Thông tin tài liệu
Mục lục Lời mở ñầu Chương Dạng phức chuỗi Fourier Chương Tính chất chuỗi Fourier 2.1 ðịnh nghĩa vài ví dụ 2.2 Tính chuỗi Fourier 2.3 Phép tích chập 16 2.4 Nhân tốt 18 2.5 Tổng Cesàro Abel: Ứng dụng chuỗi Fourier 21 2.5.1 Phương pháp Cesàro phép lấy tổng 21 2.5.2 ðịnh lý Fejer’s 22 2.5.3 Giá trị trung bình Abel tính khả tổng 27 2.5.4 Nhân Poisson tốn Dirichlet hình trịn đơn vị 28 Chương Tính hội tụ chuỗi Fourier 31 3.1 Sự hội tụ theo trung-bình-bình-phương chuỗi Fourier 31 3.1.1 Khơng gian vectơ tích 31 3.1.2 Chứng minh hội tụ theo trung bình-bình phương 39 3.2 Quay lại hội tụ ñiểm 44 3.2.1 Kết cục 44 Tài liệu tham khảo 47 LỜI MỞ ðẦU Ngày nay, chuyên gia xử lý tín hiệu số ( hai lĩnh vực âm hình ảnh) người hiểu hết vai trò quan trọng chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier Có thể nói hầu hết thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh âm mà dùng hơm có chứa “chip” nhiệm vụ chuyển ñổi hệ số Fourier (tín hiệu số), đơi kiêm ln chức “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” dựa phép biến ñổi Fourier Nhận thức ñược tầm quan trọng toán học kết hợp với kiến thức ñã ñược học trường em ñã chọn ñề tài “một số tính chất chuỗi Fourier” ñể nghiên cứu viết chuyên ñề Nội dung luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương 1: Dạng phức chuỗi Fourier Chương 2: Tính chất chuỗi Fourier Chương 3: Sự hội tụ chuỗi Fourier Chương Dạng phức chuỗi Fourier Dạng thực chuỗi Fourier hàm số f tuần hoàn ñoạn [ −π , π ] ∞ a0 + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) n =1 f ( x) ∼ an = Trong đó: π π ∫ π f ( x ) cos ( nx ) dx , − π f ( x ) sin ( nx ) dx , π ∫π bn = − ∀n = 0,1, 2,… ∀n = 1, 2,… Từ dạng thực ta viết lại dạng phức co chuỗi Fourier sau Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức cos nx = ( inx e + e− inx ) sin nx = 2i ( e − inx ) − einx Ta viết lại khai triển Fourier dạng f ( x) ≈ ðặt c0 = ∞ a0 1 + ∑ ( an − bn i ) einx + ( an + bn i ) e − inx n =1 2 a0 1 , cn = ( an − bn i ) , c− n = cn = ( an + bn i ) , ta có 2 f ( x) ≈ ∞ ∑ce n =−∞ inx n Lưu ý cos α ± i sin α = e± iα , ta có cn = 1 ( an − bn i ) = 2π c− n = π ∫π f ( x )( cos nx − i sin nx ) dx = − 1 ( an + bn i ) = 2π π ∫π 2π f ( x )( cos nx + i sin nx ) dx = − π ∫π f ( x )e − inx dx − 2π π ∫π f ( x )e inx dx − Do vậy, cơng thức viết lại thành f ( x) ≈ 2π π ∞ ∑ n =−∞ einx ∫π f ( s )e − ins ds − Cơng thức gọi dạng phức chuỗi Fourier hàm tuần hoàn [ −π , π ] Ta khảo sát tính chất chuỗi Fourier dựa dạng phức CHƯƠNG Tính chất chuỗi Fourier 2.1 ðịnh nghĩa vài ví dụ Nếu f hàm khả tích cho đoạn [a,b] có chiều dài L (nghĩa a − b = L ), hệ số Fourier thứ n f xác ñịnh bởi: ∧ f (n) = b f ( x )e−2π inx L dx, L ∫a n∈Z Chuỗi Fourier f ñược cho ∞ ∧ ∑ f (n) e π inx L n =−∞ sử dụng kí hiệu an thay cho hệ số Fourier f f ( x) ∼ ∞ ∑aeπ inx L n n =−∞ Chuỗi bên phải chuỗi Fourier f Ví dụ , f hàm khả tích đoạn [ −π , π ] , hệ số Fourier thứ n f ∧ f ( n ) = an = 2π π ∫ π f (θ )e − − inθ dθ , n ∈ Ζ , chuỗi Fourier f f (θ ) ∼ ∞ ∑a e θ, in n =−∞ n Ở ñây θ biến thiên khoảng từ −π đến π Ngồi ra, f xác định [0, 2π ] cơng thức giống với công thức trên, ngoại trừ lấy tích phân từ đến 2π định nghĩa hệ số Fourier Xét hàm g cho đoạn [ 0,1] Thì ∧ g ( n ) = an = ∫ g ( x )e −2π inx dx g ( x ) ∼ ∞ ∑aeπ inx n =−∞ n x biến thiên khoảng từ ñến Tất nhiên, ban ñầu cho f [ 0, 2π ] , g ( x ) = f ( 2π x ) ñược xác ñịnh [ 0,1] thay hệ số Fourier thứ n f hệ số Fourier thứ n g Chuỗi Fourier phần họ lớn ñược gọi chuỗi lượng giác, chuỗi lượng giác biểu thức có dạng ∑ ∞ c e 2π inx L , ñây cn số phức tùy ý Nếu chuỗi n =−∞ n lượng giác hữu hạn số hạng khác 0, nghĩa cn = với | n | lớn, gọi đa thức lượng giác Tổng riêng thứ N chuỗi Fourier f , với N số nguyên dương, ñược cho S N ( f )( x ) = N ∧ ∑ f (n) e π inx L , n =− N Chú ý ñịnh nghĩa này, tổng đối xứng n có khoảng biến thiên từ − N ñến N , lựa chọn tự nhiên f chuỗi lượng giác Ví dụ 1: Xác ñịnh chuỗi Fourier hàm f (θ ) = θ với −π ≤ θ ≤ π Trước tiên, Nếu n ≠ thì: ∧ f (n) = 2π π ∫ πθe − inθ − = 2π du = dθ u =θ ñặt ⇒ −1 − inθ − inθ dv = e dθ v = in e dθ π π − inθ θ − inθ − in e + 2π in ∫−π e dθ −π −π − inπ π inπ = e − e 2π in in = ( −1) − inθ e + 2inπ in −π e − inπ + einπ + e − inπ − einπ 2π in 2π in ( ) ( ) π −π (*) Với einπ = cos ( nπ ) + i sin ( nπ ) e−inπ = cos ( nπ ) − i sin ( nπ ) (*) = = −1 n n n −1) − ( −1) ( −1) + (−1)n + ( 2in 2π in ( −1)( −1) 2in n +0 = ( −1) n +1 , in Nếu n = ta có ∧ f (0) = 2π π ∫ π θ dθ − θ2 = 2π π −π (π ) ( −π ) = − 2π 2π =0 2 Từ ñó, chuỗi Fourier f ñược cho f (θ ) ∼ ∑ n≠0 ( −1) in − n +1 ( −1)n +1 ( −1) inθ = ∑ e + e − inθ in i ( −n ) n =1 n +1 e ∞ inθ ( −1)n +1 ( −1)− n +1 = ∑ cos n θ + i sin n θ + cos − n θ + i sin − n θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) in i ( −n ) n =1 ∞ ∞ = 2∑ ( −1) n +1 n =1 sin nθ n Ví dụ 2: ða thức lượng giác xác định ñoạn x ∈ [ −π , π ] cho DN ( x ) = N ∑e inx n =− N ñược gọi nhân Dirichlet thứ N vấn đề quan trọng tốn học Hệ số Fourier an = n ≤ N an ≠ Công thức nhân Dirichlet 2n + sin x Dn ( x ) = x sin 2 ðiều nhìn thấy tổng hình học cấp số nhân N ∑ wn n =0 −1 ∑w n n =− N với w = e Ta có ix ∑ wn = w N +1 − 1 − w N +1 = w −1 1− w ∑(w ) = N n =0 N −1 n n =1 −1 ∑ wn = n =− N w− N − −1 w− N − w = 1− w w−1 − Khi N ∑ wn + n =0 −1 ∑ wn = n =− N = − w N +1 w− N − + 1− w 1− w w− N − w N +1 1− w (w = = = = −N − w N +1 (1 − w ) ) w1 w1 w− N −1 − w N +1 w−1 − w1 eix ( − N −1 2) − eix ( N +1 2) eix ( −1 2) − eix (1 2) cos ( − N − ) x + i sin ( − N − ) x − cos ( N + ) x − i sin ( N + ) x cos ( −1 ) x + i sin (1 ) x − cos (1 ) x − i sin (1 ) x 1 sin N + x 2 = , sin (1 ) x Ví dụ 3: Hàm Pr (θ ) gọi nhân Poisson, với θ ñược xác ñịnh ñoạn θ ∈ [ −π , π ] ≤ r < chuỗi hội tụ tuyệt ñối hội tụ ñều Pr (θ ) = ∞ ∑r |n| inθ e n =−∞ Chú ý tính tốn hệ số Fourier Pr (θ ) thay đổi phép lấy tích phân phép lấy tổng tổng hội tụ θ cho r khơng đổi, thu hệ số Fourier thứ n r |n| Cũng tổng hợp chuỗi cho Pr (θ ) thấy Pr (θ ) = Với ðặt − r2 − 2r cos θ + r w = reiθ wn = r n einθ , ∀n ≥ wn = r n e− inθ , ∀n ≥ Pr (θ ) = ∞ ∑r n e inθ n =−∞ ∞ = ∑r e n inθ n =0 ∞ + −1 ∑r − n inθ e n =−∞ ∞ = ∑ r n einθ + ∑ r n e − inθ n =0 n =1 ∞ ∞ n =0 n =1 ∞ ∞ n =0 n =1 = ∑ wn + ∑ wn Vậy Pr (θ ) = ∑ wn + ∑ wn = = w + 1− w 1− w − w + (1 − w ) w (1 − w ) (1 − w) = ( − ww ) − w + w + ww (*) ww = r w = reiθ ⇒ Với eiθ + e − iθ − iθ w w r + = w = re = 2r cos θ (*) = − r2 − 2r cos θ + r 2.2 Tính chuỗi Fourier Nếu giả thiết chuỗi Fourier hàm f hội tụ f nghĩa thích hợp, kết luận hàm có tính xác định hệ số Fourier ðiều dẫn tới biểu sau: Nếu f g có hệ số Fourier giống f g Nói cách khác, xét hàm số f - g mệnh ñề có ∧ thể trình bày lại: Nếu f ( n ) = với n ∈ Ζ f = Phát biểu khơng thể khẳng định Vì để tìm hệ số Fourier ta cần tính tích phân Và thấy rằng, hai hàm khác điểm hữu hạn có chuỗi Fourier giống Tuy nhiên, có kết sau ∧ ðịnh lý 2.1: Giả sử f hàm khả tích đường trịn cho f ( n ) = với n ∈ Ζ Thì f (θ ) = với f liên tục ñiểm θ0 Chứng minh: Chúng ta chứng minh cho trường hợp f ñược xác ñịnh ñoạn [ −π , π ] với θ0 = nghĩa là: Giả sử f liên tục chứng minh f ( ) = Dùng chứng minh phản chứng: Giả sử f ( ) ≠ điều vơ lý Giả sử f ( ) > ( f ( ) < , đặt g = − f ta có : g ( ) = − f ( ) > , g ( n ) = − f ( n ) > Áp dụng lý luận cho g có điều vơ lý) ðể điều vơ lý ta xây dựng dãy đa thức lượng giác { pk } π cho ∫ p (θ ) f (θ ) dθ → ∞ , k → ∞ ðiều vơ lý −π π ∫ π f (θ )e − ⇒∫ π −π − inθ dθ = 0, ∀n ∈ N f (θ ) pk (θ ) = ∫ π −π = k f (θ ) ∑ an e −inθ n =− k ∑ a ( ∫ π f (θ ) e k n =− k π n − − inθ dθ ) dθ = Bây ta xây dựng { pk } y 1+ ε 1+ ε / cos δ y = p(θ ) = ε + cosθ θ -π -π/2 −δ −η η δ π/2 π y = cos θ −1 + ε -1 Hình Do f liên tục nên chọn < δ ≤ π cho f (θ ) > f ( ) , ∀ θ < δ ðặt p (θ ) = ε + cos θ Ta chọn ε > cho | p (θ ) |< − ε , ∀ δ ≤| θ |≤ π Chọn ε= − cos δ δ ≤| θ |≤ π ⇒ −1 ≤ cos (θ ) ≤ cos δ ⇒ −1 + ε ≤ cos θ + ε ≤ cos δ + ε − cos δ − cos δ ⇒ −1 + ≤ cos (θ ) + ε ≤ cos δ + 2 −1 − cos δ + cos δ ⇒ ≤ cos (θ ) + ε ≤ 2 ( ta có − x ≤ a ≤ x ⇒ a ≤ x, x > ) 10 kết hợp chuẩn Hai phần tử X Y trực giao ( X , Y ) = , viết X ⊥ Y Ba kết quan trọng rút từ khái niệm tính trực giao: (i) ðịnh lý Pythagorean: Nếu X Y trực giao X +Y = X 2 + Y Bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz: cho X , Y ∈ V có (ii) ( X ,Y ) ≤ (iii) Y X Bất ñẳng thức tam giác: cho X , Y ∈ V có X +Y ≤ X + Y Chứng minh: (i) X +Y Chứng minh: Ta có: X +Y 2 = X + Y = ( X + Y, X + Y ) = ( X , X + Y ) + (Y , X + Y ) = ( X , X ) + ( X , Y ) + (Y , X ) + (Y , Y ) = X ( ( ) + ( X ,Y ) + X ,Y + Y ) (Do ( X , Y ) = ⇒ X , Y = ) ⇒ X +Y (ii) = X + Y ( X ,Y ) ≤ Chứng minh: X Y Xét trường hợp Y = , ta chứng minh ( X , Y ) = với X Lấy t ∈ ℝ ≤ X + tY = ( X + tY , X + tY ) = ( X , X ) + ( X , tY ) + ( tY , X ) + ( tY , tY ) = X + t ( X , Y ) + t (Y , X ) + tt (Y , Y ) = X + t2 Y = X + Y Nếu Y = ⇒ ≤ X 2 + t ( X , Y ) + ( X , Y ) + t Re ( X , Y ) + 2t Re ( X , Y ) (VP) (với ∀t ∈ R ) Suy Re ( X , Y ) = 33 Vì Re ( X , Y ) > cho t → −∞ ,VP → −∞ (vô lý) Nếu Re ( X , Y ) < cho t → +∞ ,VP → −∞ (vô lý) Tương tự, xét ≤ X + itY = ( X + itY , X + itY ) = ( X , X ) + ( X , itY ) + ( itY , X ) + ( itY , itY ) = X + t ( X , iY ) + t ( iY , X ) + t Y = X + Y Nếu Y = ⇒ ≤ X 2 + 2t Im ( X , Y ) + 2t Im ( X , Y ) (VP) (với ∀t ∈ R ) Suy Im ( X , Y ) = Vì Im ( X , Y ) > cho t → −∞ , VP → −∞ (vô lý) Nếu Im ( X , Y ) < cho t → +∞ ,VP (vô lý) Hai trường hợp suy Y = , ( X , Y ) = 0, ∀X Nếu Y ≠ , chọn: ( X ,Y ) (Y , Y ) Thì ( X − cY , Y ) = ( X , Y ) − c (Y , Y ) c= =0 Nếu ( X − cY ) trực giao với Y suy trực giao với cY vì: ( X − cY , cY ) = c ( X − cY , Y ) = Nếu viết X = X − cY + cY ứng dụng ñịnh lý Pythagorean, có X = X − cY ≥ cY + cY 2 ≥ c Y ≥ 2 ( X ,Y ) Y Y 34 ( X ,Y ) ≥ Y ⇒ X 2 Y ≥ ( X ,Y ) ⇒ ( X ,Y ) ≤ X Y Công thức X = cY (iii) Chứng minh : X +Y ≤ X + Y Chú ý = ( X + Y, X + Y ) X +Y = ( X , X ) + ( X , Y ) + (Y , X ) + (Y , Y ) Nhưng ( X , X ) = X , (Y , Y ) = Y , bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz 2 ( X ,Y ) ≤ X Y (Y , X ) ≤ X Y ⇒ ( X , Y ) + (Y , X ) ≤ X Y , Do X +Y = X + Y + ( X , Y ) + (Y , X ) ≤ X + Y + ( X , Y ) + (Y , X ) ≤ X +2 X Y + Y ⇒ X +Y ⇒ X +Y ≤ X + Y ≤ X +2 X Y + Y 2 =( X + Y ) Hai ví dụ quan trọng Khơng gian vectơ ℝ d ℂ d hữu hạn chiều Trong phần chuỗi Fourier , cần hai không gian vectơ vơ hạn chiều hai ví dụ Ví dụ 1: Khơng gian vectơ ℓ ( ℤ ) ℂ tập tất dãy vô hạn số phức (⋯ , a− n ,⋯ , a−1 , a0 , a1 ,⋯ , an ,⋯) Sao cho 35 ∑a n∈Z n < ∞; nghĩa chuỗi hội tụ Phép cộng ñược ñịnh nghĩa cộng thành phần, phép nhân vô hướng Tích hai vectơ A = (⋯ , a−1 , a0 , a1 ,⋯) B = (⋯ , b−1 , b0 , b1 ,⋯) ñược ñịnh nghĩa chuỗi sau: ( A, B ) = ∑ an bn n∈Z Chuẩn A ñược cho 12 = ∑ an n∈Z A = ( A, A) 12 Trước tiên kiểm tra ℓ ( ℤ ) không gian vecto Nghĩa cần kiểm tra A B hai phần tử ℓ ( ℤ ) , vectơ A + B phần tử ℓ ( ℤ ) ðể thấy ñiều với số nguyên N > tập AN ñược ký hiệu AN = (⋯ , 0, 0, a− N ,⋯ , a−1 , a0 , a1 ,⋯ , aN , 0, 0,⋯) , Tức ta ñặt an = với n > N Ký hiệu tương tự cho tập BN Khi áp dụng bất đẳng thức tam giác không gian Euclidean hữu hạn chiều, có AN + BN ≤ AN + BN ≤ A + B ⇒ AN + BN ≤( A + B ) Do ∑ n ≤N an + bn ≤( A + B Cho N tiến vơ ∑ n∈Z ) , an + bn < ∞ Từ chứng minh ta thấy rằng: bất ñẳng thức tam giác A + B ≤ A + B ñúng Bất ñẳng thức Cauchy-Schwarz, phát biểu tổng ∑ n∈Z an bn hội tụ tuyệt ñối ( A, B ) ≤ A B ñược chứng minh tương tự Trong ví dụ ba khơng gian vecto ℝ d , ℂd ℓ ( ℤ ) với tích chuẩn chúng thỏa mãn hai tính chất quan trọng sau: (i) Tích xác định dương chặt ,nghĩa là, X = kéo theo X = 36 (ii) Các khơng gian vectơ nói ñầy ñủ, nghĩa dãy Cauchy theo chuẩn hội tụ tới giới hạn không gian vectơ Một khơng gian tích với hai tính chất gọi không gian Hilbert Chúng ta thấy ℝ d ℂ d ví dụ không gian Hilbert hữu hạn chiều, ℓ ( ℤ ) ví dụ khơng gian vectơ vơ hạn chiều Nếu hai điều kiện sai khơng gian gọi khơng gian tiền Hilbert Ví dụ 2: Ký hiệu ℝ hàm phức khả tích Riemann đoạn [0.2π ] (hoặc tương đương, hàm khả tích đường trịn) ðây khơng gian vectơ ℂ Tổng ñược ñịnh nghĩa theo ñiểm là: ( f + g )(θ ) = f (θ ) + g (θ ) Phép nhân vô hướng với λ ∈ C cho ( λ f )(θ ) = λ f (θ ) Tích xác định khơng gian vectơ là: ( f ,g) = (1) 2π ∫ 2π f (θ ) g (θ )dθ Chuẩn f f = 2π ∫ 2π f (θ ) 12 dθ Ta kiểm tra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất ñẳng thức tam giác ñúng trường hợp nghĩa chứng minh ( f ,g) ≤ f g f + g ≤ f + g Chú ý cho hai số thực A B AB ≤ ( A2 + B ) Nếu ñặt A = λ f (θ ) B = λ −1 g (θ ) với λ > , nhận ñược f (θ ) g (θ ) = λ f (θ ) λ −1 g (θ ) ⇒ 2π ∫ 2π ≤ 1 −1 λ f (θ ) + λ g (θ ) 2 ≤ 2 1 −1 λ f (θ ) + λ g (θ ) 2 f (θ ) g (θ ) dθ ≤ 1 λ 2π ∫ 2π f (θ ) dθ + λ −1 2π ∫ 2π g (θ ) dθ 37 = Do đó: ( f ,g) ( λ f + λ −1 g 2 ) 2π f (θ ) g (θ )dθ 2π ∫0 2π ≤ f (θ ) g (θ ) dθ 2π ∫0 2 ≤ λ f + λ −1 g = ( ) Giả sử f ≠ g ≠ g ðặt λ= Thì ( f ,g) f ≤ 1 g f = f (f = f 2 g g f + g + f ) g g 3.1.2 chứng minh hội tụ theo trung bình- bình phương Xét hàm khả tích đường trịn khơng gian ℝ với tích ( f ,g) = 2π ∫ 2π f (θ ) g (θ )dθ chuẩn f ñược xác ñịnh f =(f, f )= 2π ∫ 2π f (θ ) dθ Với ký hiệu này, phải chứng minh f − S N ( f ) → với N tiến tới vô cực ðặt en (θ ) = einθ , n số nguyên, ta chứng minh tập {en }n∈Z trực chuẩn; nghĩa 1 n = m 0 n ≠ m ( en , em ) = Chứng minh: Ta có: ( en , em ) = 2π ∫ 2π en (θ ) em (θ )dθ 38 2π = 2π = 2π = ∫ 2π ∫ 2π ∫ 2π einθ einθ dθ einθ e − imθ dθ e( i n − m )θ dθ Do ñó : ( en , em ) = n = m 2π ∫ 2π dθ = 1 ( en , em ) = 2π n ≠ m i n−m θ e( ) i (n − m) 2π = 0 Cho f hàm khả tích ñường tròn, an ký hiệu hệ số Fourier Nhận thấy hệ số Fourier ñược biểu diễn tích f với phần tử tập trực chuẩn {en }n∈Z : ( f , en ) = Ta có: f − 2π ∫ 2π ∑ a e ,e n ≤N n n m f (θ )e − inθ dθ = an = ( f , em ) − ∑ an en , em n ≤N = ( f , em ) − ∑ a (e , e ) n ≤N n n m Nếu m ≤ N thì: f − = f , em ) − am ( em , em ) m ( ∑ a e ,e n ≤N n n = ( f , em ) − am = am − am = Nên: f − ∑ae n ≤N n n trực giao với em , ∀ m ≤ N Do với họ số phức ( bm ) ta có: f − e = m m ∑ae,∑b n ≤N n n m ≤N m ∑ f − ∑ a e , b e m ≤N n ≤N n n m 39 = ∑b m m ≤N Suy ra: f − ∑ae n ≤N n n trực giao với ( f −∑ (2) n ≤N ) f − ∑ a ,e ,e n ≤N n n m = ∑b m ≤N m 0=0 ∑ bm em nghĩa là: m ≤N ∑b an en ⊥ e m m m ≤N Chúng ta ñưa hai kết luận: Thứ nhất, ứng dụng ñịnh lý Pythagorean ñể khai triển f = f − ∑ an en + ∑ an en , n ≤N n ≤N Chọn bn = an , ta thu ñược f 2 = f − ∑ n ≤ N an en ∑ae + n n n ≤N Do {en }n∈Z trực chuẩn nên áp dụng định lý Pitago ta có: ∑ae n ≤N n n = ∑ n ≤N an en = ∑ n ≤N an , Vậy (3) f = f − SN ( f ) + ∑ n ≤N an Thứ hai, từ cơng thức (2) ta có bổ đề Bổ đề 1.2 (Sấp xỉ tốt nhất) Nếu f khả tích đường trịn với hệ số Fourier an , f − SN ( f ) ≤ f − ∑ce n ≤N n n với số phức cn Dấu “=” xảy cn = an , ∀ n ≤ N Chứng minh: Ta có : f − ∑ cn en = f − ∑ae n
Ngày đăng: 30/10/2022, 05:41
Xem thêm:
