PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 MÔN THI: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4 điểm) Tính: a) A = + − − + + − − + + + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 b) B = 2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 Câu (6 điểm) a) So sánh b) Tìm x 102014 + 2016 A = 2015 10 + 2016 biết: 102015 + 2016 B = 2016 10 + 2016 1 119 + + + + ÷.x = 7.8.9.10 720 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 p c) Chứng minh rằng: nguyên tố Câu (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n p2 + để phân số số nguyên tố 2n + n+2 p3 + số phân số rút gọn THCS , b) Trong đợt tổng kết năm học trường tổng số học sinh giỏi A,6 B,6C ba lớp 90 em Biết số học sinh giỏi lớp 6A số học sinh giỏi lớp 6B số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp Câu (4 điểm) ·ACB = 600 , AB = 6cm ABC Cho tam giác có Trên cạnh AB lấy điểm D(D A, B), AD = 2cm khác cho BD a) Tính độ dài đoạn thẳng · DCB ·ACD = 200 b) Tính số đo biết · ·ACx Cx DCx = 900 c) Dựng tia cho Tính A, C ) CD E d) Trên cạnh AC lấy điểm (E khác Chứng minh hai đoạn thẳng BE cắt 1 + + = a , b, c a b c Câu (2 điểm) Tìm ba số nguyên dương cho ĐÁP ÁN Câu a) A = + − − + + − − + + + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 ( 2016 − 1) :1 + = 2016 Tính số số hạng A là: (số hạng) Nhóm số hạng liên tiếp vào nhóm: A = ( + − − ) + ( + − − ) + + ( 2013 + 2014 − 2015 − 2016 ) = −4 + ( −4 ) + + ( −4 ) = −4.504 = −2016 4 42 4 43 co 504 so Vậy A = −2016 b) B = 2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 8.( 1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10 ) = = 3.6.5 + 6.9.12 + 21.24.30 27 ( 1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10 ) 27 B= 27 Vậy Câu a) Ta có: 2014 2016 102014 + 2016 ( 10 + 2016 ) ( 10 + 2016 ) A = 2015 = 10 + 2016 ( 102015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 ) = 104030 + 2016.( 102014 + 102016 ) + 20162 ( 10 2015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 ) = 104030 + 2016.102014.101 + 20162 (1) 2015 2016 10 + 2016 10 + 2016 ( )( ) Lại có 2015 2015 102015 + 2016 ( 10 + 2016 ) ( 10 + 2016 ) B = 2016 = 10 + 2016 ( 102016 + 2016 ) ( 102015 + 2016 ) 104030 + 2.2016.102015 + 20162 104030 + 20.2016.10 2014 + 2016 = = ( 102015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 ) ( 102015 + 2016 ) ( 102016 + 2016 ) (2) ⇒ A> B Từ (1) (2) b) Ta có: 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1 1 1 1 = − + − + + − ÷ 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10 1 119 = − ÷= 720 720 119 119 x = ⇒ x=3 720 720 Nên từ đề suy : x = Vậy c) Ta nhận xét với số nguyên tố lớn chia cho có dạng p = 3k + ( k ∈ ¥ *) p = 3k + p = 3k + p + = 9k + k + Với chia hết cho 2 p = 3k + p + = 9k − k + Với chia hết cho p≥2 p2 + Vì p nguyên tố nên , trường hợp đền lớn p +2 chia hết cho Tức là hợp số ⇒ p +2 p=3 p + = 11 số nguyên tố (khi số nguyên tố) ⇒ p + = 27 + = 29 số nguyên tố Vậy p Câu p2 + số nguyên tố p3 + số nguyên tố ( 2n + 1, n + ) ( d ∈ ¥ *) a) Gọi d UCLN 2n + 1Md , n + 2Md ⇒ ( 2n + ) − ( 2n + 1) Md ⇒ 3Md Ta có: 2n + d ∈ { 1;3} n+2 d ∈¥ * d =3 Vì nên Để phân số rút gọn ⇒ n + = 3k ⇒ n = 3k − ( k ∈ ¥ *) Vậy với n = 3k − ( k ∈ ¥ *) 2n + n+2 phân số phân số rút gọn : = 5 b) Số học sinh giỏi lớp 6B bằng: (số học sinh giỏi 6A) : = 5 Số học sinh giỏi lớp 6C bằng: (số học sinh giỏi lớp 6A) 1+ + = 5 Số học sinh giỏi lớp bằng: (số học sinh giỏi lớp 6A) 90 : = 30 Vậy số HSG lớp 6A: (học sinh) Của lớp 6B 36 học sinh, 6C 24 học sinh Câu Trường hợp Trường hợp AD + BD = AB ⇒ BD = − = 4cm a) D nằm A B suy · · CA, CB ⇒ ·ACD + DCB = ·ACB ⇒ DCB = 400 b) Tia CD nằm hai tia c) Xét hai trường hợp: CD Cx - Trường hợp 1: Hai tia nằm phía so với đường thẳng CB ·ACx = 900 − ·ACD = 700 Tính góc CD, Cx - Trường hợp 2: Hai tia nằm hai phía so với đường thẳng CB ·ACx = 900 + ·ACD = 1100 Tính : d) Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: nửa mặt phẳng có bờ CD chứa điểm B nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A ⇒ tiaCA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A AC ⇒ E E thuộc đoạn thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A ⇒E ⇒ B hai nửa mặt phẳng bờ CD đường thẳng CD cắt đoạn EB Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng Vậy đoạn thẳng EB CD cắt Câu EB cắt đoạn CD 15 ≥ ⇒a≤ a a≤b≤c Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử , ta có: a =1 a=2 a=3 Nếu khơng thể ,do 1 3 20 + = ≥ ⇒b≤ b c 10 b 10 a=2 Nếu , suy < b=4 b=5 b = 10 Suy hoặc ( a = 2, b = 4, c = 20 ) ( a = 2, b = 5, c = 10 ) a , b, c Suy số thỏa mãn 1 + = b c 15 a=3 Nếu b = 30 ≥ ⇒b≤ b = b 15 Từ suy Khơng có trường hợp thỏa mãn ( 2, 4,20 ) ( 2,5,10 ) Vậy có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số ... 2014 20 16 102014 + 20 16 ( 10 + 20 16 ) ( 10 + 20 16 ) A = 2015 = 10 + 20 16 ( 102015 + 20 16 ) ( 1020 16 + 20 16 ) = 104030 + 20 16. ( 102014 + 1020 16 ) + 20 162 ( 10 2015 + 20 16 ) ( 1020 16 + 20 16 ) =... 104030 + 20 16. 102014.101 + 20 162 (1) 2015 20 16 10 + 20 16 10 + 20 16 ( )( ) Lại có 2015 2015 102015 + 20 16 ( 10 + 20 16 ) ( 10 + 20 16 ) B = 20 16 = 10 + 20 16 ( 1020 16 + 20 16 ) ( 102015 + 20 16 ) 104030... ) ( 102015 + 20 16 ) 104030 + 2.20 16. 102015 + 20 162 104030 + 20.20 16. 10 2014 + 20 16 = = ( 102015 + 20 16 ) ( 1020 16 + 20 16 ) ( 102015 + 20 16 ) ( 1020 16 + 20 16 ) (2) ⇒ A> B Từ (1) (2) b) Ta có: