ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 12 x3 + 16 x − x − (x − x + 1) − x ( x − x + 1) + x 2 b) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = xy + yz + zx a b c a c b + + = + + b2 c2 a c b a a, b, c khác thỏa mãn : a=b=c Chứng minh b) Cho ba số x= y=z 2 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x − + x − = (1) a) Câu (4,0 điểm) b) 2 x+3 x − ( x − 9) =0 ÷ + 6 ÷ − x −4 x−2 x+2 a) Cho x, y > thỏa mãn x + y = 2 1 1 x+ ÷ +y+ ÷ ≥8 x y Chứng minh : 2015 A= , x −3 x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức với số nguyên Câu (6,0 điểm) ABCD ( AB / /CD, AB < CD ) Cho hình thang Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD AC cắt F cắt CD I Chứng minh rằng: DK = CI a) EF / / CD b) AB = CD.EF c) ĐÁP ÁN Câu a) 12 x3 + 16 x − x − = 12 x3 − x + 22 x − 11x + x − = x ( x − 1) + 11x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 11x + 3) = ( x − 1) ( x + x + x + 3) = ( x − 1) 3x ( x + 3) + ( x + 3) = ( x − 1) ( x + 1) ( x + 3) b) A= (x Đặt − x + 1) − x ( x − x + 1) + x 2 x2 − x + = y , ta có: A = x − xy + y = ( x − y ) ( x − y ) = ( x − x + x − 1) ( x − x + x − 1) = ( x − x + 1) ( x − x + 1) = ( x − 1) (x − x + 1) + 21 − 21 2 = ( x − 1) x − x − ÷ ÷ Câu x + y + z = xy + yz + zx a) Ta có: ⇒ x + y + z = xy + yz + zx ⇒ ( x − xy + y ) + ( y − yz + z ) + ( z − zx + x ) = ⇒ ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) = Ta có: Do ( x − y) 2 (1) ≥ 0, ( y − z ) ≥ 0, ( z − x ) ≥ 2 x − y = ( 1) ⇒ y − z = ⇒ x = y = z z − x = a2 b2 c2 a c b + + = + + b2 c a c b a ⇔ a 4c + b a + c 4b = abc ( a 2c + c a + b 2c ) b) Ta có: x = a 2c, y = b 2a, z = c 2b x + y + z = xy + yz + zx Đặt Ta được: Áp dụng kết câu a ta được: 2 ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) = ⇒ x = y = z ⇒ a 2c = b 2a = c 2b ⇒ ac = b ; bc = a ; ab = c ⇒ a = b = c (dfcm) Câu x − + x − = ( 1) a) Ta có: ( 1) ⇔ x − + − x = x − + − x ⇔ ( x − 1) ( − x ) ≥ a + b = a + b ⇔ ab ≥ (Áp dụng tính chất: ⇔ ≤x≤ 2 b) ) 2 x+3 x − ( x − 9) =0 ÷ + 6 ÷ − x −4 x−2 x+2 x ≠ ±2 (1) ĐKXĐ: 2 2 ( 1) ⇒ ( x + 3) ( x + ) + ( x − 3) ( x − ) − ( x − ) ( x − ) = ⇔ ( x + x + ) ( x + x + ) + ( x − 36 x + 54 ) ( x − x + ) − ( x − 63) ( x − ) = ⇔ 50 x3 − 350 x + 300 x = ⇔ x3 − x + x = x = (tm) ⇔ x = (tm) x = (tm) Câu a2 + b2 ≥ a) Bài toán phụ : Chứng minh ( a + b ) (1) ( 1) ⇔ 2a + 2b2 ≥ a + 2ab + b Chứng minh ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ ( a − b ) ≥ Áp dụng tốn phụ (1) ta có: 2 1 1 1 x+ ÷ +y+ ÷ ≥ x+ + y+ ÷ x y 2 x y Mà Với (2) 2 1 x+ y x + x + y + y ÷ = + xy ÷ = + xy ÷ x, y > 0 < xy ≤ ( x + y) ta có: ⇒ ≥ ⇒ ≥ xy ( x + y ) xy ( x + y ) (vì x + y = 2) (vì ( x − y) 2 ⇒ 2+ ÷ ≥ 2+ ≥ + ) = 16(Vi ÷ ( xy ( x + y ) ÷ 1 ⇒ x + + y + ÷ ≥ 16 (3) x y 2 1 1 x+ ÷ + y+ ÷ ≥8 x y Từ (2) (3) suy : 2015 B= x −5 x b) với số nguyên x > 3⇒ x −3> 0⇒ B > Xét x