Khéo tay hay làm Khéo tay hay làm Khéo tay hay làmkl mai thi phuong

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC BÁN CÔNG TÔN ĐỨC THẮNG - MAI THỊ PHƯỢNG TÌM HIỂU VỀ NHĨM Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Mã ngành : 01.01.11 Luận Văn Cử Nhân Khoa Học Toán Ứng Dụng Giảng viên hướng dẫn luận văn : Th.Sỹ TRẦN THỊ PHƯỢNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2007 Lời cảm ơn Quyển Luận Văn thành đúc kết trình học tập nghiên cứu suốt năm ngồi ghế giảng đường Đại Học Luận Văn khơng hồn thiện có cố gắng riêng thân em Những thành ngày hơm em cịn có giúp sức Thầy Cô giáo bạn bè xung quanh Đầu tiên em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, người thân tạo điều kiện vật chất tinh thần em theo học ngày hôm Em xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến cô hướng dẫn em cô Trần Thị Phượng Với trách nhiệm nhiệt tình mình, hết lịng tạo điều kiện giúp đỡ em nhiều suốt trình thực Luận Văn Tốt Nghiệp Em xin cảm ơn tất quý Thầy Cô ban giám hiệu nhà t rường, đặc biệt quý Thầy Cơ khoa Cơng Nghệ Thơng Tin Tốn Ứng Dụng, trường Đại Học Bán Công Tôn Đức Thắng dùng tất tâm huyết, kinh nghiệm để truyền đạt trang bị cho em kiến thức q trình học tập trường Bên cạnh em gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên phản biện, người có đóng góp ý kiến nhận xét cho Luận Văn em hồn chỉnh Với ý kiến góp ý chân thành Thầy Cơ giúp em có thêm nhiều kiến thức vô quý báu để rút kinh nghiệm cho lần nghiên cứu sau Với dòng chữ ngắn ngủi diễn đạt hết lịng biết ơn em gia đình, quý Thầy Cô Một lần em xin chân thành cảm ơn Mặc dù cố gắng hoàn thành Luận Văn với tất nỗ lực thân, Luận Văn chắn không tránh khỏi thiếu sót định Kính mong cảm thơng tận tình bảo q Thầy Cơ Ngày 26 tháng năm 2007 Sinh viên : Mai Thị Phượng Tóm lược Luận văn tìm hiểu lý thuyết Nhóm Cụ thể, luận văn trình bày định nghĩa, tính chất tập có liên quan tập hợp, ánh xạ, phép toán hai ngơi, đồng cấu, nhóm, nhóm chuẩn tắc, nhóm hốn vị, sâu tìm hiểu nhóm Sylow Về chi tiết, luận văn chia làm ba phần : phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần nội dung trình bày hai chương : Chương : Tập hợp – Anh xạ – Quan hệ: trình bày lại số khái niệm định nghĩa tập hợp, ánh xạ, quan hệ tương đương quan hệ thứ tự Chương : Nửa nhóm nhóm : giới thiệu số khái niệm mở đầu liên quan đến tập hợp có trang bị phép tốn hai ngơi giúp làm quen với vấn đề “thuật ngữ ký hiệu ” Ký hiệu nhân ký hiệu cộng phép tốn nhấn mạnh từ định nghĩa nhóm quy tắc tính nhóm Phân hoạch nhóm theo nhóm Tìm hiểu định nghĩa Đồng cấu, sau nói đến Định lý Lagrange nhóm hữu hạn, có định nghĩa nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Cuối hệ Tác động nhóm lên tập hợp, Tác động liên hợp Định lý Sylow áp dụng vào để chứng minh nhóm p-nhóm Sylow nhóm giải Ngồi ta sử dụng Định lý Sylow làm cơng cụ để tìm p-nhóm Sylow Mục lục Trang Các ký hiệu luận văn PHẦN MỞ ĐẦU Mục đích nghiên cứu đề tài 2.Đối tượng phạmvi nghiên cứu đề tài PHẦN NỘI DUNG Chương Tập hợp – Anh xạ – Quan hệ 1.1 Tập hợp 1.2 Ánh xạ 16 1.3 Phép 25 1.4 Quan hệ hai 30 Chương Nửa nhóm nhóm 36 2.1 Nửa nhóm 36 2.1.1 Phép toán hai 36 2.1.2 Nửa nhóm 38 2.2 Nhóm 42 2.2.1 Định nghĩa tính chất nhóm 42 2.2.2 Nhóm 45 2.2.3 Đồng cấu 49 2.2.4 Định lý Lagrange 53 2.2.5 Các Định lý đẳng cấu 61 2.2.6 Tác động nhóm lên tập hợp 64 2.2.7 Tác động liên hợp 66 2.2.8 p-nhóm 67 2.2.9 Các Định lý Sylow 69 2.2.10 Nhóm giải 73 PHẦN KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 Luận văn cử nhân Trang Các ký hiệu luận văn N Z Q Q* R R* C C* A×B fg Sign(f) Sn A≤X |X| X A e (hoặc 1) a-1 X≃Y Kerf Imf [X : A] Ax A⊳X N X (A) [x, y] [X, X] Aut(X) A char X : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỷ : Tập hợp số hữu tỷ khác : Tập hợp số thực : Tập hợp số thực khác : Tập hợp số phức : Tập hợp số phức khác : Tích Descartes tập hợp A B : Hợp thành ánh xạ : Dấu phép f : Nhóm đối xứng bậc n : A nhóm X : Cấp nhóm X : Tập thương X A : Nhóm X sinh tập M : Nhóm xiclic sinh phần tử a : Phần tử trung hoà nhóm : Phần tử nghịch đảo phần tử a : Nhóm X đẳng cấu với nhóm Y : Nhân đồng cấu f : Ảnh đồng cấu f : Chỉ số A X : Nhóm liên hợp với A : A nhóm chuẩn tắc X : Chuẩn hoá tử A X : Hoán tử x y : Nhóm hốn tử X : Nhóm tự đẳng cấu X : A nhóm đặc trưng X Luận văn cử nhân Trang PHẦN MỞ ĐẦU Luận văn cử nhân Trang MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Tốn học mơn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Trong Đại số ngành Toán học nghiên cứu cách trừu tượng hệ thống số đếm phép tính chúng Đại số xem ngành Toán học mở rộng hố trừu tượng hố mơn Số học Chúng ta học môn Đại số sơ cấp trường phổ thông, chủ yếu liên quan đến phép tính số thực, hàm số, phương trình đồ thị sơ cấp Nền tảng Đại số cấu trúc: Nhóm, Vành, Trường Việc tìm hiểu cấu trúc giúp hiểu biết thêm cấu trúc đại số tổng quát, kiến thức tảng Đại số, sở kiến thức học phép toán, số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, v.v… Luận văn tìm hiểu cấu trúc Nhóm ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Có nhiều cấu trúc Tốn học khác quy cấu trúc nhóm Trong bao gồm cấu trúc tập hợp số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức Nhóm thường nghiên cứu nhóm hốn vị Nhóm ứng dụng để giải phương trình đại số giải Lý thuyết nhóm ứng dụng rộng rãi tốn học ngành khoa học kỹ thuật khác Luận văn tìm hiểu Nhóm bản, đặc biệt tìm hiểu p_nhóm, p_nhóm Sylow (p số nguyên tố), nhóm giải Luận văn cử nhân Trang PHẦN NỘI DUNG Luận văn cử nhân Trang Chương 1: Tập hợp –Ánh xạ - Quan hệ CHƯƠNG TẬP HỢP – ÁNH XẠ – QUAN HỆ 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 KHÁI NIỆM TẬP HỢP Tập hợp ( hay gọi đơn giản tập ) khái niệm Tốn học khơng định nghĩa Những vật, đối tượng Toán học… tụ tập theo tính chất chung tạo thành tập hợp Các ví dụ sau giúp ta hình dung rõ tập hợp: - Tập hợp N số tự nhiên - Tập hợp Z số nguyên - Tập học sinh lớp học Các vật, đối tượng Toán học tham gia tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Các tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C…, X, Y, Z,… phần tử tập thường ký hiệu chữ in thường a, b, c…, x, y, z,… Để biểu thị a phần tử tập A, ta viết a ∈ A ( đọc : a thuộc A ) Để biểu thị a không phần tử tập A, ta viết a ∉ A (đọc : a không thuộc A) Hai tập A B xem nhau, ký hiệu A = B phần tử thuộc tập A thuộc tập B ngược lại Một tập hợp xem xác định ta xác định tất phần tử tập hợp Thơng thường phần tử tập hợp X xác định tính chất chung p Khi ta viết : X = { x / x có tính chất p } nói X tập tất phần tử x mà x có tính chất p Một tập hợp có hữu hạn vơ hạn phần tử Nếu tập có hữu hạn phần tử ta cịn xác định tập cách liệt kê tất phần tử tập Chẳng hạn, X tập có n phần tử x , x ,…,x n ta viết : X = {x , x ,…, x n } Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập gọi tập hợp rỗng ký hiệu Ơ Chẳng hạn tập nghiệm thực phương trình x2 + = tập rỗng Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập con, phận tập B, ký hiệu A ⊂ B ( đọc A tập B, hay A chứa B ) B ⊃ A ( đọc B chứa A ) Luận văn cử nhân Trang Chương 1: Tập hợp –Ánh xạ - Quan hệ Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa : 1- Ơ ⊂ A, A ⊂ A 2- Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C 3- A = B A ⊂ B, B ⊂ A ■ Các tập X thường bao gồm phần tử X có thêm tính chất chung p Ký hiệu : A = { x ∈ X / x có tính chất p } A tập X gồm tất phần tử X có tính chất p Khi tập X cho, ta xét tập mà phần tử tập X, ký hiệu P (X) Như : P (X) = { A / A ⊂ X } 1.1.2.CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Có nhiều cách tạo nên tập hợp từ tập hợp cho Sau ba phép toán 1.1.2.1.Định nghĩa phép toán Cho A B hai tập tùy ý 1-Hợp A B tập hợp phần tử thuộc hai tập đó, ký hiệu A ∪ B Tức : A ∪ B = { x / x ∈ A x ∈ B } 2-Giao A B tập hợp phần tử thuộc đồng thời A B, ký hiệu A ∩ B.Tức : A ∩ B = { x / x ∈ A x ∈ B } Nếu A ∩ B = Ơ ta nói A B không giao hay rời 3-Hiệu A B tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B, ký hiệu A ∖ B Tức : A ∖ B = { x / x ∈ A x ∉ B } Luận văn cử nhân Trang Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm 2.2.6.3 Định nghĩa Ta gọi nhóm X m Mệnh đề 2.2.6.2 nhóm ổn định m X 2.2.6.4 Định nghĩa Cho tác động nhóm X lên tập hợp M m ∈ M Tập hợp X ∗ m ={x ∗ m | x ∈ X} gọi quỹ đạo phần tử m 2.2.6.5 Mệnh đề Hai quỹ đạo trùng có giao tập rỗng Chứng minh: Xét hai quỹ đạo X ∗ m X ∗ m’ Gả sử X ∗ m ∩ X ∗ m’ ≠ ∅ Khi tồn m ∈ X x, y ∈ X cho: m = x ∗ m m = y ∗ m’ Với a ∈ X ta có : a ∗ m = a ∗ (x-1 ∗ m ) = (ax-1) ∗ m ∈ X ∗ m Do : X ∗ m ⊂ X ∗ m1 Mặt khác, rõ ràng X ∗ m ⊂ X ∗ m Vậy X ∗ m = X ∗ m1 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: X ∗ m’ = X ∗ m Từ ta điều phải chứng minh ∎ 2.2.6.6 Mệnh đề Cho tác động nhóm X lên tập hợp M m ∈ M Khi tồn song ánh từ tập hợp tất lớp ghép trái X theo nhóm ổn định X m lên quỹ đạo X ∗ m Chứng minh: Xét tương ứng : f : X ∗ m → X∕X m x ∗ m  xX m Khi f ánh xạ đơn ánh, với x, y ∈ X, x ∗ m = y ∗ m ⇔ (y-1 x) ∗ m = m ⇔ y-1x ∈ X m ⇔ yX m = xX m Hơn rõ ràng f toàn ánh, f song ánh ∎ 2.2.6.7 Hệ Cho tác động nhóm X lên tập hợp M m ∈ M Khi số phần tử quỹ đạo phần tử m số nhóm ổn định X m X, nghĩa |X ∗ m| = [X : X m ] Từ Mệnh đề 2.2.6.5 suy (1) M = X ∗m , m∈Γ Γ tập hợp đầy đủ phần tử đại diện quỹ đạo Công thức (1) gọi công thức phân tích M thành quỹ đạo Nếu M tập hợp hữu hạn M = ∑ X ∗m (2) Do Hệ 2.2.6.7 ta có : m∈Γ M = ∑[ X : X m∈Γ Luận văn cử nhân m ] (3) Trang 60 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm 2.2.7 TÁC ĐỘNG LIÊN HỢP Xét nhóm X ánh xạ: X × X → X định nghĩa sau: (x, m)  x ∗ m = xmx-1 Có thể kiểm chứng dễ dàng tác động nhóm X lên tập X 2.2.7.1 Định nghĩa Tác động X×X → X (x, m)  xmx-1 gọi tác động liên hợp nhóm X Nếu a ∈ X nhóm ổn định X a tâm hóa tử C(a) a X a = {x ∈ X | xax-1 = a } = C(a) Hiển nhiên C(a) = X a ∈ Z(X) Do đó, X nhóm hữu hạn áp dụng cơng thức (3) cho trường hợp xét nhận công thức sau đây, thường gọi công thức lớp X = Z ( X ) + ∑ [ X : C ( xi )] (4) i∈Ι {x i | i ∈I} tập hợp tất phần tử X đôi không liên hợp không nằm tâm Bây gọi M tập hợp tất nhóm nhóm X Xét ánh xạ: ∗ : X×M → M (x, A)  x ∗ A = xAx-1 Dễ dàng kiểm chứng tác động nhóm X lên tập M tất nhóm X 2.2.7.2 Định nghĩa Ta gọi ánh xạ: ∗ : X×M → M -1  x ∗ A = xAx (x, A) tác động liên hợp nhóm X lên tập hợp tất nhóm X Nếu A ≤ X nhóm ổn định X A A trùng với chuẩn hoá tử N X (A) A: X A = {x ∈ X | xAx-1 = A} = N X (A) Quỹ đạo A X là: X ∗ A = {x ∗ A = xAx-1 | x ∈ X} Vậy X ∗ A tập hợp tất nhóm X liên hợp với A Áp dụng Hệ 2.2.6.7 cho trường hợp xét, ta có: 2.2.7.3 Hệ Nếu X nhóm hữu hạn A ≤ X số nhóm X liên hợp với A số N X (A) X 2.2.8 p_NHÓM 2.2.8.1 Định nghĩa Cho X nhóm p số nguyên tố Khi đó: i) Nếu phần tử X có cấp luỹ thừa p X gọi p-nhóm ii) Nếu A ≤ X A p-nhóm A gọi p-nhóm X iii) Một p-nhóm tối đại X gọi p-nhóm Sylow X 2.2.8.2 Định lý Cauchy.Nếu X nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho số nguyên tố p X chứa phần tử cấp p Luận văn cử nhân Trang 61 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Chứng minh: Đặt B = {(x , x , …, x p ) | x i ∈ X, x x x p = 1} Do chọn x , x , … , x p -1 tuỳ ý X x p = (x x ….x p -1 )-1 , nên từ nguyên lý nhân suy |B| = |X|p -1, |B| chia hết cho p Xét ánh xạ : B Ư: Zp × B → (r, (x , x , … , x p ))  (x r + , x r + , …, x r + p ), số bên phải lấy theo modulo p Khi Ư tác động Z p lên B Do |Z p | = p nên quỹ đạo B gồm p phần tử Rõ ràng B có quỹ đạo gồm phần tử, (1, 1, …, 1), đồng thời |B| chia hết cho p nên từ cơng thức phân tích thành quỹ đạo suy B có quỹ đạo khác gồm phần tử, gọi x = (x , x , …, x p ) ≠ (1, 1,…, 1) Khi Ư(1, x) = x, nghĩa x = x = … = x p ≠ 1, x ≠ x p = x x … x p = 2.2.8.3 Hệ Nhóm X hữu hạn p-nhóm |X| luỹ thừa p Chứng minh: Nếu |X| = pm Định lý Lagrange (Định lý 2.2.4.6) chứng tỏ X p-nhóm Ngược lại, X p-nhóm, giả sử |X| có ước ngun tố q ≠ p Định lý Cauchy (Định lý 2.2.8.2) suy X chứa phần tử cấp q Điều mâu thuẫn tính chất X p-nhóm ∎ 2.2.8.4 Định lý Nếu X ≠ p-nhóm hữu hạn Z(X) ≠ Chứng minh: Xét công thức lớp X = Z ( X ) + ∑ [ X : C ( xi )] i∈Ι Do x i ∉ Z(X) nên C(x i ) nhóm thực X, nên từ Hệ 8.3 suy [X : C(x i )] luỹ thừa p Từ suy |Z(X)| bội p 2.2.8.5 Ví dụ : Chứng minh p nguyên tố X nhóm khơng giao hốn có cấp p3 tính chất sau thoả: a) |Z(X)| = p b) X∕Z(X) ≃ Zp × Z p Giải: a) |Z(X)| = p Vì X p-nhóm nên Z(X) ≠ Vậy ta có |Z(X)| = p, |Z(X)| = p2, |Z(X)| = p3 Luận văn cử nhân Trang 62 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm *) |Z(X)| = p3 : suy Z(X) = X, hay X nhóm giao hốn, tráiớiv giả thiết Vậy trường hợp khơng xảy *) |Z(X)| = p2 : Ta có |X∕Z(X)| = p Vậy X∕Z(X) nhóm xiclic cấp p : X∕Z(X) = < aZ(X) > Xét x, y ∈ X, ta có : r  x = a r u  xZ ( X ) = a Z ( X ) ⇒  s s ( ) ( ) yZ X = a Z X  y = a v  Ta có : với u, v ∈ Z(X) xy = (ar u) (as v) = (uar ) (as v) = uar + s v = ar + s uv = ar + s vu = (vas ) (ar u) = (as v) (ar u) = yx Vậy X giao hốn Do trường hợp khơng xảy Tóm lại : |Z(X)| = p (ĐPCM)∎ b) X∕Z(X) ≃ Zp × Z p Tổng quát hơn, xét X nhóm có cấp p2 Ta chứng minh X ≃ Z p2 X ≃ Z p × Zp Ta chứng minh X∕Z(X) khơng thể nhóm xiclic xong Thật : Giả sử X∕Z(X) = < a Z(X) > Khi với x, y ∈ X :  xZ ( X ) = a k Z ( X )  x = a k u ⇒ với u, v ∈ Z(X)   yZ ( X ) = a l Z ( X )  y = a l v Vì |Z(X)| = p nên Z(X) nhóm xiclic, Z(X) = < b > Vậy u = br v = bs Ta có : xy = (ak br ) (al bs ) = (br ak ) (al bs ) = br ak + l bs = ak + l br + s k+l r+s Tương tự yx = a b Vậy xy = yx, X giao hốn, mâu thuẫn Vậy X∕Z(X) ≃ Z p × Z p 2.2.9 CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW 2.2.9.1 Định lý Sylow 1: Giả sử |X| = pm k, với p nguyên tố (p, k) = Khi với ≤ r ≤ m, tồn X nhóm có cấp pr Nói riêng, tồn X p-nhóm Sylow Chứng minh: Định lý chứng minh quy nạp theo cấp X Xét công thức lớp: Luận văn cử nhân Trang 63 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm X = Z ( X ) + ∑ [ X : C ( xi )] i∈Ι Nếu tồn i ∈ I cho p r ước | C(x i )| | C(x i )| < |X| nên theo giả thiết quy nạp, tồn nhóm C (x i ) có cấp p r Ngược lại, với i ∈ I, p r khơng ước |C(x i )| |X| = [X : C (x i )]|C(x i )| nên p ước [X : C(x i )] Từ công thức lớp suy p ước |Z(X)|, theo Định lý Cauchy tồn nhóm N ≤ Z(X) cho |N| = p Vì Z(X) giao hốn chuẩn tắc X nên N ⊳ X Đặt X = X∕N, suy X1 = X / N = X N = X p |X | < |X| Do p r -1 ước |X | Áp dụng giả thiết quy nạp, tồn X nhóm A có cấp p r -1 Xét đồng cấu tự nhiên: ϕ : X → X = X∕N Theo Định lý đẳng cấu A có dạng : A∕N, A ≤ X N ⊂ A Vậy Định lý chứng minh ∎ 2.2.9.2 Định lý Sylow 2: Giả sử X nhóm hữu hạn p ước nguyên tố |X| Khi đó: i) Mọi p-nhóm A X nằm p-nhóm Sylow X ii) Tất p-nhóm Sylow X liên hợp với iii) Nếu r số p-nhóm Sylow X r ≡ 1(mod p) Chứng minh: i) Giả sử p ước nguyên tố |X| Xét p-nhóm Sylow P X tác động liên hợp X lê n tập hợp tất nhóm X Gọi [P] quỹ đạo P X: [P] = {xPx-1 | x ∈ X} Quỹ đạo tập hợp tất nhóm X liên hợp với P Theo Hệ 2.2.7.3, |[P]| = [X : N X (P)] Xét p-nhóm A tác động li ên hợp A lên [P] Khi [P] phân tích thành hợp quỹ đạo A, mà để ngắn gọn ta gọi A-quỹ đạo Từ Hệ 2.2.6.7 suy A-quỹ đạo có độ dài ước |A|, có dạng p , với ≤ ≤ m Do |[P]| số không chia h ết cho p, nên số A-quỹ đạo nói phải có quỹ đạo có độ dài (ứng với = 0) Gọi quỹ đạo {P’} Khi : {aP’a-1 | a ∈ A} = {P’}, hay aP’a-1 = P’, ∀a ∈ A Điều chứng tỏ A ≤ N X (P’) Do P’⊳ N X (P’) nên P’A nhóm N X (P’) Mặt khác, P’ p-nhóm Sylow, nên từ suy P’ = P’A Do A ≤ P’ (ĐPCM) ii) Nếu chứng minh ta lấy A p-nhóm Sylow A = P’ Nhưng P’ ∈ [P] nên A liên hợp với P Như tất p-nhóm Sylow X liên hợp với Luận văn cử nhân Trang 64 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm iii) Nếu A p-nhóm Sylow {P’} A -quỹ đạo có độ dài theo chứng minh ta P’ = A Vậy có A-quỹ đạo có độ dài Do : |[P]| ≡ 1(mod p) (ĐPCM) ∎ 2.2.9.3 Bổ đề Frattini Cho X nhóm hữu hạn A ⊳ X Khi P p-nhóm Sylow A X = A N X (P) Chứng minh: Với x ∈ X, Px ≤ Ax = A nên P Px liên hợp A, tồn a ∈ A cho P x = P a, Suy a-1x ∈ N X (P) Do x = a(a-1x) ∈ A N X (P) Như X ⊂ A N X (P), Hay X = A N X (P) 2.2.9.4 Hệ quả.(Bổ đề Frattini tổng quát) Cho X nhóm A ⊳ X Giả sử B ≤ A nhóm thoả tính chất: “mọi nhóm B’ ≤ A liên hợp với B X liên hợp với B A” Khi X = A N X (B) Chứng minh: Với x ∈ X, Bx ≤ Ax = A nên B Bx liên hợp A, tồn a ∈ A cho Bx = Ba, Suy a-1x ∈ N X (B) Do x = a(a-1x) ∈ A N X (B) Như X ⊂ A N X (B), hay X = A N X (B) ∎ 2.2.9.5 Các ví dụ Ví dụ : Cho A ⊳ X Chứng minh A X∕A p-nhóm X p-nhóm Giải : Giả sử A X∕A p-nhóm có cấp pn Khi : |A| = pn |X∕A| = pn Mặt khác : X / A = X A = pn Do A ⊳ X nên |X| = p Vậy X p-nhóm n Luận văn cử nhân Trang 65 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Ví dụ : Cho X nhóm Chứng minh A nhóm X có cấp k A nhóm chuẩn tắc X Giải : Giả sử A nhóm X Khi : ∀x ∈ X, ta có Ax ≤ A Mặt khác: |Ax| = |A| = k nên Ax = A , A nhóm X Vậy A ⊳ X Ví dụ : Giả sử X nhóm hữu hạn P p -nhóm Sylow X Chứng minh P p-nhóm Sylow X P ⊳ X Giải : +) Giả sử P p-nhóm Sylow X Khi theo ví dụ ta suy P ⊳ X +) Ngược lại, giả sử P ⊳ X theo giả thiết ta có P p -nhóm Sylow X Bây ta chứng minh P Thật vậy, gọi P’ p -nhóm Sylow X, ∃x ∈ X cho P’ = xPx-1 , P’ = P Vậy P p -nhóm Sylow X Ví dụ : Chứng minh X hữu hạn p-nhóm chuẩn tắc X chứa tất p-nhóm Sylow X Giải : Giả sử A p-nhóm chuẩn tắc X P p-nhóm Sylow X Khi ta có A ⊂ P Theo Định lý Sylow A chia hết cho p-nhóm Sylow X, ta gọi p nhóm Sylow Q Do P Q p-nhóm Sylow X Khi ∃x ∈ X cho Q = xPx-1 Do A ⊂ Q = xPx-1 A = x-1Ax ⊂ P Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ : Cho X nhóm có cấp 2.72 Chứng minh X phân tích thành tích trực tiếp hai nhóm X Giải : Với |X| = 52.72 Theo Định lý Sylow 1, tồn X p -nhóm Sylow Gọi A B 5_nhóm Sylow 7_nhóm Sylow X Khi số nhóm X liên hợp với: A : + 5i | [X : A] = 72 B : + 7i | [X : A] = 52 Do i = j = A, B chuẩn tắc X Mặt khác, AB = AB A∩ B = 52.72 = |X| Vậy X = AB ≃ A × B Ví dụ : Cho p, q nguyên tố với p > q Chứng minh rằng, |X| = pq X có p_nhóm Sylow nhóm chuẩn tắc X Giải : Luận văn cử nhân Trang 66 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Giả sử |X| = pq Gọi A p-nhóm Sylow X Khi số nhóm X liên hợp với A : + p i Mặt khác, + p i | [X : A] = q Vì p > q nên i = Do A ⊳ X 2.2.10 NHÓM GIẢI ĐƯỢC 2.2.10.1 Định nghĩa Cho X nhóm Nếu ánh xạ f : X → X đẳng cấu f gọi tự đẳng cấu X Tập hợp tất tự đẳng cấu X ký hiệu Aut(X) Dễ dàng chứng minh Aut(X) nhóm với phép nhân đồng cấu Một nhóm A X gọi nhóm đặc trưng X, ký hiệu A char X, f (A) = A, ∀f ∈ Aut(X) 2.2.10.2 Mệnh đề i) Nếu f (A) ≤ A, ∀f ∈ Aut(X) A char X ii) Nếu A char X A⊳X iii) Nếu A char B B char X A char X iv) Nếu A char B B⊳X A⊳ X v) Nếu A ≤ B ≤ X A char X, B∕A char X∕A B char X Chứng minh : i) Với ∀f ∈ Aut(X) ta có ∀f -1 ∈ Aut(X), nên f (A) ≤ A f -1(A) ≤ A Do A = f (f -1 (A)) ≤ f (A) ≤ A Suy f (A) = A ii) Giả sử A char X a phần tử X Xét ánh xạ : fa: X → X x → xa Rõ ràng f a ∈ Aut(X) nên A = f a (A) = Aa, mà a phần tử X nên A ⊳ X iii) Cho f tự đẳng cấu X Vì B char X nên f (B) = B, : f |B : B → B tự đẳng cấu B Mà A char B nên A = f |B (A) = f (A) Vậy A char X iv) Cho a phần tử X Xét ánh xạ : f : X → X x → xa Rõ ràng f ∈ Aut(X) Vì B ⊳ X nên f (B) = B, f |B : B → B tự đẳng cấu B Mà A char B nên A = f |B (A) = f (A), = f (h) ∈ A, ∀h ∈ A, nghĩa Luận văn cử nhân Trang 67 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Aa ≤ A Vậy A ⊳ X v) Với ∀f ∈ Aut(X) ta có f (A) = A Do ta định nghĩa ánh xạ f ‘ X∕A sau : f ‘ : X∕A → X∕A xA  f (x)A Khi dễ dàng chứng minh f ‘ xác định đẳng cấu, nghĩa là: f ‘ ∈ Aut(X∕A), từ giả thiết B∕A char X∕A suy f ‘(B∕A) = B∕A, nghĩa với x ∈ B, f ‘(xA) = f (x)A ∈ B∕A Do f (x) ∈ B, hay f (B) ≤ B Mà f Aut(X) nên từ i) suy B char X ∎ 2.2.10.3 Định nghĩa Nhóm X gọi nhóm giải có dãy hữu hạn nhóm X = X ≥ X ≥ … ≥ X n = (1) thoả điều kiện sau : i) X i ⊳ X i -1 , ∀i, ≤ i ≤ n ii) X i -1 ∕ X i nhóm Abel với i , ≤ i ≤ n Dãy (1) Định nghĩa gọi chuỗi giải 2.2.10.4 Định nghĩa Cho X nhóm, đặt X (0) = X ; X (i +1) = [X (i ) , X (i )], ∀i ≥ Nhóm X (i ) gọi nhóm hốn tử bậc i X Dãy nhóm hoán tử (2) X = X (0) ≥ X (1) ≥ X (2) ≥ … gọi chuỗi dẫn xuất X 2.2.10.5 Mệnh đề Cho X nhóm Khi : i) X (i) char X , ∀i ∈ N ii) X (i + j ) = (X (i))(j ) , ∀i, j ∈ N Chứng minh : i) Giả sử f tự đẳng cấu X Khi đó, với a, b ∈ X, f ([a, b]) = [f (a), f (b)] ∈ [X, X] nên f ([X, X]) ≤ [X, X] Vậy [X, X] char X Nói riêng, với i, X (i +1) = [X (i), X (i)] char X (i) (3) Bằng quy nạp theo bậc i giao hoán tử, giả sử : X (i) char X Khi đó, từ Mệnh đề 2.2.10.2 iii) suy X (i + 1) char X Vậy Luận văn cử nhân Trang 68 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm X (i) char X với ∀i ∈ N ii) Bằng quy nạp theo i, j, giả sử X (i + j ) = (X (i))(j ) Khi : X (i + j + 1) = [X (i + j) , X (i + j)] = [(X (i))(j) , (X (i))(j) ] = (X (i))(j + 1) ∎ 2.2.10.6 Mệnh đề Giả sử X = X0 ≥ X1 ≥ … ≥ Xn = chuỗi giải Khi X i ≥ X (i) , với ∀i ∈ N Chứng minh : Với i, nhóm thương X i ∕ X i + giao hoán nên [x i , y i ] ∈ X i + , ∀x i , y i ∈ X i Do (4) [X i , X i ] ≤ X i + Rõ ràng X = X = X (0) Bằng quy nạp theo i, giả sử X i ≥ X (i ) Khi [X i , X i ] ≥ [X (i ) , X (i ) ] = X (i + 1) Từ (4) (5) suy X i + ≥ X (i + 1) Vậy mệnh đề chứng minh ∎ (5) 2.2.10.7 Định lý Nhóm X giải tồn n ∈ N cho X (n) = Luận văn cử nhân Trang 69 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Chứng minh : Giả sử X giải được, nghĩa có chuỗi giải X = X ≥ X ≥ … ≥ X n = Do Mệnh đề 2.2.10.6, = X n ≥ X (n) nên X (n) = Ngược lại, giả sử X (n) =1 Với i , X (i + 1) = [X (i) , X (i)] nên X (i + 1) ⊳ X (i) X (i) ∕ X (i + 1) giao hốn Do chuỗi dẫn suất X = X (0) ≥ X (1) ≥ … ≥ X (n) = chuỗi giải được, nghĩa X giải ∎ Hệ sau dễ dàng suy từ Định lý 2.2.10.7 : 2.2.10.8 Hệ Nếu tồn nhóm A ≠ X cho A (1) = A X khơng giải 2.2.10.9 Định nghĩa Nếu X giải số n nhỏ cho X (n) = gọi bậc giải X 2.2.10.10 Định lý Mọi nhóm nhóm giải giải Chứng minh : Giả sử X giải Khi tồn n ∈ N cho X (n) = Nếu A ≤ X : A (i ) ≤ X (i ) , ∀i nên A (n) ≤ X (n ) =1, (n) A = Vậy A giải ∎ 2.2.10.11 Định lý Nếu X giải f : X → A tồn cấu A giải Chứng minh : Giả sử X giải Khi tồn n ∈ N cho X dàng chứng minh quy nạp A (i ) = f (X (i) ), ∀i Nói riêng, A (n) = f (X (n) ) = f (1) = Do A giải ∎ (n) = Nếu A = f (X) dễ 2.2.10.12 Định lý Nếu A ⊳ X hai nhóm A X∕A giải X giải Chứng minh : Đặt B = X∕A Do A B giải nên tồn m, n ∈ N cho A(m) = B (n) = Xét đồng cấu tự nhiên f : X → B Do B (n) = nên f (X (n) ) = 1, nghĩa (n) X ≤ A Suy ra: (X (n)) (m) ≤ A(m) =1 Do theo Mệnh đề 2.2.10.5 ii) ta : X (m + n) = (X (n))(m) = Luận văn cử nhân Trang 70 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm Vậy X giải ∎ 2.2.10.13 Hệ Nếu hai nhóm A B giải A × B giải Chứng minh : Đặt X = A × B Khi A ⊳ X B ≃ X∕A, mà A B giải nên X∕A giải Do từ Định lý 2.2.10.12 suy X giải ∎ 2.2.10.14 Định lý.Mọi p-nhóm X hữu hạn giải Chứng minh : Vì X p -nhóm nên Z(X) ≠ 1, suy X∕Z(X) p-nhóm có cấp nhỏ |X| Do quy nạp theo cấp X suy X ∕Z(X) giải được, mà Z(X) nhóm giao hốn nên giải Do X giải 2.2.10.15 Các ví dụ Ví dụ : Cho X nhóm Chứng minh Z(X) char X Giải : Với ∀f ∈ Aut(X) ta có f -1 ∈ Aut(X), nên f (Z(X)) ≤ Z(X) f : Z(X) = f ( f -1 (Z(X))) ≤ f (Z(X)) ≤ Z(X) ⇒ f (Z(X)) = Z(X) Vậy Z(X) char X -1 (Z(X)) ≤ Z(X) Do Ví dụ :Cho p, q nguyên tố Chứng minh rằng: a) Mọi nhóm có cấp pq giải b) Mọi nhóm có cấp p2q giải Luận văn cử nhân Trang 71 Chương 2: Nửa Nhóm Và Nhóm a) |X| = pq Với p ≥ q Giải : Theo Định lý Sylow : tồn X p-nhóm Sylow , gọi P Khi theo Định lý Sylow : ta có số nhóm X liên hợp với P là: + p i | [X : P] = q Do : + p i | q i = (p ≥ q) nên P ⊳ X Ta có : |P| = p , P nhóm giải Mặt khác |X∕P| = q, X∕P giải Vậy X giải ⇒ĐPCM b) |X| = p2q Gọi P p-nhóm Sylow X Q q-nhóm Sylow X Theo Định lý Sylow ta có : |P| = p2 |Q| = q Gọi n p , n q số nhóm liên hợp P Q Theo Định lý Sylow ta có: n p = + pi , n p | [X : P] = q ; (1) n q = + q j, n q | [X : Q] = p ; (2) *) Trường hợp 1: p ≥ q Từ (1) ⇒ i = Do P ⊳ X Từ P X∕P giải nên X giải *) Trường hợp 2: p < q Từ (2) ta có: + q j | p2 Khi + q j = 1, p, p2 +) + q j = ⇒ j = Trong trường hợp này, Q ⊳ X Vì Q X∕Q giải nên X giải +) + q j = p (< q ) ⇒ j = X giải +) + q j = p2 ⇒ q | (p – ) (p + 1) ⇒ q | p + (q > p) ⇒ q = p + Vì p q nguyên tố, nên phương trình thoả mãn p = q = Do đó, trường hợp |X| = 22.3 Ta có : n = + 2i | ⇒ i = i = 1, n = + 3i | 22 ⇒ j = j = Nếu i = j = 0, ta có điều phải chứng minh Giả sử i ≠ j ≠ , chẳng hạn : i = j = Do ta có số 22-nhóm Sylow X nhóm số 3-nhóm Sylow X nhóm Gọi P , P , P , P 3-nhóm Sylow Q , Q , Q 22-nhóm Sylow X Rõ ràng : P i ∩ P j = (e) ∀i ≠ j, P i ∩ Q j = (e) ∀i = 1, 2, 3, 4, ∀j = 1, 2, Do đó, | P ∪ P ∪ P ∪ P | = × + = (phần tử) Vì P i ∩ Q j = (e), nên Q , Q , Q có (12 – 9) + = phần tử Do Q = Q = Q , mâu thuẫn Vậy i = j = ⇒ điều phải chứng minh Luận văn cử nhân Trang 72 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu cấu trúc Đại số Nhóm, tảng việc nghiên cứu sâu Đại số tuý tảng Tin học Hướng phát triển Luận văn tìm hiểu cấu trúc Đại số khác ứng dụng Tin học, lý thuyết mật mã Do thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn giới hạn tìm hiểu Nhóm Em hy vọng có dịp nghiên cứu sâu thêm Nhóm khác cấu trúc Vành, Trường ứng dụng chúng Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy cô Hội Đồng phản biện đọc kỹ cho em thấy thiếu sót luận văn Luận văn cử nhân Trang 73 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Cấu trúc đại số, NXB Giáo Dục [2] Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo, Đại số đại, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh – 2002 [3] Lê Thanh Hà, Các cấu trúc đại số bản, NXB Giáo Dục – 2000 [4] Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [5] PTS Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo Dục – 1998  Luận văn cử nhân Trang 74 ... thành đúc kết trình học tập nghiên cứu suốt năm ngồi ghế giảng đường Đại Học Luận Văn khơng hồn thi? ??n có cố gắng riêng thân em Những thành ngày hôm em cịn có giúp sức Thầy Cơ giáo bạn bè xung... thành cảm ơn Mặc dù cố gắng hoàn thành Luận Văn với tất nỗ lực thân, Luận Văn chắn khơng tránh khỏi thi? ??u sót định Kính mong cảm thơng tận tình bảo quý Thầy Cô Ngày 26 tháng năm 2007 Sinh viên : Mai... niệm định nghĩa tập hợp, ánh xạ, quan hệ tương đương quan hệ thứ tự Chương : Nửa nhóm nhóm : giới thi? ??u số khái niệm mở đầu liên quan đến tập hợp có trang bị phép tốn hai ngơi giúp làm quen với