PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỐ TRẠCH KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1 a ) A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷ 1.3 2.4 3.5 2015.2017 b) B = x − x + x= với 2015 C = x − y + 13 x y ( x − y ) + 15 ( y x − x y ) + ÷, 2016 2 c) Câu (4,0 điểm) biết x− y=0 x, y Tìm biết: 1 x − ÷ + y + 12 ≤ 6 x, y , z Tìm biết Câu (5,0 điểm) 3x − y z − x y − 3z = = x, y x − xy + y − = x + y + z = 18 Tìm số nguyên biết 10 f ( x ) = x − 101x9 + 101x8 − 101x + − 101x + 101 f ( 100 ) Cho đa thức Tính Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn x, y , z ba số độ dài ba cạnh tam giác Câu (5,0 điểm) µ +C µ = 600 , B O, ∆ABC AD AD Cho có phân giác Trên lấy điểm tia đối ·ABM = ·ABO AC M AB tia lấy điểm cho Trên tia đối tia lấy ·ACN = ·ACO điểm N cho Chứng minh AM = AN a) b) ∆MON tam giác A, D, E ABC M Cho tam giác vuông điểm nằm B C Gọi thứ tự AC , AB M M DE hình chiếu Tìm vị trí để có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) a b2 P= + x + y = 1, x > 0, y > x y a b Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( số dương cho) ĐÁP ÁN Câu 1 a) A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ .1 + ÷ 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2 2 3 3 4 4 2016 2016 = ÷. ÷. ÷ ÷ 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016 = ÷. ÷. ÷ ÷= 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2017 b) Vì x = x = ⇒ x=− 2 Với 1 1 x = ⇒ B = 2. ÷ − + = 2 2 Với Vậy 1 1 x = − ⇒ B = 2. − ÷ − 3. − ÷+ = 2 2 B=4 x= B=7 x=− 2015 c)C = x − y + 13x y ( x − y ) + 15 ( y x − x y ) + ÷ 2016 = ( x − y ) + 13x y ( x − y ) − 15 xy ( x − y ) + = 1( x − y = 0) 2 Câu 2 1.Vì 1 x − ÷ ≥ 0∀x; y + 12 ≥ 0∀y 6 Theo đề , đó: 1 x − ÷ + y + 12 ≥ ∀x, y 6 1 1 x − ÷ + y + 12 ≤ ⇒ x − ÷ + y + 12 = 6 6 2x − =0 y + 12 = ⇔ x = ; y = −4 12 Khi ta có: 3x − y z − x y − 3z = = 2.Ta có : ( 3x − y ) 3( z − x ) ( y − 3z ) 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = =0 16 29 Suy x y 3x − y = ⇒ x = y ⇒ = x y z ⇒ ⇒ = = 2z − 4x = ⇒ 2z = 4x ⇒ x = z Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x + y + z 18 = = = = = ⇒ x = 4; y = 6; z = 2+3+ Câu x − xy + y − = 1) Ta có : ⇔ x − xy + y − = ⇔ x − xy + y − = ⇔ x ( − y ) − ( − y ) = ⇔ ( x − 1) ( − y ) = Lập bảng: 2x −1 -1 -5 1− 2y -5 -1 x -2 y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có: f ( x ) = x10 − 101x + 101x8 − 101x + − 101x + 101 Thỏa mãn Thỏa mãn = x10 − 100 x9 − x9 + 100 x8 + x8 − 100 x − x + − 101x + 101 = x9 ( x − 100 ) − x8 ( x − 100 ) + x ( x − 100 ) − x ( x − 100 ) + + x ( x − 100 ) − ( x − 101) ⇒ f ( 100 ) = 3) Giả sử số nguyên dương tùy ý cho ≤ a1 ≤ a2 ≤ ≤ a8 ≤ 20 Nhận thấy với ba số dương a , b, c thỏa mãn a1 , a2 , a3 , , a8 a≥b≥c với b+c>a a , b, c độ a1 , a2 , a3 , , a8 dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số khơng chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 ≥ a7 + a8 ≥ + = a5 ≥ a6 + a7 ≥ + = a4 ≥ a5 + a6 ≥ + = a3 ≥ a4 + a5 ≥ + = a2 ≥ a3 + a4 ≥ + = 13 a1 ≥ a2 + a3 ≥ 13 + = 21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai.Do đó, số ngun cho ln chọn số x, y , z độ dài ba cạnh tam giác Câu a) Do ∆ABC AD Suy có µ +C µ = 600 B tia phân giác nên µA = 1200 nên µA = µ A2 = 600 , µ A3 = µ A4 = 1800 − µA = 600 ta lại có ∆ABM = ∆ABD ( g c.g ) ⇒ AM = AO (1) ⇒ µA = µ µ µ A2 = A3 = A4 ( = 60 ) ∆ACN = ∆ACO( g c.g ) ⇒ AN = AO(2) AM = AN Từ (1) (2) suy ∆AOM = ∆ON (c.g c ) ⇒ OM = ON (3) b) ∆AOM = ∆AMN (c.g c ) ⇒ OM = NM (4) Từ (3) (4) suy OM = ON = NM ⇒ ∆MON tam giác ∆ABC ) DE = AM ≥ AH (AH đường cao ⇔M DE Vậy nhỏ AM nhỏ trùng với H Câu Ta có: 2 a b a b a ( x + y ) b ( x + y ) a2 y b2 x 2 P= + = + = + =a + +b + x y x y x y x y a y b2 x 2 = + ÷+ a + b y x a2 y x b2 x y Các số dương có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ 2 a y b x a = ⇔ a y = b x ⇔ ay = bx ⇔ a ( − x ) = bx ⇔ x = x y a+b b y= a+b Suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = ( a + b) x= a b ;y = a+b a+b ... 2015.20 17 2 2 3 3 4 4 2016 2016 = ÷. ÷. ÷ ÷ 1 3 2 4 3 5 2015 20 17 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016 = ÷. ÷. ÷ ÷= 1 3 2 4 3 5 2015 20 17 20 17. .. ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 ≥ a7 + a8 ≥ + = a5 ≥ a6 + a7 ≥ + = a4 ≥ a5 + a6 ≥ + = a3 ≥ a4 + a5 ≥ + = a2 ≥ a3 + a4 ≥ + = 13 a1 ≥ a2 + a3 ≥ 13... y ) − 15 xy ( x − y ) + = 1( x − y = 0) 2 Câu 2 1.Vì 1 x − ÷ ≥ 0∀x; y + 12 ≥ 0∀y 6 Theo đề , đó: 1 x − ÷ + y + 12 ≥ ∀x, y 6 1 1 x − ÷ + y + 12 ≤ ⇒ x − ÷ + y + 12 = 6