PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC Trường THCS Trung Nguyên ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2018-2019 Mơn Tốn Bài (2 điểm) ababab số có chữ số Chứng tỏ bội 3 2004 S = + + + + + b) Cho Chứng minh S chia hết cho 126 chia hết cho 65 Bài (2,0 điểm) x Tìm số tự nhiên biết: a ) x + ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + 2010 ) = 2029099 a) Cho ababab b)2 + + + + + x = 210 Bài (2,5 điểm) a) Tìm chữ số tận số sau: 102011 + b) Chứng tỏ rằng: chia hết cho 72 339 4931 ,322000 20 200315 1121 199 ; c) So sánh số sau: Bài (1,5 điểm) Khối trường chưa tới 400 học sinh, xếp hàng 10;12;15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối Bài (1,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB Lấy điểm O nằm A B, lấy điểm I nằm O B AB = 5cm, AO = 2cm, BI = 2cm a) Giả sử Tính OI OA = a, BI = b AI = OB b) Giả sử Tìm điều kiện a b để Bài (1 điểm) a) Vẽ đoạn thẳng đôi cắt cho tổng số giao điểm 10 Giải thích số giao điểm khơng thể vượt q 10 ? b) Cho trước n điểm ( n ∈ ¥ , n ≥ 2) Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm tất 210 đoạn thẳng Tìm n ĐÁP ÁN Bài a) ababab = ab.10101M ⇒ ababab bội b) Chứng minh S chia hết cho 126 Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = ( + 53 ) + 52 ( + 53 ) + 53 ( + 53 ) = 126.(5 + + 53 )M 126 S = ( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) + 56.( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) + +51998.( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) SM 126 Tổng có 2004:6=334 số hạng chia hết cho 126 nên *Chứng minh S chia hết cho 130 + 52 + 53 + 54 = ( + 53 ) + ( + 53 ) = 130 + 5.130 ⇒ + 52 + 53 + 54 M 130 Có: S = + 52 + 53 + 54 + 54 ( + 52 + 53 + 54 ) + + 52000.( + 52 + 53 + 54 ) Tổng có 2004 :4=501 số hạng chia hết cho 130 nên Bài SM 130 a)2011x + + + + 2010 = 2029099 2010.2011 ⇒ 2011x + = 2029099 2010.2011 ⇒ x = 2029099 − ÷: 2011 = b)2 ( + + + + x ) = 210 x ( x + 1) = 210 ⇒ x.( x + 1) = 210 = 14.15 ⇒ x = 14 Bài a) Do 49 có chữ số tận 9, nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận 4931 Vậy có chữ số tận 2000 32 = 324.500 Ta có có chữ số tận nên nâng lên lũy thừa 4n có tận 322000 chữ số Vậy có chữ số tận 2011 10 + b) Vì có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho 2011 10 + Lại có có chữ số tận 008 nên chia hết cho 2011 10 + Vậy chia hết cho 72 339 < 340 = ( 34 ) = 8110 ;1121 > 1120 = ( 112 ) = 12110 10 10 c) Ta có: 12110 > 8110 1121 > 339 Vì nên 20 20 199 < 20020 = ( 8.25 ) = 260.540 Ta có: 200315 > 200015 = ( 24.53 ) = 260.545 15 Vì 260.540 < 260.545 nên 19920 < 200315 Bài ( x∈¥ ) x Gọi số học sinh khối x + ∈ BC ( 10,12,15 ) Theo đề ta có: BCNN (10,12,15) = 60 xM 11, x < 400 x ∈ { 3;63;123;183;243;303;363;423;543 } , mà xM 11, x < 400 ⇒ x = 363 Vậy số học sinh khối 363 em Bài a) Có hình vẽ AB = AI + IB ⇒ AI = AB − IB = − = 3cm Vì I nằm A B nên AI = OA + OI ⇒ OI = AI − AO = − = 1cm O nằm A I nên AI = OA + OI b) Vì O nằm A I nên OB = OI + IB I nằm O B nên AI = OB OA = BI ⇒ a = b Để Bài a) Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với bốn đoạn cịn lại nhiều 5.4 = 20 Vậy với đoạn thẳng số giao điểm nhiều Nhưng giao điểm tính hai lần số giao điểm nhiều có 4.5 : = 10, suy số giao điểm vượt 10 b) Qua cặp điểm vẽ đoạn thẳng Có n điểm cho trước vẽ được: n ( n − 1) : đoạn thẳng 210 Số đoạn thẳng vẽ : đoạn thẳng nên ta có: n ( n − 1) : = 210 ⇒ n(n − 1) = 210 = 21.20 Vậy n = 21 ... S chia hết cho 1 26 Có: + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = ( + 53 ) + 52 ( + 53 ) + 53 ( + 53 ) = 1 26. (5 + + 53 )M 1 26 S = ( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) + 56. ( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) + +51998.( +... = 260 .540 Ta có: 200315 > 200015 = ( 24.53 ) = 260 .545 15 Vì 260 .540 < 260 .545 nên 19920 < 200315 Bài ( x∈¥ ) x Gọi số học sinh khối x + ∈ BC ( 10,12,15 ) Theo đề ta có: BCNN (10,12,15) = 60 ... + 56. ( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) + +51998.( + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 ) SM 1 26 Tổng có 2004 :6= 334 số hạng chia hết cho 1 26 nên *Chứng minh S chia hết cho 130 + 52 + 53 + 54 = ( + 53 ) + ( +