163 đề hsg toán 8 huyện

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 12 x  16 x  x  x 2  x  1  x  x  x  1  x b) Câu (3,0 điểm) 2 a) Chứng minh rằng: Nếu x  y  z xy  yz  zx x  y z a b2 c a c b  2 2   c a c b a b) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn : b Chứng minh a b c Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: a) x   x  4 (1) Câu (4,0 điểm) 2  x 3  x    x  9 0    6   x  x  x      b) 2 1  1   x     y   8 x  y a) Cho x, y  thỏa mãn x  y 2 Chứng minh :  2015 A , x3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD  AB / / CD, AB  CD  Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK CI b) EF / /CD c) AB CD.EF ĐÁP ÁN Câu a) 12 x3  16 x  x  12 x3  x  22 x  11x  x  6 x  x  1  11x  x  1   x  1  x  1  x  11x    x  1  x  x  x  3  x  1  3x  x  3   x  3   x  1  x  1  x  3 x b) A= 2  x  1  x  x  x  1  x 2 Đặt x  x   y , ta có: A 4 x  xy  y  x  y   x  y   x  x  x  1  x  x  x  1  x  x  1  x  x  1  x  1 x  x  1  21    21  2  x  1  x  x       Câu 2 2 a) Ta có: x  y  z xy  yz  zx  x  y  z 2 xy  yz  zx   x  xy  y    y  yz  z    z  zx  x  0 2   x  y    y  z    z  x  0 2 (1) Ta có:  x  y  0,  y  z  0,  z  x  0  x  y 0  1   y  z 0  x  y z  z  x 0  Do a b2 c2 a c b      b2 c2 a2 c b a  a 4c  b 4a  c 4b abc  a 2c  c 2a  b 2c  b) Ta có: 2 2 2 Đặt x a c, y b a, z c b Ta được: x  y  z xy  yz  zx Áp dụng kết câu a ta được: 2  x  y    y  z    z  x  0  x  y z  a 2c b a c 2b  ac b ; bc a ; ab c  a b c (dfcm) Câu a) x   x  4  1 Ta có:  1  x    x  x    x   x  1   x  0 (Áp dụng tính chất: a  b  a  b  ab 0 )  x  2 2  x 3  x    x  9 0    6   x  x  x      b) (1) x  ĐKXĐ:  1   x  3  x     x  3  x  2   x    x   0   x  x    x  x     x  36 x  54   x  x     x  63  x   0  50 x3  350 x  300 x 0  x3  x  x 0  x 0 (tm)   x 1 (tm)   x 6 (tm) Câu a  b2  a) Bài toán phụ : Chứng minh 2 2 Chứng minh  1  2a  2b a  2ab  b  a  b  (1) 2  a  2ab  b 0   a  b  0 Áp dụng toán phụ (1) ta có: 2 1   1 1   x    y     x   y   x  y 2 x y  2 (2)  1  xy    x  x  y  y    xy    xy       (vì x  y 2) Mà  x  y  2  xy  x  y   x  y 4 xy ) x , y      Với ta có: (vì     xy  x  y  xy  x  y  2              16(Vi  xy    x  y    x  y 2)  1   x   y   16 (3) x y  2 1  1   x     y   8 x  y Từ (2) (3) suy :  2015 B x5 b) với x số nguyên Xét x   x    B  Xét x  x nên x   0;1;2 +Khi x 0  B  403 +Khi x 1  x 1  B  503,75 +Khi x 2  x 2  B  2015 Vậy B  2015  x 2 Câu B A F E D I K a) Tứ giác ABCK có: AB / /CK  AB / /CD, K  CD  ; AK / / BC  gt   ABCK hình bình hành  CK  AB  DK CD  CK CD  AB (1) C Chứng minh tương tự , ta có: DI  AB  IC CD  DI CD  AB (2) Từ (1) (2) suy DK IC AE AB  AB / / DK EK DK (3)  DEK b) có , theo hệ định lý ta let ta có: AF AB  (4) FIC có AB / / IC , theo hệ định lý Ta let ta có : FC IC Mà DK IC (câu a) (5) AE AF  EK FC Từ (3) (4) (5) suy AE AF   EF / / KC AKC có EK FC (Định lý Ta let đảo)  EF / / CD AB CK  c) Ta có: CD CD (vì AB CK ) (6) CK BE  (7) BCD có EK / / BC , theo định lý Ta let ta có: CD BD BE EF  BDI có EF / / DI , theo định lý Ta let BD DI mà DI = AB BE EF  (8) Suy BD AB AB EF    AB CD.EF CD AB Từ (6), (7), (8)