083 đề HSG toán 9 kiên giang 2011 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/03/2012 Câu (4 điểm) a) Cho S  1 3 32  33  34   396  397  398  399 Chứng minh S chia hết cho 40 b) Rút gọn phân thức a3  b3  c3  3abc  a b   a c   b  c 2 Câu (4 điểm) a) Thực phép tính : 2  2  2  2 b) Cho a b c  0; a,b,c  Chứng minh đẳng thức 1 1 1      a2 b2 c2 a b c Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: 2x2  2x  1 4x   x   y   x  y   1 b) Giải hệ phương trình :  Câu (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I (I khác O) Vẽ đường kính CE a) Chứng minh ABDE hình thang cân b) Chứng minh AB2  CD2  BC2  DA  2R c) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F, cắt AC K Chứng A, B, K, F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Câu (3 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH.KM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1a       S   1      1       1    S   1     1    S  40. 1    S  1 31  32  33  34  35  36  37   396  397  398  399 3 4 8 96 96 96 Vậy S chia hết cho 40 1b Tử thức =  a b  3ab(a b)  c3  3abc  a b  c3  3ab.(a b)  3abc   a b  c  a b  (a  b)c  c2   3ab(a b  c)   =    a b  c  a  b  c    a b  c a2  2ab  b2  ac  bc  c2  3ab 2   ab  bc  ca Mẫu thức  a2  2ab  b2  a2  2ac  c2  b2  2bc  c2  2(a2  b2  c2  ab  bc  ca) Kết  a b  c với a2  b2  c2  ab bc  ca  2 Câu 2a Nhân số bị chia số chia với       2  2  2 4 2 4  2    2. 2 3  1    1 2         3   3  2 2   2.       3    Câu 2b Ta có: 1  1 1  1 1  a  b  c   a2  b2  c2  ab  ac  bc      1  c b a 1     2    a b c  abc  a b c 1 1 1  1 1  2 2         a b c a b c  a b c Câu 3a DK :4x  1  x  1 2x2  2x   4x   4x2  4x   4x   4x2    4x  1  (thỏa) 4x2    x0  4x   1  x   y   (1) x  y   1(2) Câu 3b  - Từ pt (2)  y   1 x   x  1 - Thế vào phương trình (1) ta có x   2 1 x  - x   2x  11   x  2x  x  3 (vì x  1 ) y   y  1 - Thế x= -3 vào pt (2) : y   1   y  1 2   - Vậy nghiệm hệ (-3 ; 3); (-3;-1) Câu a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AE  AC Mà BD  AC(gt)  AE / /BD  ABDE hình thang Mà ABDE nội tiếp đường trịn (O) nên ABDE hình thang cân b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  DEC vng D  ED2  CD2  EC2   2R   4R 2 Mà AB = ED (vì ABDE hình thang cân)  AB2  CD2  4R2 Chứng minh tương tự  BC2  DA  4R2  AB2  CD2  BC2  DA  8R  AB2  CD2  BC2  DA  2R c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC) Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy góc BAC = góc IAF  ABF cân A Mà AI đường cao , nên AI đường trung tuyến  IB  IF Chứng minh tương tự  IA  IK  ABKF hình bình hành Mà AK  BF nên ABKF hình thoi Câu - Xét KAH KMB ta có: Góc AKH = góc MKB = 900 Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc)  KAH KMB đồng dạng  KH AK   KH.KM  AK.KB KB KM Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương Ta có: AK.KB  AK  KB AB2  AK.KB  AB2 (không đổi) Dấu “ = “ xảy  AK  KB Do KH.KM  Vậy giá trị lớn KH.KM AB2 ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KIÊN GIANG NĂM 2011-2012 Câu 1a       S   1      1       1    S 