UBND HUYỆN VŨ TH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÊ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn Tốn Năm học 2018-2019 Bài Tính giá trị biểu thức sau: 1) − − + + − − + + − − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 1 1 1 1 2) B = − 1÷: − ÷: − 1÷: − 1÷: .: − 1÷: − 1÷: − 1÷ 2 3 4 5 98 99 100 Bài C = + 42 + 43 + + 42014 + 42015 + 42016 1) Cho Chứng minh C chia hết cho 21 105 2) Chứng minh với số tự nhiên khác 0, có số lượng ước tự nhiên số lẻ số tự nhiên số phương Bài 1) Tìm số dư phép chia chia số tự nhiên cho 91 Biết lấy số tự nhiên chia cho dư chia cho 13 dư x +1 = ( x; y ) y −1 2) Tìm cặp số nguyên biết: 1 1 E= + + + + 1.101 2.102 3.103 10.110 Bài Cho 1 1 E F= + + + + 1.11 2.12 3.13 100.110 F Và Tính tỉ số · ABC BAC = 1200 Bài Cho tam giác có Điểm E nằm B C cho · · CAx = 300 , BAE = 300 AC Ax Trên mặt phẳng có bờ chứa điểm B kẻ tia cho tia Ax cắt BC F · EAF a) Chứng minh F nằm E C Tính số đo b) Gọi · EAF AI tia phân giác ( 2!) D= Bài Cho biểu thức So sánh D với Biết 12 · BAC ( 2!) + 32 Chứng minh ( 2!) + 52 ( 2!) + 72 AI tia phân giác + + ( 2!) 20152 n! = 1.2.3 n ( n ∈ ¥ ) ĐÁP ÁN Bài 1) A = −1 − + + − − + + − − 10 + − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 = ( −1 − + + ) + ( −5 − + + ) + ( −9 − 10 + 11 + 12 ) + + ( −2013 − 2014 + 2015 + 2016 ) 2016 : = 504 Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có A = + + + + (tổng có 504 số 4) A = 4.504 = 2016 nhóm 1 1 1 1 2) B = − 1÷: − 1÷: − 1÷: − 1÷: .: − 1÷: − 1÷: − 1÷ 2 3 4 5 98 99 100 1 2 3 −98 −99 B = − ÷: − ÷: − ÷: .: ÷: ÷ 2 3 4 99 100 1 3 −99 100 B = − ÷. − ÷ ÷. − ÷ 2 2 98 99 Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm 1.3.4.5.6 98.99.100 −100 B=− = = −25 2.2.3.4.5 97.98.99 2.2 Bài 1) Ta có: C = + 42 + 43 + 44 + + 2014 + 2015 + 42016 = ( + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) + + ( 42014 + 42015 + 42016 ) = 4.( + + 42 ) + 44.( + + 42 ) + + 42014 ( + + 42 ) = 21.( + 44 + 42014 ) M21 C = + 42 + 43 + 44 + + 2014 + 2015 + 42016 = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 2015 + 42016 ) = 4.( + ) + 43.( + ) + + 42015 ( + ) = 5.( + 43 + + 42015 ) M Ta có CM 5, C M21 mà ( 5;21) = ⇒ C M105 P ( P ≠ 0) Gọi số tự nhiên P = ⇒ 12 = ⇒ P Nếu số phương a, b, c P = a x b y .c z P >1 Nếu Phân tích P thừa số nguyên tố ta có: (với …là số nguyên tố) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Khi số lượng ước P: ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Theo số lẻ ⇒ x + 1; y + 1; ; z + số lẻ ⇒ x, y , , z số chẵn x = 2m, y = 2n, z = 2t Do P = a mb nc 2t = ( a m b n c t ) Nên Vậy P số phương Bài 1) Gọi số tự nhiên a a = p + 5; a = 13q + ( p, q ∈ ¥ ) Theo ta có: a + = p + 14 = 7.( p + ) M7 Suy : a + = 13q + 13 = 13 ( q + 1) M 13 Ta có : a + 9M 7; a + 9M 13; ( 7,13) = a + 9M 91 ⇒ a + = 91k ⇒ a = 91k − = 91k − 91 + 82 = 91.( k − 1) + 82 Do a Nên chia cho 91 có dư 82 x x+5 +1 = ⇔ = ⇔ ( x + ) ( y − 1) = 5.1 y −1 y −1 2) Ta có: ⇔ ( x + ) ( y − 1) = 5.1 = 1.5 = −5.(−1) = (−1).(−5) Thay hết tất trường hợp ta có: ( x; y ) = { ( 0;2 ) ; ( −4;6 ) ; ( −10;0 ) ; ( −6; −4 ) } Bài 1) Ta có: 1 E= + + + 1.101 2.102 10.110 100 100 100 E= + + + ÷ 100 1.10 2.102 10.110 1 1 = − + − + + − ÷ 100 101 102 10 110 = 1 1 1 1 + + + + ÷− + + + ÷ 100 10 101 102 110 1 + + + 1.11 2.12 100.110 10 10 10 F = + + + ÷ 10 1.11 2.12 100.110 1 1 F = 1 − + − + + − ÷ 10 11 12 100 110 F= F= 1 1 1 1 + + + + ÷− + + + + ÷ 10 100 11 12 13 110 F= 1 1 1 1 + + + + ÷− + + + ÷ 10 10 101 102 110 E ⇒ = 100 = F 10 10 Bài a) Theo ta có: E nằm hai điểm B C AB, AC Nên tia AE nằm hai tia · · · BAE + EAC = BAC Ta có: · · 300 + EAC = 1200 ⇒ EAC = 1200 − 300 = 900 Hay AC Xét nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm B · · · · CAF = 30 , CAE = 900 ⇒ CAF < CAE ( 300 < 900 ) AF Ta có: , tia nằm AC , AE hai tia , điểm F nằm hai điểm C E · · · · · ⇒ CAF + FAE = CAE ⇒ 300 + FAE = 900 ⇒ FAE = 600 · BAC b) Ta có AI tia phân giác · BAC 1200 ·BAI = CAI · = = = 600 2 Nên *)Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B · · ( 300 < 600 ) CAF < CAI AF suy nằm hai tia · · · ⇒ CAF + FAI = CAI · · ⇒ 300 + FAI = 600 ⇒ FAI = 300 AC , AI AF *)Xét nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm B · · FAI < FAE ( 300 < 600 ) ⇒ AF , AE Ta có: Tia AI nằm hai tia 1· · FAI = FAE ⇒ AI · FAE Hơn nữa, phân giác Bài Ta có: 2 2 2!) 2!) 2!) 2!) 2!) ( ( ( ( ( D = + + + + + 20152 22 22 22 22 22 D = + + + + + 20152 2 2 D = + 2. + + + + ÷ 20152 3 2 D < + 2. + + + + ÷ 2013.2015 1.3 3.5 5.7 1 1 1 1 = + − + − + − + + − ÷ 2013 2015 1 3 5 = + 1 −