Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học : 2011-2012 MƠN: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) a) Cho x 1 1 1 Tính giá trị biểu thức A x4 x3 x2 2x 1 2012 b) Chứng minh biểu thị P n3. n2 7 36n chia hết cho với số nguyên n Câu (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y x Tìm đường thẳng điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức y2 3y x 2x b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y ax b Tìm a, b để d qua điểm B(1;2) tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình y 2x2 Câu (4,0 điểm) x y x y a) Giải hệ phương trình b) Gọi x1;x2 hai nghiệm phương trình 2012x 20a 11 x 2012 (a số thực) x x 1 Tìm giá tri nhỏ biểu thức P x1 x2 2 x1 x2 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực a, b, c cho 1 a,b,c Chứng minh a b c 10 a b c 1 b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có học sinh tham gia trị chơi ném bóng vào rổ học sinh ném tất 100 bóng vào rổ Số bóng ném vào rổ học sinh khác Chứng minh có học sinh ném tổng số bóng vào rổ khơng 50 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường trịn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB đường thẳng AC D E (D E khác điểm A) a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng MA vng góc với DE b) Chứng minh điểm B, E, D, C thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn qua điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH hình ? · · c) Đặt ACB ;AMB Chứng minh sin cos 1 sin ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI NĂM 2011-2012 Câu a) Rút gọn x Thay x vào biểu thức A ta A = b) P n n3 7n 36 n n3 7n 6 n3 7n 6 n n3 n2 n2 n 6(n 1) n3 n 6 n 1 n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Ta có P tích số ngun liên tiếp nên chia hết cho Câu a) Điều kiện x Tọa độ M (x;y) nghiệm hệ phương trình x y x Vậy M (1;2) y 3y x 2x y b) Vì đường thẳng d qua B (1;2) nên b a Khi phương trình đường thẳng d có dạng y ax a Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: 2x2 ax a 0(1) (d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép a Với a = suy b = - Vậy a = 4; b = - thõa mãn yêu cầu toán Câu a) Ta xét hai trường hợp x 2y x 3 (thỏa mãn điều kiện) x y y TH1: y ta có hệ phương trình x x 2y TH2: y ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện ) x y x 4 4 Vậy nghiệm hệ phương trình 3;4 ; ; 3 b) Ta có ac nên phương trình cho ln có hai nghiệm trái dấu 20a 11 ; x1x2 1 Ta có : x1 x2 2012 x1 x2 P x x x x Do 2 (do x1.x2 1 2 2 2 x1 x2 x1 x2 6 x1 x2 x1 x2 4x1.x2 2 20a 11 20a 11 ;x1.x2 1) 24 với a 6 24 (do x1 x2 2012 2012 11 Vậy GTNN P = 24 Dấu “=” xảy a 20 Câu a) a b c 10 a b c b c a a b c 1 a b c b c a Khơng tính tổng qt , giả sử a b c Khi ta có a b b c Suy ab bc b2 ca a a b c c b 1 ; 1 c b c a b a a b c b c a a c Suy 2 2 b c a a b c c a a c Ta cần chứng minh 2 c a 2a 2c Tức chứng minh 1 1 0(*) a c Từ suy a c c a Bất đẳng thức (*) ln a c 1 1; Từ suy điều phải chứng minh b) Gọi số bóng ném vào rổ học sinh a1;a2;a3; ;a7 xếp từ nhỏ đến lớn a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 (1) Xét hai trường hợp: TH1: a5 16 Suy a6 17;a7 18 Do ta có a5 a6 a7 51 (2) TH2: a5 15 suy a4 14;a3 13;a2 12;a1 11 Ta có a1 a2 a3 a4 50 Suy a5 a6 a7 50(3) Từ (2) (3) ta có điều phải chứng minh Câu · a) Do DAE 900 nên DE đường kính đường trịn tâm H, bán kính HA suy D, H, E thẳng hàng · · · · Ta có : MAE MCA HAD ADE · · · · Vì ADE AED 900 nên MAE AED 900 Suy MA vng góc với DE · · b) Từ ADE suy tứ giác DBEC nội tiếp đường trịn (O) MCA Do OM vng góc với BC AH vng góc với BC nên AH // OM Do OH vng góc với DE AM vng góc với DE nên OH // AM Vậy tứ giác AMOH hình bình hành c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM AH AC.sin BC.sin.cos (2) Mặt khác sin 2.sin.cos Ta có : AH AM.sin BC.sin (1) Từ (1) (2) suy Ma` sin cos 1 2sin.cos (dpcm) ... phương trình (1) có nghiệm kép a Với a = suy b = - Vậy a = 4; b = - thõa mãn yêu cầu toán Câu a) Ta xét hai trường hợp x 2y x 3 (thỏa mãn điều kiện) x y y TH1: y
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:17
Xem thêm:
