PHÒNG GD – ĐT GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN Bài Câu Tính a)2 + 22 + 222 + 2222 + + 222 222 14 43 50 chu so b) B = 1 1 + + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100 C= Câu Cho 1 1 + + + + 101 102 103 200 C> Chứng minh rằng: Bài Tìm số tự nhiên x, biết: a)1 + + + + + x = 820 b) x + x + x + + 99 x + 100 x = 15150 Bài Câu Chứng minh rằng: a) A = 75.( 41975 + 41974 + + + ) + 25 b) B = 10n + 72n − chia hết cho 41976 chia hết cho 81 với n số tự nhiên Câu Tìm số nguyên n để phân số 6n − 3n + có giá trị số nguyên Bài a) Cho 2016 đường thẳng, hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Em tính số giao điểm 2016 đường thẳng b) Cho n đường thẳng, hai đường thẳng cắt khơng có đường thẳng đồng quy Biết số giao điểm 1128 Tính Bài Tìm số tự nhiên dư a nhỏ cho a n chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho ĐÁP ÁN Bài Câu a) A = + 22 + 222 + + 222 14 43 50 chu so = 2.1 + 11 + 111 + + 111 111 14 43 ÷ ÷ 50 chu so A = 2. + 99 + 999 + + 9999 99 14 43 ÷ ÷ 50 chu so A = ( 10 − 1) + ( 102 − 1) + ( 103 − 1) + + ( 1050 − 1) = ( 10 + 102 + 103 + + 1050 ) − 50 = 2.111 10 − 50 = 222 2120 ÷ 43 14 43 14 ÷ 50 chu so1 48 chu so 222 2120 14 43 ⇒ A= 48 chu so 1 1 + + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100 2 2B = + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 1 = − + − + + − 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1 4949 4949 4949 = − = ⇒B= :2 = 1.2 99.100 9900 9900 19800 b) B = Câu 1 1 1 C = + + + + + + + + ÷+ ÷+ ÷ 125 126 127 150 151 152 175 101 102 1 + + + + ÷ 200 176 177 1 1 1 107 C> 25 + 25 + 25 + 25 = + + ÷+ = + 125 150 175 200 210 107 1 C> + > + = 210 8 Bài a)1 + + + + + x = 820 ( x + 1) x : = 820 ( x + 1) x = 820.2 = 1640 = 40.41 ⇒ x = 40 b) x + x + x + + 99 x + 100 x = 15150 ( + + + + 99 + 100 ) x = 15150 ( 100 + 1) 100 x = 15150 ⇒ 5050 x = 15150 ⇒ x = Bài Câu a) Dat M = 41975 + 41974 + + 42 + = 41975 + 41974 + + 42 + + 4M = 4.( 41975 + 41974 + + 42 + + 1) = 41976 + 41975 + + 43 + 42 + ⇒ 4M − M = 41976 − ⇒ M = ( 41976 − 1) : ⇒ A = 75.( 41976 − 1) : + 25 = 25.( 41976 − 1) + 25 = 25.41976 − 25 + 25 = 25.41976 M41976 b) B = 10n + 72n − = 10n − − 9n + 81n = 999 − n + 81n n chu so = 9.111 − n + 81n ÷ 23 1n chu ÷ so Theo dấu hiệu chia hết cho có số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho Nên số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia hết cho − n M ⇒ 111 − n M 81 ⇒ 111 − n + 81nM 81 111 ÷ ÷ ÷ 14 43 43 43 ÷ 14n chu ÷ 14n chu ÷ n chu so so so Suy B = 10n + 72n − 1M 81 Do Câu 6n − 6n + − 5 = = 2− 3n + 3n + 3n + Ta có : 6n − ∈¢ ⇒ ∈ ¢ ⇒ ( 3n + 1) ∈U (5) = { ±1; ±5} 3n + 3n + 3n + = ⇒ n = 0(tm) Để 3n + = −1 ⇒ n = − (ktm) 3n + = ⇒ n = ( ktm) 3n + = −5 ⇒ n = −2(tm) n ∈ { 0; −2} Vậy thỏa đề Bài a) Chọn đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng cịn lại có 2015 giao điểm 2015.2016 - Làm với 2016 đường thẳng ta có số giao điểm: giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên số giao điểm là: 2015.2016 : = 2031120 giao điểm n −1 n −1 b) Chọn đường thẳng kết hợp với đường thẳng lại ta giao điểm n.(n − 1) Làm với n đường thẳng ta có số giao điểm giao điểm n ( n − 1) Nhưng thực tế giao diểm tính lần nên có giao điểm n ( n − 1) : = 1128 ⇒ n ( n − 1) = 2256 = 48.47 ⇒ n = 48 Theo ta có: Bài Vì a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư nên: a − 2M 3; a − 3M a − 4M ⇒ a + 1M a + 2M ⇒ a + 52M a + 52M Mà a + 3M a + 52M ⇒ a + 52 ∈ BC (3,5,7) BC (3;5;7) ∈ B(105) (105 = BCNN (3;5;7)) ⇒ a + 52 ∈ B (105) ⇒ a = 105k − 52 Lần lượt thử a = 53 Vậy k = 1;2;3 mà a nhỏ nên a = 105 − 52 = 53 ... + 42 + + 1) = 419 76 + 41975 + + 43 + 42 + ⇒ 4M − M = 419 76 − ⇒ M = ( 419 76 − 1) : ⇒ A = 75.( 419 76 − 1) : + 25 = 25.( 419 76 − 1) + 25 = 25.419 76 − 25 + 25 = 25.419 76 M419 76 b) B = 10n + 72n... Vậy thỏa đề Bài a) Chọn đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng lại có 2015 giao điểm 2015.20 16 - Làm với 20 16 đường thẳng ta có số giao điểm: giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên số giao điểm... 2015.20 16 : = 2031120 giao điểm n −1 n −1 b) Chọn đường thẳng kết hợp với đường thẳng lại ta giao điểm n.(n − 1) Làm với n đường thẳng ta có số giao điểm giao điểm n ( n − 1) Nhưng thực tế giao