex f (x) dx √ −10 − A Lời giải √ 20 − B √ 20 + C √ 10 − D √ e2x ex + + ex + e2x √ Ta có f (x) = f (x)dx = dx = dx x+1− x+1 x + 1)2 − (ex + 1) e e (e √ Å ã √ e2x ex + + ex + ex x e +√ x dx = dx = ex + ex + + C = x x e (e + 1) √e +1 x Do f (ln 3) = ⇒ C = −4 ⇒ f (x) = e + ex + − é Ñ ln ln 3 Ä ä √ 2x x Khi ex f (x) dx = e2x + 2ex ex + − 4ex dx = e + (e + 1) − 4ex 0 ln √ 20 − = Chọn đáp án B 1 √ Câu 82 Cho hàm số f (x) có f (0) = f (x) = Khi xf (x)dx bằng: x + − x x2 + √ √ √ √ 3+2 2−4 2+4 3−2 A B C D 3 3 Lời giải √ 1 x2 + + x x Ä√ ä= √ √ Xét f (x) = =√ =1+ √ 2 2 x +1−x x +1 x +1 x +1 x2 + x2 + − x ã Å √ x f (x)dx = 1+ √ dx = x + x2 + + C √ x +1 Suy f (x) = x + x2 + + C √ Mà f (0) = ⇒ = + C ⇔ C = Do f (x) = x + x2 + + 1 Ä ä ä3 1 ä √ x3 Ä√ 1Ä √ 2 + x 0+ = +1+ xf (x)dx = x + 2x + x x + dx = x +1 2−1 = 3 3 0 Trang 31 √ 3+2 Chọn đáp án D Trang 32 ... = − xd cos x = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sin x + C π Theo giả thiết f = ⇔ + C = ⇒ C = Suy f (x) = sin x − x cos x + Trang 16 π π = π 2 sin 2xdx − sin x cos x − xcos2 x + cos x dx cos x (sin... cos x dx sin 2xdx cos 2x + C = 2xdx − 2x cos 2xdx + cos 2x + C     du = dx u=x Đặt ⇒ dv = cos 2xdx v = sin 2x = 2x (1 − cos 2x) dx + Suy 2x cos 2xdx = x sin 2x − sin 2xdx = x sin 2x + cos... x − x cos x + 1) dx = cos x.f (x)dx = π π 2 π x (1 + cos 2x) dx + cos xdx π π π π 2 1 2 = − cos 2x + sin x − xdx − xd sin 2x 4 0 0 π π π π 2 x2 1 π π2 sin 2xdx = − = +1− − x sin 2x + − cos 2x