GIAI TICH 12 chuong ham so phan co ban

Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bảng công thức đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp u = u(x) • (x ) / = x−1 1 / • (u ) / = .u / u−1 1 •   =− x x / • ( x) • ( x) / = = / u/ •   =−  u u x 33 x2 / • ( ) • ( ) u u / u/ = u u/ = 33 u2 • (sinx) / = cosx • (sinu) / = u /.cosu • (cosx) / = – sinx • (cosu) / = – u /.sinu • ( tan x ) • ( cot x ) = + tan x cos x / = / =− sin x u/ cos u • ( tan u ) / = • ( cot u ) / =− u/ sin u Các quy tắc tính đạo hàm Cho u, v, w hàm số có đạo hàm theo x • (u + v) / = u / + v / • ( u − v ) = u / − v/ • (u.v) / = u /.v + u.v / • (u.v.w) / = u /.v.w + u.v /.w + u.v.w / • u / v − u.v / u   = v v2 / / / v/ 1 •   =− v v Các trường hợp riêng : / • a b • x2 + / ad − bc  ax + b    =  cx + d  (cx + d)2 a c x+ b c  ax2 + bx + c  d e d f e f   = 2  dx + ex + f  (dx + ex + f)   /  ax + bx + c  •   =  dx + e  adx + 2aex + ( dx + e ) b c d e Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Nhắc lại : Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K • Hàm số f gọi đồng biến K x1 , x  K , x1  x f(x1) < f(x2) • Hàm số f gọi nghịch biến K x1 , x  K , x1  x f(x1) > f(x2) • Hàm số f gọi hàm (không đổi) K f(x) = a , x  K (a số) 1) Điều kiện cần tính đơn điệu : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến K f / (x)  0, x  K • Nếu hàm số nghịch biến K f / (x)  0, x  K • Nếu hàm số hàm K f /(x) = 0, x  K 2) Điều kiện đủ tính đơn điệu : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K • Nếu f / (x) > , x  K hàm số đồng biến K • Nếu f /(x) < , x  K hàm số nghịch biến K • Nếu f /(x) = , x  K hàm số khơng đổi K Lưu ý : Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] , có đạo hàm khoảng (a, b) f /(x) > (hay f /(x) < 0) x  (a,b) hàm số f đồng biến (hay nghịch biến) đoạn [a, b] Tóm tắt quy tắc tìm khoảng tăng giảm hàm số • Tìm miền xác định hàm số • Tính đạo hàm tìm nghiệm Xét dấu đạo hàm lập bảng biến thiên x Miền xác định y/ Dấu y / y • Biểu diễn tính đơn hàm số (bằng mũi tên Dựa vào bảng biến thiên – Kết luận điệu ) Giải tích 12 Ví dụ : Gv : Dư Quốc Đạt Tìm khoảng tăng giảm hàm số sau : a) y = – x3 + x2 + x + d) y = b) y = x4 – 2x2 + x2 − x +1 x −1 Giải : a) Tập xác định : D = R c) y = e) y = 2x + x − 2x − 3− x f) y = x − 3x + y/ =  x = −  x = y / = −3x + 2x + Bảng biến thiên : 1    Vậy hàm số giảm khoảng :  − , −  , (1, +  ) , tăng khoảng :  − ,1 3    b) Tập xác định : D = R y / = 4x − 4x y / =  x = −1  x =  x = Bảng biến thiên : Vậy hàm số giảm khoảng : ( − , −1) , ( 0,1) , tăng khoảng : ( −1, ) , (1, +  ) c) Tập xác định : D = R \ 3 y/ = (3 − x )  0, x  D Bảng biến thiên : Vậy hàm số tăng khoảng : ( − ,3) , ( 3, +  ) d) Tập xác định : D = R \ 1 y/ = x − 2x ( x − 1) y/ =  x =  x = Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bảng biến thiên : Vậy hàm số tăng khoảng : ( − , ) , ( 2, +  ) , giảm khoảng : ( 0,1) , (1, ) e) Tập xác định : D = ( − , − 2   2, +  ) y/ = + x x2 − = x2 − + x x2 −  x  −2  x  x  −  x     y/ =    x=− x  2 x − = − x  2 x − = x ( )  Bảng biến thiên :   Vậy hàm số tăng khoảng :  − , −  , ( 2, +  ) , giảm khoảng : 3    ,− 2 −     Lưu ý : Ta xét dấu cách số vào Chẳng hạn khoảng  − , −  3  Ta −3 vào y / , ta : y / ( −3) = −   /  nên khoảng  − , −  y  3  Các khác xét dấu tương tự f) Tập xác định : D = R   x − 3x + Xét dấu biểu thức x − 3x + ta : y =   − x + 3x − 2 2x − , x   x  y/ =  −2x + 3,  x  , x  1 x  , 1 x   x   x  1  x  y/ =    x= 2x − = −2x + = Bảng biến thiên : Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt 3  Vậy hàm số giảm khoảng : ( − ,1) ,  ,  , tăng khoảng : 2  Ví dụ :  3  1,  , ( 2, +  )  2 Tìm khoảng tăng giảm hàm số y = sin x + cos x ( 0, 2 ) Giải : Tập xác định : D = ( 0, 2 ) y / = cos x − sin x y / =  cos x = sin x  tan x =  x =  5 x = 4 Bảng biến thiên :     5   5   Vậy hàm số tăng khoảng :  0,  ,  , 2  , giảm khoảng :  ,   4   4  3) Định lý mở rộng : Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng K • Nếu f / (x)  (f / (x)  0) , x  K f /(x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ví dụ : Tìm khoảng tăng giảm hàm số sau : a) y = – x3 + 3x2 – 3x b) y = x5 x3 − +2 Giải : a) Tập xác định : D = R y / = −3x + 6x − Bảng biến thiên : Vậy hàm số giảm R y/ =  x = Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt b) Tập xác định : D = R y / =  x = −1  x =  x = y/ = x − x Bảng biến thiên : Vậy hàm số tăng khoảng : ( − , −1) , (1, +  ) , giảm khoảng : ( −1,1) Bài tốn : Tìm m để hàm số tăng (giảm) R khoảng xác định Ta lý luận dựa vào trường hợp dấu đạo hàm hàm số _ Đối với hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d hàm số y = mx + nx + p hàm số tăng (giảm) qx + s R hay khoảng xác định điều kiện : y /  0, x  R (y /  0, x  R ) Cần nhớ: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Ta có a  * f(x)  0, x  R     a  * f(x)  0, x  R     _ Đối với hàm số biến y = ax + b ad − bc , ta có : y / = hàm số tăng (giảm) cx + d ( dx + e ) khoảng xác định điều kiện : ad – bc > (ad – bc < 0) Ví dụ : Tìm m để hàm số : a) y = x + ( m + 1) x + đồng biến (– 2, +  ) b) y = x − mx + ( 6m − ) x + 2m + đồng biến R c) y = − x + mx + 2m − nghịch biến khoảng xác định x −1 d) y = x − 2m đồng biến khoảng xác định x +1 e) y = x + m2 nghịch biến ( 2, +  ) x+m Giải : a) Tập xác định : D = R y / = 2x + m + Bảng biến thiên : y/ =  x = − m +1 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Theo bảng biến thiên : Hàm số đồng biến ( − 2, +  )  − m +1  −2  m  y / = x − 2mx + 6m − b) Tập xác định : D = R Hàm số đồng biến R  y /  0, x  R   / = m2 − 6m +    m  c) Tập xác định : D = R \ 1 y/ = − x + 2x − 3m + ( x − 1) Hàm số nghịch biến khoảng xác định  − x + 2x − 3m +  0, x    / = − 3m   m  d) Tập xác định : D = R \ −1 y/ = + 2m ( x + 1) Hàm số đồng biến khoảng xác định  + 2m   m  − e) Tập xác định : D = R \ − m y/ = m − m2 ( x + m) m − m  m   m    −2  m   m  Hàm số nghịch biến ( 2, +  )   m  − − m  Bài tập 1.1 Tìm khoảng tăng giảm hàm số sau : a) y = + 6x2 – x3 d) y = b) y = x3 – 3x2 + 3x + x + x3 – 3x2 + e) y = x2 − x + x2 + x + c) y = f) y = x2 + 3x + x +1 x3 − x2 1.2 Tìm khoảng tăng giảm hàm số sau : a) y = 2x − x b) y = − x + x + c) y = x − x d) y = x 16 − x 1.3 Tìm khoảng tăng giảm hàm số a) y = sin 2x − x   (−  x  ) 2 b) y = 2sin x + cos2x (0  x  2) Giải tích 12 1.4 CMR : a) y = b) y = Gv : Dư Quốc Đạt 2x − đồng biến khoảng xác định x+4 − x − 2x + nghịch biến khoảng xác định x +1 c) y = x3 – 3x2 + 3x + đồng biến R d) y = cos2x – 2x + nghịch biến R 1.5 Định m để hàm số sau : a) y = x – 2x2 + mx – tăng R 3 b) y = – x3 – mx2 + mx + giảm R ĐS : a) m  ; b) −1  m  ; c) m  c) y = 2x2 – (3m+1)x – m tăng (1,+  ) 1.6 Định m để hàm số: a) y = mx2 + 2x + tăng khoảng xác định x +1 b) y = − x + (m + 1) x + 2m − giảm khoảng xác định x +1 c) y = x+m tăng khoảng xác định x−m d) y = mx + 3m − giảm khoảng xác định x+m ĐS: a)  m  , b) m  , c) m < 0, d)1 < m < 1.7 Tìm m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + đồng biến khoảng ( 2, +  ) ĐS : m  −1 + 1.8 Tìm m để hàm số y = x + m2 tăng khoảng ( − , − ) x − m +1 ĐS : −1  m  1.9 Tìm m để hàm số y = sin x +   nghịch biến khoảng  0,  sin x + m  2 ĐS : m  −1  m   1 1.10 Tìm m để hàm số y = mx + 2x − đồng biến khoảng  0,   2 ĐS : m  −  m  Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định tập D xo  D 1) Điểm xo gọi điểm cực đại hàm số y = f(x) y CĐ tồn khoảng (a, b) chứa xo cho : CĐ (a, b)  D x  (a, b) \{x o } , ta có f(x) < f(xo) _ Khi f(xo) gọi giá trị cực đại hàm số f O 2) Điểm xo gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) tồn khoảng (a, b) chứa xo cho : CT CT (a, b)  D x  (a, b) \{x o } , ta có f(x) > f(xo) _ Khi f(xo) gọi giá trị cực tiểu hàm số f _ Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : a) Dấu hiệu đủ I : _ Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a, b) chứa xo có đạo hàm khoảng (a, xo) , (xo, b) Nếu x qua xo mà đạo hàm đổi dấu hàm số đạt cực trị xo • Nếu f / (x) > 0, x  (a, xo) f /(x) < 0, x  (xo, b) hàm số đạt cực đại xo • Nếu f / (x) < 0, x  (a, xo) f /(x) > 0, x  (xo, b) hàm số đạt cực tiểu xo _ Quy tắc tìm cực trị hàm số dấu hiệu I : • Tìm miền xác định • Tính đạo hàm tìm điểm mà đạo hàm hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Lập bảng biến thiên kết luận x f / (x) a xo + b – x a xo – f /(x) b + CĐ f(x) f(x) CT Ví dụ : Tìm điểm cực trị hàm số : b) y = x5 x3 − +2 c) y = a) y = x2 − x +1 x −1 x + 2x + 3x − d) y = 2x + x − x Giải tích 12 Giải : a) Tập xác định : D = R Gv : Dư Quốc Đạt y / =  x = −3  x = −1 y / = x + 4x + Bảng biến thiên : Vậy hàm số đạt cực đại x = − , giá trị cực đại ycd = −1 Hàm số đạt cực tiểu x = − , giá trị cực tiểu y ct = − b) Tập xác định : D = R y / =  x = −1  x =  x = y/ = x − x Bảng biến thiên : Vậy hàm số đạt cực đại x = − , giá trị cực đại y cd = Hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu yct = c) Tập xác định : D = R \ 1 y/ = 32 15 28 15 x − 2x ( x − 1) y/ =  x =  x = 2 Bảng biến thiên : Vậy hàm số đạt cực đại x = , giá trị cực đại ycd = −1 Hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu y ct = d) Tập xác định : D = ( − , − 2   2, +  ) y/ = + 10 x x2 − = x2 − + x x2 − Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I> Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1) Tìm tập xác định hàm số 2) Tìm đường tiệm cận (đối với hàm số hữu tỷ) 3) Tính đạo hàm lập bảng biến thiên hàm số bao gồm 4) Tìm điểm uốn đồ thị (chỉ với hàm số bậc ba, hoành độ điểm uốn nghiệm đạo hàm cấp hai) 5) Vẽ đồ thị • Vẽ đường tiệm cận (nếu có) • Tìm điểm đặc biệt (ngồi điểm cực trị, điểm uốn… để vẽ xác hơn) vẽ đồ thị Ví dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : a) y = − x + 3x − Giải : a) Tập xác định : D = R y / = −3x + 6x y / =  x = 0, x = Bảng biến thiên : * y / / = − 6x + y / / =  x =  điểm uốn I (1,1) Đồ thị : Điểm đặc biệt ( −1,3) , ( 3, −1) b) Tập xác định : D = R y / = 3x + 6x +  0, x  R Bảng biến thiên : 24 b) y = x + 3x + 4x + Giải tích 12 y / / = 6x + Gv : Dư Quốc Đạt y / / =  x = −1  điểm uốn ( −1, ) Điểm đặc biệt : ( −2, − ) , ( 0, ) Đồ thị : Các dạng đồ thị hàm số bậc ba (đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng) Ví dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : a) y = x − 4x + Giải : a) Tập xác định : D = R b) y = − x − 2x + y / = 4x − 8x y/ =  x = −  x =  x = Bảng biến thiên : Đồ thị : Điểm đặc biệt ( −2, ) , ( 2, ) 25 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt b) Tập xác định : D = R y/ =  x = y / = − 4x − 4x Bảng biến thiên : Đồ thị : Điểm đặc biệt ( −1,0 ) , (1,0 ) Các dạng đồ thị hàm số trùng phương (đồ thị đối xưng qua trục tung) Oy Oy Oy Ví dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : a) y = Giải : Tập xác định : D = R \ −1 y/ = 2x − x +1 ( x + 1) b) y =  0, x  D lim y =   đường thẳng x = – tiệm cận đứng x →−1 26 Oy x +1 x −1 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt lim y =  đường thẳng y = tiệm cận ngang x →  Bảng biến thiên : 7   1 Đồ thị : Điểm đặc biệt  −3,  , ( −2,5 ) , ( 0, − 1) , 1,  2   2 b) Tập xác định : D = R \ 1 y/ = −2 ( x − 1) lim y =   đường thẳng x = tiệm cận đứng x →1 lim y =  đường thẳng y = tiệm cận ngang x →  Bảng biến thiên : 27  0, x  D Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Đồ thị : Điểm đặc biệt ( −1,0 ) , ( 0, − 1) , ( 2,3) , ( 3, ) Các dang đồ thị hàm biến (đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng) TCĐ TCĐ TCN TCN Bài tập 5.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau : a) y = x3 + x – 3 d) y = − x3 − x + b) y = x3 – 6x2 + 9x – c) y = x3 + e) y = – x3 + 6x2 – 9x + f) y = ( – x)3 5.2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau : a) y = x4 – 2x2 + b) y = x4 + 3x2 c) y = 8x2 – x4 d) y = – 2x2 – x4 5.3 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau a) y = 3x + x −1 b) y = 2x + x +1 c) y = −x 2x + II> Đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối : _ Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối ta lưu ý : 1) Các phần đồ thị hàm số nhận biết sau Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) : • Với x > phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung • Với x < phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung • Với f(x) > phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh 28 d) y = −2 2−x Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt • Với f(x) < phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh 2) Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C) hàm số y = g(x) có đồ thị (C1) • Nếu g(x) = f(x), x  D D, ( C1 )  ( C ) • Nếu g(x) = – f(x), x  D D, (C1) đối xứng với (C) qua trục hoành 3) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng f (x) , f (x)  I> Đồ thị hàm số y = f (x) =   − f (x) , f (x)  _ Dựa vào đồ thị (C) hàm số y = f(x) ta vẽ đồ thị (C1) hàm số y = f (x) sau : Đồ thị (C1) hàm số y = f (x) gồm hai phần • Phần 1: Trùng với phần đồ thị phía Ox (phần đồ thị y  0) đồ thị (C) • Phần 2: Là phần đối xứng phần đồ thị phía Ox đồ thị (C) qua Ox (Ox) (Ox) II> Đồ thị hàm số y = f ( x ) Gọi đồ thị (C2) _ Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Đặt g(x) = f(|x|) ta có : * Với x  g(x) = f(x) nên đồ thị (C2) trùng với (C) * g(– x) = g(x) nên g(x) hàm số chẵn suy đồ thị (C2) đối xứng qua trục tung Dựa vào (C) ta vẽ đồ thị (C2) hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C2) hàm số y = f ( x ) gồm hai phần • Phần 1: Trùng với phần đồ thị bên phải Oy (phần đồ thị x  0) đồ thị (C) • Phần 2: Là phần đối xứng phần đồ thị bên phải Oy đồ thị (C) qua Oy (Oy) (Oy) Với hàm số dạng khác, ta lý luận để bỏ dấu giá trị tuyệt đối dưa vào phần lưu ý để vẽ 29 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) : y = x − 3x + b) Vẽ đồ thị hàm số sau : ( C2 ) : y = x ( C1 ) : y = x3 − 3x + − x +1 ( C3 ) : y = x − x +1 Giải : Bài : MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ I Tìm giao điểm hai đường : Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có đồ thị (C1) (C2) Tọa độ giao điểm hai đồ thị  y = f(x)  y = g(x) (nếu có) nghiệm hệ :  (1) Lưu ý : Số nghiệm (x, y) hệ (1) số nghiệm x phương trình f(x) = g(x) Do để biện luận số giao điểm hai đồ thị, ta cần biện luận số nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Hệ : Ta dùng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = sau : • Biến đổi phương trình dạng f(x) = m • Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = f(x) • Số nghiệm phương trình số giao điểm (C) đường thẳng y = m • Tùy theo m ta số giao điểm hai đồ thị từ suy số nghiệm phương trình Lưu ý : Có thể dùng bảng biến thiên thay đồ thị 30 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Tìm m đồ thị (C): y = x2 + x +1 cắt đường thẳng d : y = mx + hai điểm phân biệt x −1 Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm :  x2 + x +1 x  = mx +   x −1  mx − mx − = (1) (C) cắt d hai điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt khác  = m + 8m    m  −8  m  m − m −  Ví dụ : Tìm m để (C) : y = – 2x3 + x + cắt (P) : y = m(x2 – 1) ba điểm phân biệt ( ) Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm : −2x + x + = m x −1  2x + mx − x − m −1 = ( )  ( x − 1) 2x + ( m + ) x + m + =  x =  2x + ( m + ) x + m + = (1) (C) cắt (P) ba điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt khác m  − 2  m  + 2  = m − 4m −     2 + ( m + ) + m +  m  −  Ví dụ : Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C) d đường thẳng qua A(–2, 2) có hệ số góc m x +1 Tìm m để d cắt (C) hai điểm khoảng cách hai điểm 26 Giải : Phương trình d : y = m ( x + ) +  y = mx + 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm :  2x −  x  −1 = mx + 2m +   x +1  mx + 3mx + + 2m = * d cắt (C) hai điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt khác –  = m − 12m    m   m  12 (*) m − 3m + + 2m  * Nếu giao điểm có hồnh độ a tung độ ta vào phương trình d : y = ma + 2m + Gọi hai giao điểm M ( x1 , mx1 + 2m + ) , N ( x , mx + 2m + ) (Với x1 , x nghiệm (1)) MN = 26  ( x − x1 ) + ( mx − mx1 ) 2 = 26  (1 + m ) ( x − x1 ) = 26 2  ( + 2m )   + m ( x1 + x ) − 4x1x  = 26  + m  −  = 26   m   ( ) ( ) 31 (1) Giải tích 12 ( Gv : Dư Quốc Đạt ) ( )  + m2 ( m − 12 ) = 26m  m3 −12m2 − 25m −12 =  ( m + 1) m2 − 13m − 12 =  m = −1  m = 13  27 So với điều kiện (*) ta nhận giá trị m Ví dụ : Cho hàm số y = − x + 3x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : − x + 3x − = m c) Biện luận theo k số nghiệm x > phương trình : x − 3x + k = Giải : a) Tập xác định : D = R y / = −3x + 6x y / =  x = 0, x = Bảng biến thiên : * y / / = − 6x + y / / =  x =  điểm uốn I (1,1) Đồ thị : b) Phương trình : − x + 3x − = m phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị : Đồ thị ( C ) : y = −x + 3x − (đã vẽ trên) đường thẳng d : y = m (Đường thẳng d di động tùy theo m song song hay trùng Ox) Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm phương trình Theo đồ thị ta : * m  −1 m  : phương trình có nghiệm * m = −1 m = : phương trình có nghiệm * −1  m  : phương trình có nghiệm 32 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt c) x − 3x + k =  − x + 3x − = k − phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị : Đồ thị ( C ) : y = −x + 3x − (đã vẽ trên) đường thẳng d : y = k − Vì nghiệm x > nên ta tính giao điểm nằm bên phải đường thẳng x = (phần in đậm hình) Theo đồ thị ta : * k −1  1 k −1 =  k   k = : Phương trình có nghiêm lớn *  k −1    k  : phương trình có nghiệm lớn * k −1   k  : phương trình khơng có nghiệm lớn Lưu ý : Nếu khơng có trước đồ thị, ta dùng bảng biến thiên hàm số Xem ví dụ sau : Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : Giải : Phương trình : − x + x − 2m = − x + x − 2m =  − x + x = 2m Đặt f ( x ) = − x + x Tập xác định : D =  − 3,3 f / (x) = − x2 − x − x2 x  f / ( x ) =  − x2 = x   x= 2 9 − x = x Bảng biến thiên : Theo bảng biến thiên ta : 3 * 2m  −3  2m   m  −  m  : phương trình vơ nghiệm 2 33 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt * −3  2m   2m =  − *  2m   3 m m= : phương trình có nghiệm 2 3 m : phương trình có nghiệm 2 II> Tiếp tuyến : Tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) a) Dạng : Tiếp tuyến với (C) điểm M(xo, yo) thuộc đồ thị (C) có phương trình : y = f /(xo).(x – xo) + yo (1) b) Dạng : Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc cho trước (song song hay vng góc với đường thẳng cho trước) Gọi M(xo, yo) tiếp điểm • Ta có : f /(xo) = k (k hệ số góc cho trước) • Giải phương trình tìm xo, từ tính yo áp dụng (1) ta phương trình tiếp tuyến c) Dạng : Tiếp tuyến qua điểm A(x1, y1) Gọi M(xo, yo) tiếp điểm • Phương trình tiếp tuyến có dạng : y – f(xo) = f / (xo).(x – xo) (1) • Tiếp tuyến qua A nên ta : y1 – f(xo) = f / (xo).(x1 – xo) Giải phương trình tìm xo vào (1) ta phương trình tiếp tuyến Lưu ý : Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 , d : y = k x + b Ta có : d1 ⊥ d  k1.k = −1  k1 = k d1 / /d   b1  b  k1 = k d1  d   b1 = b Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x trường hợp sau : a) Tại điểm có hồnh độ x o = b) Tiếp tuyến có hệ số góc c) Tiếp tuyến song song với d : y = 3x − d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d1 : y = − e) Tiếp tuyến qua điểm A ( 3, ) 34 x 15 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : a) x o =  y o = − = − ; y / = x − 2x  y / (1) = −1 3 Phương trình tiếp tuyến : y = y / (1)( x − 1) + y o  y = − ( x − 1) −  y = −x+ 3 b) Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến y / ( x o ) = x o2 − 2x o Theo giả thiết ta : xo2 − 2xo =  xo2 − 2xo − =  x o = −  x o = * Với x o = −  yo = − * Với x o =  yo = 20 20 / 28  y = 8x + , y ( − ) = Ta tiếp tuyến : y = ( x + ) − 3 16 / 16 80 , y ( − ) = Ta tiếp tuyến : y = ( x − ) +  y = 8x − 3 c) Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến y / ( x o ) = x o2 − 2x o Tiếp tuyến song song d : y = 3x −  xo2 − 2xo =  xo2 − 2xo − =  xo = −1 xo = 4 * Với x o = −1  yo = − , y / ( −1) = Ta tiếp tuyến : y = ( x + 1) −  y = 3x + 3 * Với x o =  yo = 0, y / (3) = Ta tiếp tuyến : y = ( x − 3) +  y = 3x − (loại) Vậy ta nhận tiếp tuyến y = 3x + d) Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến y / ( x o ) = x o2 − 2x o Tiếp tuyến vuông góc d1 : y = −  1 x  ( x o2 − 2x o )  −  = −1  x o2 − 2x o − 15 =  x o = −  x o = 15  15  * Với x o = −  yo = −18, y / ( − 3) = 15 Ta tiếp tuyến : y = 15 ( x + 3) − 18  y = 15x + 27 * Với x o =  y o = 50 50 / 175  y = 15x − , y ( ) = 15 Ta tiếp tuyến : y = 15 ( x − ) + 3 e) Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến y / ( x o ) = x o2 − 2x o Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = y / ( x o )( x − x o ) + yo  y = ( x o2 − 2x o ) ( x − x o ) + x 3o − x o2 (1) Tiếp tuyến qua điểm A ( 3, ) nên x = 3, y = vào (1) ta : x 3o = ( x − 2x o ) ( − x o ) + − x o2  − x 3o + 4x o2 − 6x o =  x o =  x o = 3 o * Với x o =  yo = 0, y / ( ) = Ta tiếp tuyến : y = * Với x o =  yo = 0, y / (3) = Ta tiếp tuyến : y = ( x − 3) +  y = 3x − Ví dụ : Cho hàm số y = x − 3x có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Tìm ( ) m để tiếp tuyến với (C) điểm M song song với đường thẳng d : y = m2 − x + 2m − 35 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : Tập xác định hàm số D = R , y / = 3x − 6x Ta có : x o =  yo = − 2, y / (1) = − Tiếp tuyến M : y = − ( x − 1) −  y = − 3x + m − = − m =  m = −1   m = −1 Tiếp tuyến song song với d   m  2m −    Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − 3x + 5x − , biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Giải : Tập xác định D = R , y / = 3x − 6x + Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến y/ ( x o ) = 3x o2 − 6x o + = ( x o −1) +  2 Do : y / ( x o ) nhỏ ( x o − 1) =  x o = Với x o =  yo = , y / (1) = Phương trình tiếp tuyến : y = ( x − 1) +  y = 2x Ví dụ : Từ điểm A ( − 2,1) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − 2x + Giải : Tập xác định D = R , y / = 2x −  y/ ( x o ) = 2x o − Gọi M ( x o , yo ) tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến : y = ( 2x o − )( x − x o ) + x o2 − 2x o + (1) Tiếp tuyến qua điểm A nên x = – 2, y = vào (1), ta : = ( 2x o − )( − − x o ) + x o2 − 2x o +  x o2 + 4x o − = (2) Vì (2) có hai nghiệm x o nên có hai tiếp điểm Vậy từ A kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị Bài tập 6.1 Tìm m để đồ thị hàm số y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) cắt trục hoành ba điểm phân biệt ĐS : m < – 1, < m < , m > 6.2 Tìm m để (C) : y = x2 − x + cắt d : y = m hai điểm AB cho AB = ĐS : m =  x −1 6.3 Tìm m để (P) : y = (3m + 4)x2 – m2 cắt (C) : y = x4 cắt điểm phân biệt ĐS : −  m  6.4 Gọi d đường thẳng qua điểm uốn I (C) : y = x3– 6x2 +9x – có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt I, A, B cho AB = ĐS : m = , m = −3  6.5 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3(m2 − 1) x − m3 + m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị ĐS : −3  2 hàm số đến gốc tọa độ O 36 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt 6.6 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( m − 1) x + 2m − có điểm cực trị tạo thành tam giác ĐS : m = + 3 6.7 Tìm m để d: 2mx – 2y + m + = cắt (C) : y = x +1 hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức 2x +1 T = OA + OB2 đạt GTNN 6.8 Cho đồ thị hàm số y = ĐS : m = 2x − m cắt d: y = 2x – 2m hai điểm phân biệt A, B d cắt Ox, Oy lần mx + ĐS : m =  lượt M, N Tìm m để SOAB = 3SOMN 6.9 Cho y = 2x + ( m + 3) x + 18mx + Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành ĐS : m = hay m =  hay m = 35/27 6.10 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = – x3 + 3x, gọi đồ thị (C) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3 – 3x + 2m – = c) Với giá trị m phương trình x3 – 3x + m2 – 5m – = có hai nghiệm phân biệt ĐS: c) m = – , m = 0, m = 5, m = 6.11 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = 2x − biết khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến x −1 ĐS : b) x + y – = , x + y – = 6.12 Cho (C) : y = x4 − 3x + A điểm (C) có hồnh độ m Tìm m để tiếp tuyến với A 2 (C) cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A cho AC = 3AB (B nằm A C) ĐS : m =  6.13 Cho hàm số y = x − x + ( m − 6) x + m2 + m a) Tìm m để hàm số đồng biến (2;+  ) b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ nhỏ 6.14 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = 2x − x −1 b) Tìm điểm đồ thị có tọa độ nguyên c) Gọi M điểm đồ thị hàm số c1)Tiếp tuyến (C) điểm M cắt tiệm cận đứng tiệm cận xiên hai điểm A, B CMR : M trung điểm AB tam giác OAB có diện tích khơng đổi M chạy (C) c2) CMR : Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận số 37 Giải tích 12 Gv : Dư Quốc Đạt d) Tìm điểm đồ thị có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ ĐS : b) (0, 1), (2, 3) ; c) ; c) (0, 1), (2, 3) 6.15 Cho hàm số y = x − 2x + có đồ thị (C) hai đường thẳng d1 : y = – x + m, d2: y = x + Tìm m x −1 để (C) cắt d1 hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua d2 6.16 Cho hàm số y = ĐS : m = x +1 có đồ thị (C) đường thẳng d: y = x + m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) x −1 hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB 6.17 Tìm đồ thị (C) hàm số y = x − x +1 ĐS: m =  hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) ĐS : (0, – 4), (2, 0) 6.18 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2x + m (1) a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách từ A(1;1) đến đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số ĐS: a) m > 0; b) m = –28/3, m = 40/3 34 6.19 Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + đường thẳng d : y =1 Tìm m để d cắt (C) tai ba điểm phân biệt A(0;1), B, C đồng thời tiếp tuyến B, C vng góc với 6.20 Cho hàm số y = ĐS: m = (9  65) x có đồ thị (C) x −1 a) Viết phương tiếp tuyến với (C), biết khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến tiếp tuyến đạt giá trị lớn b) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác vuông cân ĐS : a, b) y = – x ; y = – x + _ 38 ... : a.sinx + b.cosx = c có nghiệm a + b  c2 Xét phương trình : sin x + cos x = vơ nghiệm 12 + 12  22 Do tập xác định : D = R * y= sin x − cos x  y ( sin x + cos x − ) = sin x − cos x  ( y −...  m   ( ) ( ) 31 (1) Giải tích 12 ( Gv : Dư Quốc Đạt ) ( )  + m2 ( m − 12 ) = 26m  m3 −12m2 − 25m ? ?12 =  ( m + 1) m2 − 13m − 12 =  m = −1  m = 13  27 So với điều kiện (*) ta nhận giá... x =  cos x = −  + k y / = 2sin x + 2sin 2x = 2sin x (1 + 2cos x ) 2 2  x = k2  x =  + k2  x = + k2  x = − + k2 3 y / / = cos x + cos 2x * Tại x = k2 , ta : y/ / ( k2 ) = 2cos (