PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ THỌ ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MƠN TỐN – Thời gian làm 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > a + b = 2 1 1 a b 12,5 a b Chứng minh : Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 2 1 1 E x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trung tuyến AD Gọi I, K trung điểm tương ứng MB, MC P, Q giao điểm tương ứng tia DI, DK với cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC , CA AB tương ứng h a , hb , hc Gọi O điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA AB tương ứng x , y z M Tính x y z hb hc BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 315 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 245 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=120k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=80k; 66 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Bài (3,5đ) Bài (2,5đ) Với n = ta có A(0) = 19 M19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có: A(k + 1) = 7.5 + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Ta có: 1,0 0,5 0,5 k 24 h 65 0,5 0,75 0,75 Vậy: n = 45 – 0,5 0,5 24 = 2001 0,5 0,5 Bài Nhận xét với x,y ta có: (3,0đ) x y x y xy x y x y xy x y 2 x y 0,5 1 1 a x ; b y b Đặt a ta : 2 0,5 2 1 1 1 1 1 ab 1 a b a b a b 1 a b 2 a b 2 ab ab a b 4ab ab Vì 2 1 1 1 a b 1 1 12,5 a b ab 4 Do : 0,75 0,5 0,75 Bài (3,0đ) 0,5 1 x y E ( x y ) y y x x Ta có 1 Áp dụng BĐT: a b a b với a > 0; b > 1,0 1 1 1 2 x y Ta có x y x y a b 2 Áp dụng BĐT: b a với a > 0; b > 1,0 0,5 x y x y y x Ta có y x Bài (4,0đ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức E = Dấu “=” xảy x = y = - Vẽ hình - Gọi E trung điểm AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào tam giác DPA, DAQ Suy ra: DI DE DK DP DA DQ - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK A Bài (4,0đ) Vẽ hình 0,5 1,5 1,5 0,5 0,5 x B C Xét hai tam giác ABC OBC ta có : BC.ha SABC = BC x SOBC = 0,5 (1) (2) x S OBC h S ABC a Từ (1)và (2) ta suy : y S COA hb S ABC Tương tự ta có 1,0 0,5 z S AOB h S ABC c : 0,5 M Từ tính : S BOC S COA S AOB S ABC S ABC S ABC =1 1,0 .. .90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MƠN TỐN NĂM HỌC 2011- 2012 Bài (3,5đ) Bài (2,5đ) Với n = ta có A(0) = 19 M 19 Giả... sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có:... + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Ta có: 1,0 0,5 0,5 k 24