D38 - Câu 38-TÍCH-PHÂN-CƠ-BẢN-KẾT-HỢP - Muc do 1

x f '( x) = ò f ( x)dx f (0) = + x + f ( x ) x >1 Câu Cho hàm số có với Khi - 113 - 113 A 30 B C D 30 Lời giải Chọn D f ( x) = ò f '( x )dx = ị Ta có x x ( x +1 - 1) dx = ò dx = ò ( x +1 - 1) dx x +1- 1 + x +1 ( x +1)3 - x + C 2 f (0) = Þ C = f ( x) = ( x +1) - x 3 Do Vậy suy = 3 0 ỉ 113 ( x +1)3 - x÷ dx = ÷ ÷ ø 30 ị f ( x)dx = ũỗỗỗố3 Khi ú Cõu Cho hm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( − x) = f ( x) Biết ∫ xf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx A B C 11 D Lời giải Chọn A Ta có 3 1 = ∫ xf ( x ) dx = ∫ xf ( − x ) dx x = − t t = 4− x ⇒  dx = −dt Đặt x = ⇒ t =  Đổi cận ta có  x = ⇒ t = Do Suy 3 ∫ x f ( − x ) dx = − ∫ ( − t ) f ( t ) dt = ∫ ( − t ) f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt − ∫ t f ( t ) dt 1 3 1 = ∫ f ( t ) dt − ⇒ ∫ f ( t ) dt = 10 ⇒ ∫ f ( t ) dt = hay ∫ f ( x ) dx = f ( x) I =∫ dx 1 x f ( x ) + f  ÷ = 3x y = f ( x)  x Câu Cho hàm số liên tục ¡ Tính I= I= 2 A B I = C D I = −1 Lời giải Chọn A 1 t= ⇒x= x t Đặt , tính 1 1 1 f  ÷+ f ( t ) = ⇒ f ( x ) + f  ÷ = ⇔ f ( x ) + f  ÷ = (1) t x x x x Ta có:  t  1 f ( x ) + f  ÷ = 3x  x Theo đề: (2) Từ (1) (2) suy f ( x) = ⇒I =∫ Câu f ( x) − 3x ⇒ = −1 x x x f ( x)     dx = ∫  − 1÷dx =  − − x ÷ = x   x  1 x 2 Biết , với dx ∫1 x x + + ( x + ) x = a + b − c a+b+c A , , số nguyên dương Giá trị a b c B C 46 D 22 Lời giải Chọn B Ta có ∫ =∫ ( dx dx =∫ x x + + ( x + 2) x x x+2 x+2+ x ( x+2− x ) dx = ∫  −  = ÷dx x+2  2 x x x+2 Vậy ; ; nên a=2 b=3 c=3 P = a+b+c =8 1 Câu Cho hàm số f ( −3) − f ( 3) = f ( x) xác định Tính giá trị biểu thức 1 ln + A ¡ \ { −2;1} ( x − x+2 thỏa mãn Ta có 1 1  =  − ( x − 1) ( x + )  x − x + ÷ I = f ( −3) − f ( −4 ) = ∫ −4 J = f ( ) − f ( −1) = = + −3 x −1 f ′ ( x ) dx = ln x+2 x −1 ∫ f ′ ( x ) dx = ln x + −1 −1 −3 −4 = ln = − ln f ′( x) = 1 f ( 0) = x + x−2; 4 ln  ÷+ ln + C   Lời giải B ln 80 + −3 ) T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) Chọn A f ′( x) = ) 8 ln  ÷ + D   x −1 K = f ( ) − f ( 3) = ∫ f ′ ( x ) dx = ln x+2 = ln − I − J − K = f ( −4 ) − f ( −3) + f ( −1) − f ( ) + f ( 3) − f ( ) =  f ( −4 ) + f ( −1) − f ( )  − f ( ) −  f ( −3) − f ( 3)  f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) = − I − J − K + f ( ) +  f ( −3) − f ( 3)  1 T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) = − ln + ln − ln + = ln + 3 3 Câu Cho hàm số f ( −3) − f ( 3) = f ( x) xác định Tính giá trị biểu thức 1 ln + A ¡ \ { −2;1} thỏa mãn f ′( x) = T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) 1 f ( 0) = x + x−2; 4 ln  ÷+ ln + C   Lời giải B ln 80 + 1 8 ln  ÷ + D   Chọn A Ta có f ′( x) = 1 1  =  − ( x − 1) ( x + )  x − x + ÷ I = f ( −3) − f ( −4 ) = −3 ∫ −4 x −1 f ′ ( x ) dx = ln x+2 x −1 J = f ( ) − f ( −1) = ∫ f ′ ( x ) dx = ln x+2 −1 x −1 K = f ( ) − f ( 3) = ∫ f ′ ( x ) dx = ln x+2 −1 −3 −4 = ln = − ln = ln − I − J − K = f ( −4 ) − f ( −3) + f ( −1) − f ( ) + f ( 3) − f ( ) =  f ( −4 ) + f ( −1) − f ( )  − f ( ) −  f ( −3) − f ( 3)  f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) = − I − J − K + f ( ) +  f ( −3) − f ( 3)  1 T = f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) = − ln + ln − ln + = ln + 3 3 Câu −11 f (1) = f ( x ) 15 f ′( x ) = x x + 1, ∀x ∈ [1; +∞) Khi Cho hàm số có 115008 115 A B 525 ∫ f ( x)dx bằng? 115007 C 525 115 D Lời giải Chọn C f ( x) = ∫ x x + 1dx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx I = ∫ ( t − 1) t 2tdt = ∫ ( 2t − 2t ) dt = Ta có: ( x + 1) ( x + ) x + = + C 15  Thay x = vào f ( x) ⇔ → f ( x ) == ∫ 3 2t 2t 2t − +C = ( 3t − 5) 15 f (1) = −11 −11 ⇔ C+ = ⇔ C = −1 15 15 15 ( x + 1) ( 3x + ) x + − 15 f ( x) dx = ∫ ( ( x + 1) ( x + ) x + 115007 − 1)dx = 15 525 Câu Cho hàm số A I = f ( x) ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 thỏa mãn B I = f ( 1) − f ( ) = C I = −12 Lời giải I = ∫ f ( x ) dx Tính D I = −8 Chọn D f ( x ) = ax + b ( a ≠ ) ⇒ f ′ ( x ) = a Gọi , Theo giả thiết ta có: +) +) 1 0 ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 ⇔ a ∫ ( x + 1) dx = 10 ⇔ ∫ ( x + 1) dx = f ( 1) − f ( ) = Do đó, Vậy f ( x) = 10 10 20 a ⇔ 2= a ⇒a=  20  ⇔  + b ÷− b = ⇔ b = − 34   20 34 x− 3  20 34  dx = −8 I = ∫ f ( x ) dx = ∫0  x − ÷  Câu Nếu f (1) = 12, f ′( x) liên tục A 19 B 29 ∫ f ′( x)dx = 17 Chọn B ∫ f ′( x)dx = f ( x ) Ta có ⇒ f ( ) = 17 + 12 = 29 = f ( ) − f ( 1) = 17 , giá trị f (4) C Lời giải D Câu 10 Cho hàm số A I = −12 f ( x) thỏa mãn B I = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 C I = f ( 1) − f ( ) = ∫ f ( x ) dx Tính D I = −8 Lời giải Chọn D Đặt u = x + du = dx ⇒  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Suy Khi 1 0 I = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx 10 = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy ∫ f ( x ) dx = −8 11 f ′( x) = f (1) = f ( x ) 12 Câu 11 : Cho hàm số có 29 A 20 B 20 x 1  , ∀x ∈  ; +∞ ÷ 4x +1 4  Khi 20 C Lời giải ∫ f ( x)dx bằng? 20 D 29 Chọn B t − tdt  2tdt = 4dx xdx  = ( t − 1) dt t = x + ⇔ t = x +  →  → f (x) = = t −t ∫ ∫ t 8∫ 4x +1 x =   Đặt     t3  ( x + 1) =  − t ÷+ C = − x + ÷+ C ÷ 8 8    11 11 f (1) = ⇔ C− = ⇔ C =1 12 12 12  Thay x = vào f ( x ) ⇔  → f ( x) =  8  ( x + 1)  1 f ( x ) dx = ( ∫1 ∫1     − x + ÷+ ÷  ( x + 1) 3  29 − x + ÷+ 1)dx = ÷ 20  x f '( x) = ò f ( x)dx f (0) = + x + f ( x ) x >1 Câu 12 Cho hàm số có với Khi - 113 - 113 A 30 B C D 30 Lời giải Chọn D Ta có = f ( x) = ò f '( x )dx = ò ( x +1)3 - x + C x x ( x +1 - 1) dx = ò dx = ò ( x +1 - 1) dx x +1- 1 + x +1 f (0) = Do 2 Þ C =0 f ( x) = ( x +1) - x 3 Vậy suy 3 ỉ 113 ÷ ị f ( x)dx = ũỗỗỗố3 ( x +1) - xứữ ữdx = 30 0 Khi Câu 13 Cho A I = ò f ( x)dx = 2018 Tính tích phân B I = 2018 I = ò[ f (2 x) + f (4 - x) ]dx C I = 4036 Lời giải D I = 1009 Chọn B Ta có 2 I = ị[ f (2 x) + f (4 - x) ]dx = ò f (2 x )dx +ò f (4 - x) dx = I1 + I 0 +Tính I1 = ị f (2 x) dx dt = dx Đặt Khi x = Þ t = 0; x = Þ t = t = x Þ dt = 2dx Þ Ta I1 = ò f (2 x )dx = 1 f (t )dt = ò f ( x)dx = 2018 =1009 ò 2 + Tính Đặt I = ị f (4 - x)dx t = - x Þ dt =- 2dx Þ - dt = dx Khi x = Þ t = 4; x = Þ t = 4 1 1 I = ò f (4 - x) dx =- ò f (t )dt = ò f (t )dt = ò f ( x)dx = 2018 =1009 2 Ta +Vậy I = I1 + I =1009 +1009 = 2018 1 f ( x ) + f  ÷ = x, x ≠ y = f ( x)  x Câu 14 Cho hàm số liên tục với x ≠ thỏa mãn Tính I= ∫ A f ( x) x dx I= B I= Chọn A 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x, x ≠ ( 1) x 1 f  ÷+ f ( x ) = , x ≠ ( ) x Nên  x  C Lời giải I= D I=   ÷ = + x  x  x ( 1) , ( ) ⇒  f ( x ) + f   1 ⇒ f ( x ) + f  ÷ = x + ( 3) x x ( ) , ( 3) ⇒ f ( x ) = − x + x f ( x) ⇒I =∫ x 2  2   dx = ∫  −1 + ÷dx =  − x − ÷ = x x   1 2 Câu 15 Cho tích phân A a − b = dx = a + b ln 2x + 3+ với a , b ∈ ¢ Mệnh đề sau đúng? B a − b = C a + b = D a + b = I =∫ Lời giải Chọn C Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = tdt Đổi cận: x = ⇒ t = x =4⇒t =3 3 dx tdt   I=∫ =∫ = ∫ 1 − ÷dt 3+ t  t + 3 + x + 1 Khi = ( t − 3ln t + ) = + 3ln a + b = Do Câu 16 Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( ln 3) = f ′( x) = e2 x ex + − ex + , ∀x ∈ ¡ Khi ln ∫e x f ( x ) dx −10 − 20 − 20 + 10 − 8 3 3 Câu 17 #A B C D Lời giải Chọn B f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Ta có =∫ Do ( e2 x e x + + e x + e x ( e x + 1) e2 x ex +1 − ex + ) dx = dx = ∫ ( e2 x e x + + e x + (e x ∫ e f ( x ) dx = ∫ ( e ln x Khi 0 2x  x ex  x x e + ÷dx = e + e + + C ∫  x e +1  f ( ln 3) = ⇒ C = −4 ⇒ f ( x ) = e x + e x + − ln + 1) − ( e x + 1) ) dx + 2e x ) ln 3 1  20 − e + − 4e dx =  e2 x + ( e x + 1) − 4e x ÷ = 3 2 0 x x π Câu 18 Cho hàm số π 1− A f ( x) f ( − x ) − f ( x ) = tan x liên tục ¡ Tính π π −1 1+ B C ∫ f ( x ) dx − π D 2− π Lời giải Chọn D π ∫ tan xdx = ⇒ 2− π =  ∫  cos π − π − Ta có π  − 1÷dx = ( tan x − x ) x  π − π  π = − −  −1 + ÷ = − π  4 π π ∫ 3 f ( − x ) − f ( x )  dx − π Đặt t = − x ⇒ dt = −dx , đổi cận π x=− π π π π ⇒t = x= ⇒t =− 4, 4 π π ∫ 3 f ( − x ) − f ( x )  dx = ∫ 3 f ( t ) − f ( −t )  dt = ∫ 3 f ( x ) − f ( − x )  dx − π − π π − π π π π π π ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − x ) dx ⇒ − = ∫ 3 f ( x ) − f ( x )  dx ⇔ − = ∫ f ( x ) dx − Suy ra, π − π − π − π π π ∫ f ( x ) dx = − Vậy − π Câu 19 Cho hàm số y= x x + f ( x) A f ( x) g ( x) xác định liên tục ¡ Gọi nguyên hàm hàm số 2 ò g ( x) dx =1 Biết 1,5 g ( 2) - g ( 1) = Tích phân x2 ị x + f ( x) dx C B D Lời giải Chọn B Vì g ( x) y= nguyên hàm hàm số Đặt I =ị x dx Þ I = ị xg ¢( x) dx x + f ( x) Khi I = xg ( x ) g ¢( x ) = nên x x + f ( x) 2 ïìï u = x Þ í ïï dv = g ¢( x ) dx Đặt î x x + f ( x) ïìï du = dx í ïï v = g ( x) î ò g ( x) dx = g ( 2) g ( 1) - = P = 2a − b + c x 1  , ∀x ∈  ; +∞ ÷ 4x +1 4  Khi 11 f ′( x) = f (1) = f ( x ) 12 Câu 20 Cho hàm số có 29 A 20 B 20 20 C Lời giải ∫ f ( x)dx bằng? 20 D 29 Chọn B t − tdt 2tdt = 4dx xdx  = ( t − 1) dt t = x + ⇔ t = x +  →  → f (x) = = t −t ∫ ∫ t 8∫ 4x +1 x =   Đặt    t3 1 =  − t ÷+ C = 8 8    − x + ÷+ C ÷  11 11 f (1) = ⇔ C− = ⇔ C =1 12 12 12  Thay x = vào f ( x) ⇔  1 → f ( x) = 8  ( x + 1) 3  1 ∫1 f ( x)dx = ∫1 (    ( x + 1)  − x + ÷+ ÷  ( x + 1) ∫ 3x + 3  29 − x + ÷+ 1)dx = ÷ 20  dx = a ln + b ln + c ln 3x + + , với a, b, c số hữu tỉ Câu 21 Biết Giá trị a + b + c 10 − − A B 10 C Lời giải D Chon A Đặt t = x + ⇒ t = 3x + ⇒ 2tdt = 3dx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 dx tdt   ∫1 3x + + 3x + + = ∫1 t + 5t + = ∫1  t + − t + ÷ dt = 23 3ln t + − ln t +  Ta có: 20 = ( 3ln − ln ) − ( 3ln − 2ln )  = − ln + ln + 2ln 3 20 a=− b= , , c = Suy ra: Vậy a+b+c = − 10 Câu 22 Cho hàm số tích y = f ( x) f − x) = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn ( Biết ∫ x.f ( x ) dx = Tính phân A I = ∫ f ( x ) dx I= 11 B I= C Lời giải I= D I= Chọn D f − x) = f ( x) f x = st Vì ( khơng phụ thuộc x nên chọn ( ) Chọn f ( x) = k f ( x) = Do mà 3 kx xf x dx = kxdx = = 4k = ⇒ k = ( ) ∫1 ∫1 3 5 → I = ∫ f ( x ) dx = ∫ dx = 41 ( ) a ( t ) = 2t + t m / s 10 m / s Câu 23 Một vật chuyển động với vận tốc tăng tốc với gia tốc Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bao nhiêu? 7900 m A ( ) 1600 m B ( ) 1300 m C ( ) Lời giải 3800 m D ( ) Đáp án D ( ) v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ 2t + t dt = t + t + C Vận tốc chuyển động có phương trình C = 10 ⇒ v ( t ) = t + t + 10 Tại thời điểm vận tốc 10m/s Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc S= 10  ∫  t  3800 + t + 10 ÷ = ( m) 3  Câu 24 Cho hàm số A e + y = f ( x) f ′ ( x ) = xe x thỏa mãn f ( 0) = ∫ f ( x ) dx Tính C e + Lời giải B −8 D Chọn D Ta có f ( x) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x.e x dx x Đặt u = x dv = e dx , ta có du = dx v = e x Do f ( x) = ∫ f ′ ( x ) dx = x.e x − ∫ e x dx = x.e x − e x + C f = ⇔ = −1 + C ⇔ C = Theo đề: ( ) x x ⇒ f ( x ) = x.e − e + Khi ∫ 2 0 f ( x ) dx = ∫ ( x.e x − e x + ) dx = ∫ x.e x dx + ∫ ( −e x + ) dx = ( x.e x − e x ) + ( −e x +3x ) = 2 0 f ( x) a a dx = π + ln c + a , b , c x b , với số nguyên dương b phân số tối giản Tính P = a.b.c A P = 48 B P = 24 C P = 12 D P = Lời giải π ∫π Chọn A ( ) f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x sin x − 2sin x cos x dx Ta có = ∫ x sin xdx − ∫ sin xdx = ∫ x ( − cos x ) dx + cos x + C = ∫ xdx − ∫ x cos xdx + cos x + C u=x   du = dx ⇒  Đặt dv = cos xdx v = sin x ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C1 Suy 1 f ( x ) = x − x sin x − cos x + cos x + C + C1 = x − x sin x + C2 2 Do ( ) = ⇒ C2 = ⇒ f ( x ) = x − x sin x + Vì Khi đó, ta có ∫ π π f ( x) x π  x2  1  dx = ∫ π  x − sin x + ÷dx =  + cos x + ln x ÷ x 2  2 π π π2  π2 π = + + ln π ÷−  − + ln ÷ = π + ln + 2  2   Suy a = 3, b = 8, c = Vậy P = a.b.c = 48 f ( x) f ′( x ) f ′( x) −2;6] Câu 62 Cho hàm số có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị đoạn [ hình bên Khẳng định đúng? A C f ( −2 ) < f ( −1) < f ( ) < f ( ) f ( −2 ) < f ( ) < f ( −1) < f ( ) Chọn B Dựa vào đồ thị hàm [ −2;6] sau: f ′( x) B D Lời giải đoạn [ −2;6] f ( ) < f ( −2 ) < f ( −1) < f ( ) f ( ) < f ( ) < f ( −2 ) < f ( −1) ta suy bảng biến thiên hàm số f ( x) đoạn  f ( −2 ) < f ( −1)   f ( ) < f ( −1)  f ( 2) < f ( 6) Dựa vào bảng biến thiên ta có  nên A, D sai f ( −2 ) f ( 2) Chỉ cần so sánh xong Gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng tơ đậm hình vẽ Ta có: S1 = −1 ∫ f ′ ( x ) dx = −2 S2 = −1 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( −1) − f ( −2 ) −2 2 −1 −1 ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx = f ( −1) − f ( ) Dựa vào đồ thị ta thấy S1 < S2 nên f ( −1) − f ( −2 ) < f ( −1) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) > f ( ) ∫0 f ( x)dx = A , B f ( x ) = A sin π x + B f '(1) = Câu 63 Tìm hai số thực cho , biết  A = −2 A =  A = −2     A = − π     B = − B = − B =    B = π π π A  B  C  D  Lời giải f ( x) = A sin π x + B ⇒ f '( x) = A cos π x f '(1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A = − ∫ 2 π f ( x)dx = ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = ⇒ − A A cos 2π + B + cos = ⇒ B = π π Chọn D I = ∫ f ( x)dx x −1 Câu 64 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ , thỏa mãn f ( − x ) + 2020 f ( x ) = e Tính e2 − e2 − e2 − I= I= I= 2021e 2020e e A B C I = D Lời giải Chọn A Đặt t = − x ⇒ dx = − dt Khi I= 1 −1 −1 ∫ f (−t )dt = ∫ f (− x)dx 1 e2 − I + 2020 I = ∫ ( f ( − x ) + 2020 f ( x))dx = ∫ e dx = e −1 −1 Suy x Do 2021I = e2 − e2 − ⇒I= e 2021e 2( x + 2) + 23 ′ f x = ( ) f ( 0) = f ( x) ( x + 2)3 Khi Câu 65 Cho hàm số có 57 23 49 A B C Lời giải Chọn A Ta có: f ′( x) = ∫ f ( x ) dx 55 D 2( x + 2) + ( x + 2)3 ⇒ I = f ( x) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 2( x + 2) + 2 dx = ∫ (2( x + 2) + )dx ( x + 2) ( x + 2)3 Đặt t = x + ⇒ dt = dx ⇒ I = ∫ (2t + )dx = t − + C t t ⇒ f ( x) = ( x + 2) − +C ( x + 2) f ( 0) = Mà 23 23 ⇒ (0 + 2) − +C = ⇒C =2 (0 + 2) ⇒ f ( x) = ( x + 2) − ⇒∫ 1 +2 ( x + 2) 2   ( x + 2)3 57 f ( x ) dx = ∫  ( x + 2) − + dx = + + 2x = ÷ ( x + 2) x+2  1 Câu 66 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số π  2 −8 F  ÷= A   f ( x) = π  2 +8 π  −8 F  ÷= F  ÷= 3 B   C   Lời giải Chọn B Ta có: π π sin x + cos x π  dx = F  ÷− F ( ) + sin x 2 ∫ f ( x)dx = ∫ sin x + cos x π  F ÷ + sin x F (0) = Tính   Đặt t = + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π  +8 F  ÷= D   π ∫ π π sin x + cos x 2sin x + f ( x )dx = ∫ dx = ∫ cos xdx + sin x 0 + sin x = ∫ 2  2t  2(t − 1) + 2+2 2tdt = ∫ ( 2t -1) dt =  −t÷ = t  1 2+2 8+2 π  2+ 2 F  ÷= + F ( 0) = +2= 3 2 Câu 67 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 Lời giải D I = Chọn D du = dx u = x  ⇒  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  Đặt 1 1 1 1 I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx 20 20 20 Khi đó, Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Với x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = I = − ∫ f ( t ) dt = − = 40 Suy 1 f ( x ) + f  ÷ = x, x ≠ y = f ( x)  x Câu 68 Cho hàm số liên tục với x ≠ thỏa mãn Tính I= ∫ A f ( x) x dx I= B I= Chọn A 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x, x ≠ ( 1) x 1 f  ÷+ f ( x ) = , x ≠ ( ) x Nên  x    ÷ = + x  x  x ( 1) , ( ) ⇒  f ( x ) + f   1 ⇒ f ( x ) + f  ÷ = x + ( 3) x x C Lời giải I= D I= ( ) , ( 3) ⇒ f ( x ) = − x + ⇒I =∫ f ( x) x x 2  2   dx = ∫  −1 + ÷dx =  − x − ÷ = x x   1 2 2x f '( x ) = ,x > ∫ f ( x ) dx f x f =1 x + − 3x + Câu 69 Cho hàm số ( ) , biết ( ) , Khi bằng? 184 916 440 128 A B 81 C 27 D Lời giải Chọn B Biến đổi x 3x + + 2x 3x + +   2 f '( x ) = = = = 1 + = + ÷ 3 x + 1(3 x + − 1) 3x + 3x +  3 3x + 3x + 3x + − ( ( ) ) 22 x+ 3x + + C 33 f ( 1) = ⇒ C = − ⇒ f ( x) = Khi ∫ f ( x ) dx = 916 81 Câu 70 Tính tích phân 262 A 27 ∫ f ( x ) dx f '( x) = , biết 106 B 81 1 − ,x> f ( 1) = 3x + x − 118 106 C 27 D 27 Lời giải Đáp án: D Ta có 1 1 1   f ( x) = ∫  − dx − ∫ dx = 3x + − 2x −1 + C ÷dx = ∫ 3 3x + x −1  3x + x −  2 1 f (1) = ⇒ − + C = ⇒ C = f ( x) = 3x + − x −1 + 3 Do 3 Mà Vậy 1 ∫ f ( x ) dx = ∫  3x + − 1 2 106 x − + ÷dx = 3 27   x ∈  − ; +∞ ÷ y = f ( x) 0;+∞ ) (   thỏa mãn Câu 71 Cho hàm số liên tục nhận giá trị dương với f ( 1) = f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + , A I = e ( e4 − e2 ) ∫ Tính 3x +  23  I = e  e − 1÷   B f ( x) dx   I = e2  e − e ÷   C D I =e (e − e) Lời giải Chọn B f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + Ta biến đổi: f ′( x) ⇒ = f ( x) 3x + Ta lấy nguyên hàm hai vế: ∫ f ′( x) dx = ∫ dx f ( x) 3x + d  f ( x )  ⇒∫  =∫ dx ⇔ ln f ( x ) = x + + C f ( x) 3x + ⇒ f ( x) = e ⇒ f ( x) = e x +1+ C x +1− 3 I =∫ t= Đặt 3x + =1⇒ C = − f ( x) Từ tính , ta lại có f ( 1) = ⇔ e +C dx = ∫ e3 3 x +1 − 3x + dx x + − ⇒ dt = dx 3 3x + , 4 2   ⇒ I = ∫ e t dt = e t = e − e = e  e − ÷ 2   3 Câu 72 Cho hàm số y = f ( x) f ( x5 + x + 3) = x + xác định liên tục ¡ , thỏa với x ∈ ¡ Tích phân ∫ f ( x ) dx −2 A 10 32 C B D 72 Lời giải ⇒ dx = ( 5t + ) dt Đặt x = t + 4t + Với x = −2 ⇒ t = −1 ; x = ⇒ t = Vậy ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t −2 −1 + 4t + 3) ( 5t + ) dt =  5t 1 32 = + t + 4t + 4t ÷ = − = 10   −1 3 ∫ ( 2t + 1) ( 5t −1 + ) dt = ∫ ( 10t −1 + 5t + 8t + ) dt π Câu 73 Cho hàm số π2 −2 A f ( x) f ( 0) = Biết π + 8π − B f ′ ( x ) = 2sin x + 3, ∀∈ ¡ , ∫ f ( x ) dx π + 4π − D π + 8π − C Lời giải: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 2sin x + 3) dx = ∫ ( − cos x ) dx = x − sin x + C Ta có: f ( ) = ⇔ 4.0 − sin + C = ⇔ C = Mặt khác, ta có: 2 ⇒ f ( x ) = x − sin x + π π π + 8π −   ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  x − sin x + ÷dx =  0 Chọn C ln Câu 74 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ Biết ∫ f ( e x ) dx = ∫ ( x − ) f ( x ) dx = 10 x Tính I = ∫ f ( x ) dx B I = 18 A I = C I = 14 Lời giải D I = Chọn B t = e x ⇒ dt = e x dx ⇒ dx = dt t Đặt Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ln ⇒ t = ln ∫ Do Ta có ∫ f ( e x ) dx = ⇔ ∫ ( x − ) f ( x ) dx = x f ( t) t dt = ⇒ ∫ f ( x) x dx =  f ( x)  ∫1  f ( x ) − x  dx ⇔ 10 = ∫ f ( x ) dx − 2.4 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 18 1 2 Câu 75 Cho hàm số f ( x) f ( 3) = 21 liên tục ¡ , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( 3x ) dx A I = 15 B I = 12 Chọn D du = dx u = x  ⇒  dv = f ′(3 x )dx v = f (3x )  Đặt C I = Lời giải D I = 11 1 I = x f (3 x) − ∫ f (3 x )dx = f (3) − ∫ f ( x )dx = 03 3 90 Suy Vậy I = Câu 76 Cho hàm số Tính S= f ( x) xác định ¡ \ { 1} thỏa mãn f ′( x) = x − , f ( −1) = ln , f ( 3) = 3ln f (0) f (5) A S = 5ln C S = ln B S = S = 5ln D S = ln Lời giải Chọn D ln ( x − 1) + C1 x > 1 = f ( x) = ∫ dx x − = ln x − + C ln ( − x ) + C2 x < Ta có f ( −1) = ln ⇒ ln ( − (−1) ) + C2 = ln ⇒ C2 = ln Lại có f ( 3) = 3ln ⇔ ln ( − 1) + C1 = 3ln ⇒ C1 = ln f (0) f (5) S= = ln Do ∫ Câu 77 Cho A 18 f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x + ) dx = 12 Khi B 12 ∫ f ( x ) dx C Lời giải D 10 Chọn A Đặt t = 5x + ⇒ dt = 5dx ( Với x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 12 ) ⇒ ∫ f ( x + ) dx = Vậy ta có 12 12 f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = 15 ∫2 12 12 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + 15 = 18 Câu 78 Cho A + ln F ( x) nguyên hàm hàm số B ln f ( x) = + x, ∀x > −1 F ( 0) = F ( 1) x +1 , biết Giá trị C + ln Lời giải Chọn D   F ( x) = ∫  + x ÷dx = ln x + + x + C  x +1  Ta có: F ( x ) = ln ( x + 1) + x + C Do ∀x > −1 nên F ( ) = ln ( + 1) + + C = ⇔ C = Ta lại có: F ( x ) = ln ( x + 1) + x ⇒ F ( 1) = ln ( + 1) + 12 = ln + Vậy D + ln ∫ x ln ( x Câu 79 Biết thức T = a + b + c A T = −2 + 16 ) dx = a ln + b ln + c B T = 16 a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu C T = Lời giải D T = −16 Chọn D 3 3 x2 x3 16 x   x ln x + 16 d x = ln x + 16 − dx = ln 25 − ∫  x − ( ) ( ) ÷dx ∫0 ∫ x + 16 x + 16  0  x2  9 = 9.ln −  − 8ln ( x + 16 )  = 9.ln − + 8.ln 25 − 8.ln16 = 25.ln − 32.ln − 2 2 0 Suy a = 25, b = −32, c = −9 Vậy T = a + b + c = −16 Câu 80 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số π  2 −8 F  ÷= A   f ( x) = sin x + cos x π  F ÷ + sin x F (0) = Tính   π  2 +8 F  ÷= B    π  −8 F  ÷= C   π  +8 F  ÷= D   Lời giải Chọn B Ta có: π π sin x + cos x π  dx = F  ÷− F ( ) + sin x 2 ∫ f ( x)dx = ∫ Đặt t = + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π π sin x + cos x 2sin x + dx = ∫ cos xdx + sin x + sin x 0 ∫ f ( x)dx = ∫ = π ∫ 2  2t  2(t − 1) + 2+ 2 2tdt = ∫ ( 2t -1) dt =  −t ÷ = t  1 2+2 8+2 π  2+ 2 F  ÷= + F ( 0) = +2= 3 2 Câu 81 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số π  2 −8 F  ÷= A   f ( x) = π  2 +8 F  ÷= B   sin x + cos x π  F ÷ + sin x F (0) = Tính    π  −8 F  ÷= C   Lời giải Chọn B Ta có: π π sin x + cos x π  dx = F  ÷− F ( ) + sin x 2 ∫ f ( x)dx = ∫ π  +8 F  ÷= D   Đặt t = + sin x ⇒ 2tdt = cos xdx π ∫ π π sin x + cos x 2sin x + f ( x )dx = ∫ dx = ∫ cos xdx + sin x + sin x 0 ∫ = 2  2t  2(t − 1) + 2+ 2 2tdt = ∫ ( 2t -1) dt =  −t ÷ = t  1 2+2 8+2 π  2+ 2 F  ÷= + F ( 0) = +2= 3 2 f ′( x) = , ∀x > f ( x) f ( 1) = 2 x + 1) x − x x + ( Câu 82 Cho hàm số có Khi A 3− 14 B 3+ 10 C Lời giải 3− 10 D 3+ ∫ f ( x ) dx 10 − 3 Chọn C f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Ta có =∫ ( Mà Vậy ) x + + x dx x + x f ( 1) = 2 nên 2 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( =∫ ( x + 1) dx dx =∫ x − x x +1 x + x x + − x ( ) dx dx +∫ x +1 x = x +1 + x + C C = −2 ⇒ f ( x ) = x + + x − 4  32 10 2 x + + x − dx =  ( x + 1) + x − x  = − 3 3 1 ) 2x 28 f ′( x ) = , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) f (3) = ∫3 f ( x)dx f ( x ) x − Câu 83 Cho hàm số có Khi bằng? 809 808 807 808 A 15 B 15 C 15 D 17 Lời giải Chọn B Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = dx I =∫ ( t + 2) 2tdt = ∫ ( 4t + ) dt = t Khi = x − ( x + ) + C 4t + 8t + C = t ( t + ) + C 3 28 28 28 f (3) = ⇔ C+ = ⇔C=0 f ( x ) ⇔ 3  Thay x = vào → f ( x) = x − ( x + 4) 6 808 4  ∫3 f ( x)dx = ∫3  x − ( x + ) ÷dx = 15  Câu 84 Cho hàm số ∫ y = f ( x) 1 1  f ( x ) + f  ÷ = 3x x ∈  ; 2  x   Tính liên tục thỏa mãn với f ( x) dx x A B C Lời giải − D − Chọn A 1 1 f ( x ) + f  ÷ = x ⇒ f  ÷+ f ( x ) = x từ ta có hệ phương trình: x  x Ta có  1  f ( x ) + f  x ÷ = x   ⇒ f ( x) = − x  x f ( x) 4 f ( x ) + f  ÷ = ⇒ = −1 x x    x x I =∫ f ( x)   dx = ∫  − 1÷dx = x  1 x 2 Do Cách khác: f ( x) I =∫ dx 1 1 x t = ⇒ x = ⇒ dx = − dt x = ⇒ t = x= ⇒t =2 x t t 2, 2 Tính , đặt ; 1 1 2 f  ÷ f  ÷ 1 t x I = ∫ f  ÷dt = ∫   dt = ∫   dx t x t t 1 2 Suy 1 2f  ÷ f x ( ) + x =3 1 f ( x ) + f  ÷= 3x ⇒ x x x Theo giả thiết 3I = ∫ Vậy f ( x) f ( x) + dx = ∫ 3dx = ⇒ I = x x 2 Câu 85 Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ' ( x ) = ( x + 1) e x , f ( ) = ln ∫ f ( x)dx = a ln + b ln + c Tính a + b + c B a + b + c = C a + b + c = Lời giải Khi A a + b + c = ln Chọn D Theo đề: f ' ( x ) = ( x + 1) e x Nguyên hàm vế ta ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( x + 1) e dx ⇔ f ( x ) = ( x + 1) e − ∫ e dx x x x ⇒ f ( x ) = ( x + 1) e x − e x + C = xe x + C Mà f ( ) = ⇒ 0.e0 + C = ⇔ C = ⇒ f ( x ) = xe x D a + b + c = ln ⇒ ∫ ln f ( x )dx = ln ∫ xe dx = x e x x ln ln ln ln ∫ e dx = 3ln − ln − e − x x ln ln ln = 3ln − ln − Suy a = 3; b = −2; c = −1 ⇒ a + b + c = Câu 86 Cho ∫ f ( x ) dx = −1 I= Tính A I = B I= ∫ f ( x + 1) dx −1 C I = Lời giải D I= Chọn A ⇒ dx = dt Đặt t = x + ⇒ dt = 2dx Với x = −1 ⇒ t = −1 , với x = ⇒ t = I= Khi ta có 5 1 ∫−1 f ( x + 1) dx ⇒ I = −∫1 f ( t ) dt = −∫1 f ( t ) dt = −∫1 f ( x ) dx = 12 = Câu 87 Cho hàm số 808 A 15 f ( x) có f (3) = 28 f ′( x ) = B 809 15 2x , ∀x ∈ ( 2; +∞ ) x−2 C 807 15 Khi bằng? ∫ f ( x)dx D 808 17 Lời giải Chọn A Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = dx f ( x ) = ∫ f ′( x )dx = ∫ Khi Vì f (3) = Vậy ∫ 2(t + 2) 4 ×2tdt = ∫ (4t + 8)dt = t + 8t + C = ( x + 4) x − + C t 3 28 ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ( x + 4) x − 3 f ( x)dx = ∫ ( Câu 88 Cho hàm số số Khi A a + b = 808 x − ( x + ) )dx = 15 y = f ( x) thỏa mãn B a + b = f ' ( x ) = ( x + 1) e x ∫ f ( x ) dx = ( ax + b ) e C a + b = Lời giải: Chọn C Ta có: f ' ( x ) = ( x + 1) e x ⇒ f ( x ) = x.e x Khi đặt I = ∫ xe dx x +C , với a, b, C D a + b = Đặt u = x du = dx ⇒  x x ⇒ I = xe x − ∫ e dx = xe x − e x = ( x − 1) e x + C dv = e dx v = e Do a = 1, b = −1 ⇒ a + b = f ( x) = Câu 89 Cho số thực a , b khác không Xét hàm số a ( x + 1) + bxe x với x khác −1 Biết f ′ ( ) = −22 ∫ f ( x ) dx = Tính a + b ? B A 19 C D 10 Lời giải Chọn D f ′( x) = Ta có Xét 5=∫ −3a + be x + bxe x f ′ ( ) = −3a + b = −22 ( 1) nên  1  a + bxe x  dx = a ( x + 1) −3 d ( x + 1) + b xd ( e x ) f ( x ) dx = ∫  ∫0 ∫0  0  ( x + 1) ( x + 1)  x1 x  1 a | + b  xe − ∫ e dx  = −  − 1÷+ b  e − e x  = 3a + b  0 ( x + 1) ( 2)    24   −3a + b = −22  a =  3a ⇔ + b =  ( 1) ( ) ta có  b = ⇒ a + b = 10 Từ a =− f ′( x) x = f ( x) f ( 0) = f x Câu 90 Giả sử hàm số liên tục, dương ¡ ; thỏa mãn ( ) x + Khi đó, hiệu ( ) T = f 2 − f ( 1) A ( 2;3) thuộc khoảng ( 7;9 ) B Chọn Ta có C Lời giải C ∫ ( ( 0;1) D ( 9;12 ) ) d ( f ( x) ) d x +1 f ′( x) x dx = ∫ dx ⇔ ∫ = ∫ f ( x) f ( x) x2 + x2 + ( ) ln ( f ( x ) ) = ln x + + C f ( 0) = ⇔ C = f ( x ) = x2 + Vậy , mà Do Nên ( ) f 2 = 3; f ( 1) = 2 ⇒ T = − 2 ∈ ( 0;1) Câu 91 Cho A I = Chọn C ∫ f ( x ) dx = Tính I =∫ B I = f ( x ) dx x C I = Lời giải D I= Đặt t = x ⇒ dt = f I =∫ ( x ) dx = x Câu 92 Biết A S = x dx ; đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 1 ∫ f ( t ) 2dt = 2∫ f ( t ) dt = 2.2 = dx ∫ ( x + 1)( x − 2) = a ln + b ln + c B S = , với a, b, c số hữu tỉ Tính S = a − 3b + c C S = −2 D S = Lời giải Chọn B β Áp dụng công thức giải nhanh: Ta có: dx ∫ ( x + 1)( x − 2) = −3 ln dx ax + b I =∫ = ln ad − bc cx + d α ( ax + b)(cx + d ) x +1 x−2 β α = − ln = − (ln − 3ln 2) = ln − ln = a ln + b ln + c 3 a = 1; b = − ; c = ⇒ a − 3b + c = + = Suy Câu 93 Cho hàm số A I = −12 f ( x) thỏa mãn B I = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 C I = 1 f ( 1) − f ( ) = ∫ f ( x ) dx Tính D I = −8 Lời giải Chọn D u = x + du = dx ⇒  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Đặt  Khi Suy I = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx 1 0 10 = f ( 1) − f ( ) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy ∫ f ( x ) dx = −8 Câu 94 Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ( ln 3) = f ′( x) = e2 x ex + − ex +1 , ∀x ∈ ¡ Khi ln3 ∫e x f ( x) dx −10 − A 20 − B 20 + C Lời giải Chọn B 10 − D f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Ta có =∫ Do ( e2 x e x + + e x + e x ( e x + 1) e2 x ex +1 − ex + ) dx = dx = ∫ ( e2 x e x + + ex + (e x ∫ e f ( x ) dx = ∫ ( e Khi + 2e 2x x x x ln ) f ′( x ) = f ( 0) = Câu 95 Cho hàm số f ( x) có 1 x + − x x + Khi 2+4 B 2−4 A 1  20 − e + − 4e dx =  e x + ( e x + 1) − 4e x ÷ = 3 2 0 ln x  x ex  x x e + ÷dx = e + e + + C ∫  x e +1  f ( ln 3) = ⇒ C = −4 ⇒ f ( x ) = e x + e x + − ln + 1) − ( e x + 1) ) dx ∫ xf ( x ) dx 3− 2 C bằng: 3+ 2 D Lời giải Chọn D f ′( x) = Xét x +1− x x +1 2  ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 1 + Suy Mà x +1 ( x +1 − x ) = x2 + + x = 1+ x +1 x x +1  dx = x + x + + C ÷ x +1  x f ( x ) = x + x2 +1 + C f ( 0) = ⇒ = + C ⇔ C = ∫ xf ( x ) dx = ∫ ( = ) Do x x + x + x x + dx = 2 f ( x ) = x + x2 + + +x + ( x +1 ) 31 1 3+ 2 = +1+ 2 −1 = 3 ( ) ... 15 f (1) = ? ?11 ? ?11 ⇔ C+ = ⇔ C = ? ?1 15 15 15 ( x + 1) ( 3x + ) x + − 15 f ( x) dx = ∫ ( ( x + 1) ( x + ) x + 11 5007 − 1) dx = 15 525 Câu Cho hàm số A I = f ( x) ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 thỏa... + C x x ( x +1 - 1) dx = ò dx = ò ( x +1 - 1) dx x + 1- 1 + x +1 f (0) = Do 2 Þ C =0 f ( x) = ( x +1) - x 3 Vậy suy 3 ỉ 11 3 ÷ ị f ( x)dx = ũỗỗỗố3 ( x +1) - xứữ ữdx = 30 0 Khi Câu 13 Cho A I =... ) + f ( ? ?1) − f ( ) = − ln + ln − ln + = ln + 3 3 Câu ? ?11 f (1) = f ( x ) 15 f ′( x ) = x x + 1, ∀x ∈ [1; +∞) Khi Cho hàm số có 11 5008 11 5 A B 525 ∫ f ( x)dx bằng? 11 5007 C 525 11 5 D Lời