Khéo tay hay làm Khéo tay hay làm Khéo tay hay làmkl do minh hai

Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng TỔNG LIÊN ĐỒN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN & TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Giảng viên hƣớng dẫn : Huỳnh Văn Kha Sinhviên thực : Đỗ Minh Hải MSSV: 070449M Nguyễn Thị Thảo Linh MSSV: 070467M Lớp : 07TN1D Khóa : 11 Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Khoa Công Nghệ Thông Tin Tốn Ứng Dụng, trƣờng Đại Học Tơn Đức Thắng tạo điều kiện tốt cho em thực đề tài luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Thầy Huỳnh Văn Kha tận tình hƣớng dẫn, bảo chúng em suốt thời gian thực đề tài Em xin thể kính trọng lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ Khoa Toán-Tin, ngƣời trang bị cho chúng em nhiều kiến thức chuyên ngành, nhƣ bảo, giúp đỡ tận tình q Thầy Cơ chúng em suốt trình học tập Tất kiến thức mà chúng em lĩnh hội đƣợc từ giảng Thầy Cô vô quý giá Con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Bố, Mẹ ngƣời thân gia đình, cảm ơn tình cảm lời động viên suốt q trình hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè ủng hộ , giúp đỡ động viên em thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù em cố gắng hoàn thành luận văn phạm vi khả cho phép nhƣng nhiều thiếu sót Em kính mong nhận đƣợc cảm thơng tận tình bảo q Thầy Cơ Sinh viên thực hiện: Đỗ Minh Hải – Nguyễn Thị Thảo Linh Tháng 08/2011 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng MỤC LỤC CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN 1.1 Định nghĩa không gian vectơ 1.2 Định lý Cauchy 1.3 Không gian topo 1.4 Khái niệm dãy 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Không gian Banach 1.5 Định lý Taylor 1.6 Liên tục khoảng 1.7 Định nghĩa tập compact CHƢƠNG II: BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU 10 2.1 Định lý điểm bất động 10 2.1.1 Không gian Banach 10 2.1.2 Nguyên lý ánh xạ co: 12 2.2 Kết tồn 14 2.2.1 Sự tồn nghiệm toán giá trị ban đầu 14 2.2.2 Định lý Picard - Lindelof 20 2.2.3 Bổ đề 2.3 20 2.3 Một vài mở rộng 20 3.1.1 Định lý 2.4 (Weissinger) 21 3.1.2 Định lý 2.5 21 3.1.3 Hệ 2.6 25 2.4 Sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu 25 2.4.1 Bổ đề 2.7 Bất đẳng thức Gronwall tổng quát 25 2.4.2 Định lý 2.8 27 2.4.3 Định lý 2.9 30 2.4.4 Định lý 2.10 31 2.4.5 Định lý 2.11 34 2.4.6 Bài tập 34 2.5 Mở rộng nghiệm 36 2.5.1 Định lý 2.12 37 2.5.2 Bổ đề 2.13 37 2.5.3 Hệ 2.14 39 2.5.4 Hệ 2.15 40 2.5.6 Định lý 2.16 40 2.6 Phƣơng pháp Euler định lý Peano 40 2.6.1 Phƣơng pháp Euler 41 2.6.2 Định lý 2.17 Arzela - Ascoli 42 2.6.3 Định lý Peano 46 2.6.4 Phƣơng pháp Runge - Kutta 47 Tài liệu tham khảo 52 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng LỜI MỞ ĐẦU Trong nhiều lĩnh vực ứng dụng chuyển động hệ đƣợc mơ hình hóa phƣơng trình vi phân, tức phƣơng trình có chứa đạo hàm ẩn hàm cần tìm Chẳng hạn, học cổ điển ( định luật Newton), thiên văn học ( chuyển động hành tinh), hóa học ( phản ứng hóa học ), sinh học ( phát triển dân số ), điện tử … Trong hầu hết lĩnh vực nhƣ thế, toán chung mơ tả nghiệm phƣơng trình ( định tính lẫn định lƣợng Một phƣơng trình vi phân cấp viết dƣới dạng giải đƣợc x  f (t , x) mà ta tìm đƣợc hàm x từ đạo hàm Tồn vơ số nghiệm thỏa mãn phƣơng trình Mỗi nghiệm phụ thuộc vào số tùy ý Khi cho trƣớc giá trị ban đầu x x0 giá trị đầu t0 ta nhận đƣợc nghiệm riêng phƣơng trình Bài tốn Cauchy ( hay tốn có điều kiện đầu ) tóm lại nhƣ sau: cho x cho b  x  a tìm x(t ) thỏa điều kiện:  x(t )  f ( x, y )   x(a )   Ngƣời ta chứng minh toán có nghiệm thỏa điều kiện Lipschitz: f (t , x1 )  f (t , x2 )  L x1  x2 Với L số dƣơng Ngƣời ta chứng minh mà f x ( đạo hàm f theo x ) liên tục bị chặn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz Trong phần ta phát biểu chứng minh định lý lý thuyết phƣơng trình vi phân, khẳng định tồn nghiệm tốn Cauchy ( tốn có điều kiện đầu ) Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng CHƢƠNG 1:CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa không gian vectơ: Cho tập X   x, y, z, t    Xây dựng hai phép tính: a) Phép cộng: (+) Phép cộng quy tắc: x, y  X : x  y  z  X b) Phép nhân với số: K_trƣờng số(  , C) Nếu x  X ,  K : phép nhân  với x kí hiệu:  x Đó quy tắc:  x  t  X Hai phép tính phải thỏa tám điều kiện: i) x  y  y  x iv) x   y  z   x  y  z  x  y  z Trong X phải có phần tử “khơng” Kí hiệu: Thỏa : x  X  x   x x  X tồn phần tử đối:  x x    x   x  x  v) 1.x  x ; x  X vi)   x  y    x   y ;   K ; x, y  X ii) iii) vii) viii)    .x   x   x ;  ,   K ; x  X    x      x ;  ,   K ; x  X Tập X với hai phép tốn thỏa tám điều kiện đƣợc gọi là: không gian vectơ trƣờng số K Nếu K  ta gọi X khơng gian vectơ thực 1.2 Định lý Cauchy:  xn   X ,  xn  dãy Caushy    0, N0  N : m, n  N0 xm  xn    lim xm  xn  m ,n  xn  hội tụ x  X    0,  N0  N : n  N0 xn  x    lim xn  x   xn  hội tụ n   xn  dãy cauchy Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng 1.3 Định nghĩa không gian Topo: Một không gian topo tập X với họ T tập X thỏa mãn tiền đề sau đây: i) Tập trống X thuộc T ii) Hợp họ tập hợp T thuộc T iii) Giao hữu hạn cặp hai tập hợp T thuộc T Họ T đƣợc gọi topo X Ví dụ: X  1,2,3,4 tập hợp T  {},1,2,3,4 gồm hai tập X tạo thành không gian topo X  1,2,3,4 tập hợp X  {},1,2,3,4,1,1,2,3,4,1,3,4 gồm sáu tập X tạo thành không gian topo 1.4 Khái niệm dãy: 1.4.1 Định nghĩa: Cho X tập khác rỗng ánh xạ x :   X , n  x  n  ,xác định tập số nguyên dƣơng  với giá trị X gọi dãy X Nếu đặt xn  x  n  dãy X viết theo thứ tự tăng dần số n x1, x2 , , xn , Ta thƣờng dùng kí hiệu  xn n đơn giản  xn  để dãy xn số hạng tổng quát 1.4.2 Dãy con: Cho dãy x1 , x2 , , xn , Nếu n1  n2   nk  dãy số thực tăng số tự nhiên dãy: xn1, xn , , xnk ,   gọi dãy dãy cho kí hiệu là: xnk     Để xnk dãy dãy  xn  ta viết xnk   xn  Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng 1.5 Định lí Taylo(Taylor): Nếu Pn  x  đa thức Taylor f ( x) lân cận x0 a f '  x0  f n  x0  n có dạng : Pn  x   f  x0    x  x0     x  x0  1! n! 1.6 Liên tục khoảng : f liên tục I :   0,    0, x, y  I : x  y    f  x   f  y    1.7 Định nghĩa tập conpact: 1.7.1 Định nghĩa: Tập A  X đƣợc gọi tập compact với họ tập mở  Gi  i  I X ,thỏa: A  UiI Gi luôn trích đƣợc số hữu hạn tập Gi, i  1, n cho A  U in I Gi 1.7.2 Định lí: - Hàm số liên tục tập compact khơng gian metric liên tục - Mọi dãy tùy ỳ tập compact có dãy hội tụ Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng CHƢƠNG 2: BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU 2.1 Định lý điểm bất động 2.1.1 Định nghĩa không gian banach Cho X không gian vectơ thực Một chuẩn không gian vectơ X ánh xạ : X  0,   thỏa mãn yêu cầu sau: (i)  0, x  với x  X \ 0 (ii)  x   x với   x  X (iii) x  y  x  y với x, y  X (Bất đẳng thức tam giác) X với chuẩn đƣợc gọi khơng gian vectơ định chuẩn.Nếu X đầy đủ ta gọi X không gian Banach  n (hay  n ) không gian Banach theo chuẩn Euclidian: x n x j 1 j (1.1) Chúng ta xét ví dụ sau: Cho I khoảng compact xét tập hàm liên tục C(I) khoảng này.Chúng tạo thành không gian vector tất toán tử định nghĩa theo điểm.Và C(I) trở thành không gian định chuẩn xác định: x  sup x(t ) (1.2) t Kiểm tra (1.2) có thỏa ba yêu cầu +  0, x   sup x(t )  với x  X \{0} (hiển nhiên) tI 10 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng 2.5 Mở rộng nghiệm: Chúng ta thấy nghiệm khơng tồn với t   chí phƣơng trình vi phân đƣợc xác định với t   Điều nêu lên câu hỏi khoảng lớn mà nghiệm IVP (2.1) đƣợc xác định Giả sử nghiệm IVP (2.1) tồn địa phƣơng ( ví dụ, f Lipschitz) Cho 1 , 2 hai nghiệm IVP (2.11) xác định khoảng mở I1 , I tƣơng ứng Cho I  I1  I  (T , T ) cho  t , t  khoảng mở lớn mà hai nghiệm trùng với Yêu cầu  t , t   T , T  Thực tế t  T , hai nghiệm trùng t tính liên tục Tiếp xét IVP với điều kiện đầu x  t   1 (t )  2 (t ) chứng minh hai nghiệm trùng tạimột lân cận t định lý 2.2 Điều mâu thuẫn với tính cực đại t t  T Tƣơng tự, t  T Tuy nhiên nhận đƣợc nghiệm  (t ),  (t )   2 (t ), t  I1 t  I2 (5.1) Xác định I1  I Thực tế, phần mở rộng làmột số tùy ý nghiệm cách nhận đƣợc nghiệm xác định khoảng tối đại 2.5.1 Định lý 2.12 Giả sử IVP (2.1) có nghiệm địa phương ( ví dụ thỏa điều kiện Định lý 2.5) Khi có tồn nghiệm cực đại xác định khoảng cực đại I (t0 , x0 )  (T (t0 , x0 ),T (t0 , x0 )) Ghi chú: Nếu bỏ qua yêu cầu f Lipschitz, có tồn nghiệm( định lý 2.18 bên dƣới), nhƣng biết không xác định đƣợc tính Thậm chí khơng có tính nhất, hai nghiệm đƣợc cho IVP (2.1) cịn giao t0 ( cần) để thu đƣợc 37 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng nghiệm xác định I1  I Hơn nữa, bổ đề Zorn đảm bảo tồn nghiệm trƣờng hợp 2.5.2 Bổ đề 2.13 Cho   t  nghiệm (2.1) xác định khoảng nghiệm mở rộng  t , t    với  t , t  Khi tồn   tồn dãy k1  h f (tn , xn ) cho : lim  tn ,  tn     t , y  U n Tương tự với t Nghiệm mở rộng tồn khoảng  t   , t  với (5.2)  0 tồn dãy tn   t , t  cho : lim  tn ,  tn     t , y  U n Chứng minh Rõ ràng, có nghiệm mở rộng (5.1) với dãy tn  t Ngƣợc lại, tồn dãy thỏa (5.1) Thì ta chứng tỏ trƣờng hợp này: lim (t )  y tn t (5.3) Từ nghiệm cần phải dao động nhanh nhanh t tiến dần tới t Bởi đạo hàm cần tăng, mà khơng thể mà f (t , x) bị chặn gần y Chính xác hơn, U tập mở có   cho V  t   , t   B ( y)  U M  max (t , x )V f (t , x)   Ngồi ra, sau chuyển thành chuỗi con, giả sử tn   t   , t  tn  tn1 Nếu (5.2) sai tìm dãy  n  t cho   n   y    Chúng ta chọn     n  tn Tuy nhiên, định lý giá trị trung gian qui định   n   y     t   y   với t  tn , n  Nhƣng      n   y    n     tn     tn   y 38 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng  n tn f ( s, ( s)) ds    tn   y  M  n  tn    tn   y , Với việc hội tụ bên phải tới n   Có mâu thuẫn (5.3) đƣợc cố định Lấy nghiệm  (t ) IVP x(t )  y xác định khoảng  t   , t    Chúng ta gắn kết  (t )  (t ) t để nhận đƣợc hàm  t , t    Hàm liên tục cấu tạo giới hạn đạo hàm bên trái bên phải f (t , y) Do đạo àm đƣợc t  t theo cách nghiệm đƣợc xác định  t , t    2.5.3 Hệ 2.14 Cho  (t ) nghiệm (2.1) xác định khoảng  t , t  Giả sử có tập compact t0 , t   C  U cho  (tn )  C với dãy tn  t0 , t  hội tụ đến t Khi có tồn ngiệm mở rộng  t , t    với   Đặc biệt, có tập compact C với t  t0 ( C phụ thuộc vào t ), nghiệm tồn với t  t0 Tương tự cho t Giả sử có tập compact t , t0   C  U cho  (tn )  C với dãy tn   t , t0  hội tụ đến t0 Khi có tồn nghiệm mở rộng  t   , t  với   Đặc biệt, có tập compact C với t  t0 ( C phụ thuộc vào t ), nghiệm tồn với t  t0 Chứng minh Cho tn  t Vì  (tn )  C , C bị chặn, nên  (tn ) bị chặn Do tính compact  nên  (tn ) có dãy hội tụ 39 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Áp dụng bổ đề 2.13 cho dãy hội tụ ta đƣợc kết cần chứng minh Sự phủ định logic kết đƣợc quan tâm nhƣ hệ sau: 2.5.4 Hệ 2.15 Cho I (t0 , x0 )  (T (t0 , x0 ),T (t0 , x0 )) khoảng mở cực đại mà tồn nghiệm với giá trị đầu với x(t0 )  x0 Nếu T  T (t0 , x0 )   ,thì nghiệm nói vượt khỏi tập compact C thỏa t0 ,T   C  U t tiến T U C x0 V t0 T Đặc biệt, U    n nghiệm nói tiến  t tiến T 2.5.5 Định lý 2.16 Giả sử U    n với T  tồn số M(T), L(T) cho f (t , x)  M (T )  L(T ) x , (t , x)   T ,T   n (5.4) Khi tất nghiệm IVP (2.1) xác định với t   n 40 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Chứng minh Sử dụng ƣớc lƣợng với f có ( t0  khơng tính tổng quát): t  (t )  x0   ( M  L  ( s) )ds, t  0,T   I (5.5) Đặt  (t )  M   (t ) áp dụng bất đẳng thức Gronwwall’s chứng L minh:  (t )  x0 e LT  M LT  e  1 L (5.6) Một lần ý đủ để giả định : f (t , x)  M (t )  L(t ) x , x  n , (5.7) Với M(t), L(t) khả tích địa phƣơng 2.6 Phƣơng pháp Euler định lý Peano Trong mục chứng minh tính liên tục f (t , x) đủ để có nghiệm cho phƣơng trình toán giá trị đầu ( 2.1 ) Nếu  (t ) nghiệm, định lý Taylor có:  (t0  h)  x0     t0  h  o  h   x0  f t0 , x0  h  o  h  (6.1) Điều khuyên để xác định nghiệm xấp xỉ cách bỏ số hạng lỗi áp dụng phƣơng pháp lặp Nghĩa là, đặt: xh  tn1   xh  tn   f  tn , xh  tn   h , tn  t0  nh , (6.2) Và sử dụng phép nội suy tuyến tính vào Thủ tục gọi phƣơng pháp Euler 41 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Thì mong đợi xh (t ) hội tụ tới nghiệm phƣơng trình ban đầu h giảm tới Để chứng minh điều sử dụng nhận xét quan trọng, f liên tục dẫn đến f bị chặn khoảng compact Do đạo hàm xh (t ) bị chặn số tƣơng tự Do số độc lập với h, nên hàm xh (t ) tạo thànhmột họ hàm đồng liên tục hội tụ đều, phải chuyển thành dãy hội tụ định lý Arzela – Ascoli 2.6.1 Định lý 2.17 (Arzelà- Ascoli) Giả sử dãy hàm f n ( x) , n   , khoảng compact đồng liên tục ( đều), với   có   ( độc lập với n) cho: f n ( x)  f n ( y)   x  y   (6.3) Nếu dãy f n bị chặn, có chuỗi hội tụ   Chứng minh Cho x j  tập trù mật khoảng I (ví dụ, xét j 1 tập số hữu tỷ khoảng I ).Xét dãy hàm f n ( x1 ) dãy bị chặn, có dãy ta kí hiệu là: f n1 ( x) cho f n1 ( x1 ) hội tụ (Bolzano-WeierstraB) Tƣơng tự ta xét dãy f n1 ( x1 ) dãy bị chặn nên có dãy f n ( x) hội tụ x2 từ Xét tiếp dãy f n2 ( x3 ) có dãy f n3 ( x3 ) hội tụ Bằng quy nạp ta có đƣợc dãy f n j ( x) với j  1,2, ,  cho f n j ( x) hội tụ tới f ( xi ) với i  1,2, , j Nhƣ ta có đƣợc dãy : 42 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng f1 f  1 … fn f 51 … f n1 f 42 f 52 … f n2 f 43 f 53 … f n3 f 54 … f n4 … f n5 … … … f2 f3 f4 f5 f 21 f 31 f 41 2 f 32 3 f12 f  f13 f 23 f  f14 f 24 f 34 f  f15 f 25 f 35 f 45 … … … … … n n n f f n f 4 n f f  5 f f  n n Xét dãy fn  f nn Thì fn ( xi )  f nn ( xi ) với i  1,2, ,  Thật vậy, ta lấy đƣợc xi i  Ta chứng minh: fn ( xi ) hội tụ f nn ( xi ) Lấy   , f ni ( xi )  f ( xi ) Nên   , N  : f ni ( xi )  f ( xi )   , n  N  f ni 1 ( xi )  f ( xi )   Do f ni  j ( xi ) dãy f ni ( xi ) , j  i j (i ) Nên f k ( x j )  f nk ( x j ) với nk  k Lấy k > N thì: i f k(i  j ) ( xi )  f ( xi )  f nk   f ( xi )   j  1,2, Nhƣ với j = k – i thì: f k( k ) ( xi )  f ( xi )   , k  N , k  i 43 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Hay là: f kk ( xi )  f ( xi ) k   i  1,2, ,  Lấy x  I x  B ( x j ) với j 1  j  p  fm ( x)  fn ( x)  fn ( x)  fm ( x j )  fm ( x j )  fn ( x)  fn ( x j )  fn ( x) Cố định   chọn  cho f n  x   f n  y    với x  y   Quả cầu B ( x j ) bao phủ khoảng I tính compact, tách phủ  mở hữu hạn, thỏa :  j  p Xa chọn N cho fm ( x j )  fn ( x j )  với n, m  N  j  p fn  xi  hội tụ nên dãy Cauchy:    , N ( j )  : fn ( x j )  fm ( x j )  , m, n  N ( j ) Chọn N  max N ( j ) j1, p   Thì fn ( x j )  fm ( x j )  , m, n  N Chọn x ý x  B ( x j ) với j Do đó: fm ( x)  fn ( x)  fm ( x)  fm ( x j )  fm ( x j )  fn ( x j )  fn ( x j )  fn ( x)   (6.4) Với n, m  N , chứng minh fn dãy Cauchy theo chuẩn cực đại Chính xác hơn, chọn  , T > cho V  t0 , t0  T   B ( x0 )  U cho: M  max f (t , x) ( t , x )V (6.5) 44 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng   Khi xh  t   B ( x0 ) với t  t0 , t0  T0  , với T0  T ,    M xh  t   xh  s   M t  s (6.6) Do vài tập họ xh  t  liên tục có dãy hội tụ n (t )   (t ) Khi f liên tục V, tìm dãy   h   h  , cho: f (s, y)  f (t , x)  (h) với: y  x  Mh, s  t  h (6.7) Để ƣớc lƣợng hiệu bên trái bên phải phƣơng trình(2.2) với xh (t ) chọn n với t  tn n 1 xh  t   x0    j 0 t j 1 tj     s  f t j , xh  t j  ds (6.8) Với   s   cho s  t0 , t    s   Khi đó: t n 1 t0 j 0 xh  t   x0   f  s, xh  s   ds    t j 1 tj n 1   h  j 0    s  f t j , xh  t j   f  s, xh  s   ds t j 1 tj   s  ds  t  t0   h  (6.9) Từ điều thấy  thực nghiệm:  (t )  lim n (t )  x0  lim  f  s, n ( s)  ds  x0   f  s,  (s)  ds n  t t n  t0 t0 (6.10) 2.6.2 Định lý Peano Giả sử f liên tục V  t0 , t0  T   B ( x0 ) biểu thị cực đại M Khi có tồn nghiệm toán giá trị ban đầu    (2.1) với t  t0 , t0  T0  , T0  T ,  Kết tương tự cố định với khoảng t0  T , t0   M 45 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Cuối cùng, ý thuật giải Euler phù hợp với tính tốn số sấp xỉ nghiệm yêu cầu số ƣớc lƣợng f điểm chắn Bên cạnh đó, khơng rõ ràng để tìm dãy hội tụ, cho chứng minh xh  t  hội tụ f Lipschitz Bằng (3.9) cho x(t )  xh  t  y(t )  K  xh   t  thì: n 1 xh  K n  xh    K j  xh   K j 1  xh  j 0  xh  K  xh  n 1   LT0  j 0 j! j , (6.11) Sử dụng ký hiệu nhƣ chứng minh định lý 2.2 lấy n   nhận đƣợc: xh   T0e LT0   h  , t  t0 , t0  T0  , (6.12) Nhƣ ƣớc lƣợng (6.9) với : xh  K  xh   T0  h  (6.13) Chú ý tìm thấy vài số Lipchitz L0 cho: f  t , x   f  s, x   L0 t  s , chọn   h   ( L0  LM )h Do có phƣơng thức số đơn giản để tính nghiệm thêm sai số ƣớc lƣợng lỗi Tuy nhiên thực tiễn tính tốn sử dụng vài ƣớc lƣợng sai heuristic, ví dụ cách thực bƣớc sử dụng hai kích thƣớc bƣớc h h Nếu hiệu nghiệm hai hệ khác lớn, kích thƣớc h đƣợc giảm xuống bƣớc cuối đƣợc lặp lại Tất nhiên giải thuật Euler không đƣợc áp dụng hầu hết ngày Sử dụng tốn nhiều số hạng khai triển Taylor đạo hàm xấp xỉ tất đạo hào thƣơng số chúng Kết giải thuật hội tụ nhanh hơn, nhƣng nhiều phép tính bƣớc 46 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng 2.6.3 Phƣơng pháp Runge – Kutta: Xét toán IVP ( 2.1 ) Giả sử ta tìm đƣợc giá trị gần xn x(tn ) muốn tính xn1 x(tn1 ) Trƣớc hết ta viết công thức Taylor: h2 hn  n h n1  n1 x(tn1 )  x(tn )  hx(tn )  x(tn )   x (tn )  x (c ) 2! n!  n  1! (6.14) Với c   tn , tn1  và: x(tn )  f tn , x(tn ) x  (tn )  k dk f tn , x(tn ) dt k 1 Ta viết lại ( 6.14 ) dƣới dạng: xn1  xn  hx(tn )  h2 hn  n h n1  n1  x (tn )   x (tn )  x (c) (6.15) 2! n!  n  1! Ta kéo dài khai triển Taylor để kết xác Để tính xn , xn 1 …, ta dùng phƣơng pháp Runge – Kutta cách đặt:   xn1  xn  h r1k1   r2k2   r3k3   r4k4  i i i i (6.16) Trong đó: k1i   hf (tn , xn )  i  i k2  hf (tn  ah, xn   k1  )  i  i i k3  hf (tn  bh, xn   k1    k2  )   (6.17) Và ta cần xác định hệ số a, b, …;  ,  ,  ,…; r1 , r2 ,… cho vế phải (6.16) khác với vế phải (6.15) vô bé cấp cao có h 47 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Khi dùng công thức Runge – Kutta bậc hai ta có: i   k1  hf (tn , xn )  i  i   k2  hf (tn  ah, xn   k1 ) Và (6.18) xn1  xn  r1k1   r 2k2  i i (6.19) Ta có: x(t )  f t , x(t ) x(t )  ftt , x(t )  f xt , x(t ) ……… Do vế phải (6.15) là: hf  tn , xn   h2  ft t , x(t )   f x  t , x(t )   x(t )  2!  (6.20) Mặt khác theo (6.18) cơng thức Taylor ta có: k1   hf (tn , xn )  hxn i i i k2   h  f (tn , xn )  ahft(tn , xn )   k1  f x(tn , xn )   Do vế phải (6.19) là: h(r1  r2 ) f (tn , xn )  h2 ar2 ft(tn , xn )   r2 xn f x(tn , xn )  (6.21) Bây (6.20) (6.21) khác vơ bé cấp O(h3 ) ta tìm đƣợc hệ số chƣa biết cân số hạng chứa h chứa h : r1  r2  1  r2  a.r1  48 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Nhƣ :   a , r1  Nếu a  (2a  a ) , r2  với a đƣợc chọn 2a 2a r1  r2  Lúc ta nhận đƣợc công thức Euler Nếu a  r1  1 r2  Lúc ta nhận đƣợc công thức Euler cải 2 tiến Một cách tƣơng tự nhận đƣợc công thức Runge – Kutta bậc Công thức đƣợc hay đƣợc dùng tính tốn thực tế: k1  h f (tn , xn ) k h k2  h f (tn  , xn  1,n ) 2 h k k3  h f (tn  , xn  ) 2 k4  h f (tn  h, xn  k3 ) xn1  xn  (k1  2k2  2k3  k4 ) Ví dụ: Dùng cơng thức Runge – Kutta tìm nghiệm gần toán Cauchy: x  x  t   t 1 x(0)  0.5 Với n = Tính sai số biết nghiệm xác là: x(t )   t  1  0.5e x 49 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Giải: Ta có h = 0.2 t0  , t1  0.2 , t2  0.4 , t3  0.6 , t4  0.8 , t5  Áp dụng công thức Runge – Kutta bậc 4: xn1  xn  (k1  2k2  2k3  k4 ) k1  0.2( xn  tn2  1) k2  0.2  xn  0.1( xn  tn2  1)  (tn  0.1)  1  0.2 1.1xn  1.1tn2  0.2tn  1.09  k3  0.2  xn  0.1(1.1xn  1.1tn2  0.2tn  1.09)  (tn  0.1)  1  0.2 1.11xn  1.11tn2  0.22tn  1.099  k4  0.2  xn  0.2(1.11xn  1.11tn2  0.22tn  1.099)  (tn  0.2)  1  0.2 1.222 xn  1.222tn2  0.444tn  1.11798   x0  0.5    xn   xn   30  6.642 xn  6.642tn  1.284tn  6.5578  k tn xn x(tn ) x(tn )  xn 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 0.8292933 1.2140762 1.6489220 2.1272027 2.6408227 0.5 0.8292986 1.2140877 1.6489406 2.1272295 2.6408591 0.0000053 0.0000115 0.0000186 0.0000269 0.0000364 50 Định lý tồn nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Tài liệu tham khảo 1.Gerald Teschl, Ordinary differential equations And Dynamical Systems 51 ... t , t   T , T  Thực tế t  T , hai nghiệm trùng t tính liên tục Tiếp xét IVP với điều kiện đầu x  t   1 (t )  2 (t ) chứng minh hai nghiệm trùng tạimột lân cận t định lý... Hợp họ tập hợp T thuộc T iii) Giao hữu hạn cặp hai tập hợp T thuộc T Họ T đƣợc gọi topo X Ví dụ: X  1,2,3,4 tập hợp T  {},1,2,3,4 gồm hai tập X tạo thành không gian topo X  1,2,3,4... giá trị ban đầu Chứng minh tồn nghiệm toán giá trị ban đầu (IVP) sau: x  f (t , x) , x(t0 )  x0 (2.1) Giả sử f  C (U , n ) , U tập mở  n1 (t0 , x0 ) U Tích phân hai vế theo t tƣơng đƣơng