Thông tin tài liệu
Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TRAINING OF THINKING ACTIVITIES FOR STUDENTS THROUGH TEACHING ABOUT FINDING THE INTEGER SOLUTIONS OF EQUATIONS AT HIGH SCHOOLS Nguyen Thi Kieu Nga Hanoi Pedagogical University 2, Vietnam Email address: nguyenthikieunga@hpu2.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/742 Article info Abstract: Received: 5/3/2022 Revised: 15/4/2022 Accepted: 1/6/2022 In teaching math, students' thinking operations training plays a significant role in developing students' thinking capacity This article presents the training process of specialization, analogization, and generalization for high school students in teaching equations with integer solutions Keywords: Specialization, familiarization, generalization, integer solutions of equations 14 Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Nguyễn Thị Kiều Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2, Việt Nam Email address: nguyenthikieunga@hpu2.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/742 Thông tin viết Ngày nhận bài: 12/03/2022 Ngày sửa bài: 15/04/2022 Ngày duyệt đăng: 01/06/2022 Từ khóa: Bài tốn chấp nhận tách đa tập, ánh xạ không giãn, điểm bất động, phép chiếu metric, phương pháp lặp Tóm tắt Bài tốn chấp nhận tách đa tập (MSSFP) đưa Censor Elfving để mơ hình hố tốn ngược khơi phục ảnh Cho đến nay, có nhiều cơng trình liên quan đến phương pháp lặp để giải toán MSSFP hầu hết cơng trình sử dụng gradient hàm xấp xỉ, đo khoảng cách từ điểm đến tập không gian ảnh để xây dựng phương pháp lặp đồng thời, lặp xoay vòng cải biên chúng Trong báo này, giới thiệu phương pháp tổng quát xây dựng thuật toán lặp giải tốn MSSFP Chúng tơi đưa sơ đồ thuật tốn lặp có tham số lặp chọn cách thích nghi đưa phiên nới lỏng lược đồ cách sử dụng phép chiếu lên nửa khơng gian thay chiếu lên tập lồi thơng thường Cuối ví dụ số minh họa cho kết MỞ ĐẦU: Mơn Tốn mơn học có vai trị quan trọng việc phát triển tư cho học sinh Vì thế, người giáo viên dạy học tốn, ngồi việc cung cấp kiến thức tốn học việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh cần thiết Theo G.Polya [4] tác giả [2], [6], [7] thao tác tư bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hố, trừu tượng hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá Các thao tác tư Nguyễn Bá Kim [2] số tác giả khác gọi hoạt động trí tuệ Trong q trình dạy học tốn, chúng tơi nhận thấy việc sử dụng thành thạo thao tác tư khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa vận dụng để dự đốn kết tốn, tìm phương hướng giải toán để mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức Từ tốn cho học sinh vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hố để đề xuất giải tốn mới, hình thành tri thức Các thao tác tư kích thích người học tìm tịi, khám phá, phát triển khả phán đốn, tưởng tượng…Trên sở học sinh hiểu vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, mở rộng vốn kiến thức tiền đề để hình thành tư sáng tạo cho người học Phương trình ngiệm ngun dạng tốn khó phổ thơng thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp Các toán phương trình nghiệm nguyên đa dạng số tốn có phương pháp giải tổng qt, cịn lại tốn lại có cách giải khác Do giải tốn phương trình nghiệm ngun, địi hỏi người học phải có kiến thức, kỹ tốt khả 15 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 vận dụng kiến thức linh hoạt Vì dạy học phương trình nghiệm nguyên, giáo viên rèn luyện thao tác tư cho học sinh để phát triển lực tư cho người học Trong báo này, đề cập đến vấn đề rèn luyện thao tác tư duy: đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá dạy học phương trình nghiệm nguyên trường phổ thơng Nội dung báo trình bày Mục Mục 2.1 chúng tơi trình bày rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá Mục 2.2 trình bày rèn luyện thao tác tư tương tự hố Mục 2.3 trình bày rèn luyện thao tác tư khái quát hoá NỘI DUNG Theo G Polya [4]: “Đặc biệt hoá việc chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho” Điều có nghĩa mệnh đề trường hợp tổng quát trường hợp cụ thể, mệnh đề sai trường hợp cụ thể mệnh đề tổng qt sai Đặc biệt hoá chuyển từ chung, tổng quát riêng Chẳng hạn tốn có chứa tham số, biến số, ta đặc biệt hố giá trị cụ thể phù hợp Hay chuyển việc nghiên cứu đa giác sang nghiên cứu đa giác đều… Khi giải phương trình nghiệm ngun, khơng phải tốn giải cách dễ dàng Khi giải tốn trường hợp đặc biệt Việc xét trường hợp đặc biệt tìm gợi ý tốt để tìm phương án giải toán tổng quát, xây dựng nhiều toán đặc biệt Nhiều việc giải toán trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải toán cho, việc giải phần tốn có giá trị Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương 1 1 k k k (1) với k k x y z t k Khi tốn trở thành: Tìm nghiệm dương 1 1 (2) x2 y2 z t 16 tổng quát, giả thiết A x y z t Đặt 1 1 x2 y z t Nếu x A 1 Suy y2 z2 t phương trình vơ nghiệm Do x Suy x y z t t 3 A Nếu 1 1 x2 y2 z Mặt khác 1 1 1 , , x2 y z ta Suy có 31 Do phương trình vơ nghiệm 36 Vì t Suy x y z t Vậy phương phương trình có trình nghiệm x, y, z, t 2, 2, 2, Từ cách giải toán trường hợp đặc biệt k 2, ta có cách giải đối toán ban đầu sau: * Nếu k vế trái Do phương trình vơ nghiệm * Nếu k vế trái 1 1 xk y k z k t k Suy phương trình vơ nghiệm * Xét trường hợp k Vì x, y, z, t nguyên dương nên khơng giảm tính tổng qt ta giả thiết x y z t Đặt A 1 1 k k k k x y z t 1 Suy yk zk t k phương trình vơ nghiệm Do x Suy Nếu x A x y z t Từ xk y k z k t k Suy A 1 1 k k k k Hay k k x x y z t x Điều tương đương với Giải: Ta xét toán trường hợp đặc biệt nguyên x, y, z, t nguyên dương nên không giảm tính A 2.1 Rèn luyện thao tác tư đặc biệt hố trình Vì Vì k nên * Nếu x k Do k k k k phương trình trở thành 1 1 Suy phương trình có x2 y z t nghiệm x, y, z, t 2, 2, 2, Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 k phương trình trở thành * Nếu A ta 1 1 Lập luận tương tự x y z t có Nếu x5 x 1 1 4 A Do phương trình vơ x y z t x nghiệm Suy x Hay + Nếu x 2,3, y z t B 1 1 y z t B 1 1 Suy phương trình vơ nghiệm z t Do y y2 Nếu Ví dụ 2: Cho k số tự nhiên khác Tìm nghiệm nguyên phương trình: Giải: Ta xét tốn với k Khi tốn trở thành: Tìm nghiệm nguyên phương trình x ( x 2)( x 3)( x 4) y (**) Phương y Suy y Do z t y y tương (**) ta nghiệm phương trình hốn vị (2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,3,12,12), (2,4,5,20), (2,4,6,12), (2,4,8,8), (2,5,5,10), (2,6,6,6) 1 1 * Nếu x A Suy y z t Do y z t Mặt khác x y z t nên 1 Suy y z t y y Hay y 3, Xét trường hợp y lập luận tương tự ta có nghiệm phương trình hoán vị (3,3,4,12), (3,3,3,6,6), (3,4,4,6) * Nếu x phương trình có nghiệm (4,4,4,4) Kết luận: - Nếu k phương trình vơ nghiệm - Nếu k phương trình có nghiệm 4, 4, 4, hoán vị của: (2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,3,12,12), (2,4,5,20), (2,4,6,12), (2,4,8,8), (2,5,5,10), (2,6,6,6), (3,3,4,12), (3,3,6,6), (3,4,4,6) đương với x 5x x 5x y 2 Đặt a x 5x Khi phương trình trở thành a a y Suy Do a y a y Vì Xét trường hợp y lập luận tương tự 1 y z t trình y Mặt khác B Vì Hay y 3, 4,5,6 B - Nếu k phương trình vơ nghiệm x k ( x k 1)( x k 2)( x k 3) y 2k * x A Suy - Nếu k phương trình có nghiệm (2,2,2,2) a2 1 y a y a y số nguyên nên điều xảy a y a y 1 Do a y a y a y a y 1 Suy y Thay vào phương trình ** , ta có x ( x 2)( x 3)( x 4) Do x 1, x 2, x 3, x 4 Vậy nghiệm phương trình 1,0 , 2, , 3, , 4, Từ cách giải toán trường hợp đặc biệt k để ý nhân tử vế trái phương trình có k k k k , ta có cách giải tốn Phương (*) sau: trình x 2k x k 3k Đặt * tương đương với x2 2k x k 3k yk a x 2k x k 3k , t y k Khi phương trình trở thành a a t Lập luận tương tự ta có nghiệm phương trình k ,0 , k 1,0 , k 2,0 , k 3, 2.2 Rèn luyện thao tác tư tương tự hoá Theo G Polya [4]: “Tương tự kiểu giống Những đối tượng giống phù hợp với mối quan hệ đó” Tác giả Chu Cẩm Thơ [5] cho rằng:“Tương tự thao tác tư dựa giống 17 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 tính chất quan hệ đối tượng toán học khác nhau” Chúng ta thường xét tương tự toán học khía cạnh sau: - Hai tốn tương tự đường lối, phương pháp giải giống - Hai hình tương tự có nhiều tính chất giống hay vai trị chúng giống vấn đề đó, hay phần tử tương ứng chúng có quan hệ giống - Nhiều trình mở rộng, tập hợp đối tượng có thuộc tính tương tự, từ ta suy đốn tính chất từ tập hợp sang tập hợp khác Khi dạy học toán, tương tự thao tác phổ biến mà giáo viên thường dùng để hướng dẫn học sinh giải dạng tốn có tương đồng cách giải Từ học sinh phát tương tự tốn, sở học sinh rút cách giải chung cho dạng tốn Vì thế, giải phương trình nghiệm ngun, giáo viên cần hướng dẫn học sinh xét yếu tố tương tự toán cần giải với tốn cho Nhờ đó, học sinh “quy lạ thành quen”, biến đổi toán phức tạp thành tốn đơn giản biết, từ góp phần phát triển tư cho học sinh trình học tập Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình x y 3z2 (*) Giải: Vế phải phương trình xn , yn , zn n Điều xảy với x, y, z 0,0, Ngược lại ta thấy 0, 0, nghiệm phương trình Do phương trình có nghiệm 0, 0, Từ Ví dụ 3, giáo viên yêu cầu học sinh giải toán sau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình x y 4z2 (**) Học sinh dễ dàng nhận thấy, vế trái phương trình (*) (**) giống nhau, vế phải phương trình (*) z mod Do học sinh giải tương tự Ví dụ sau: Với số nguyên x , ta có x mod x2 mod Do lập luận tương tự Ví dụ ta có 0,0,0 nghiệm phương trình Giáo viên u cầu học sinh giải toán tương tự mức khó Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun phương trình x y 2n 1 z2 , n Vì n * * nên 2n1 mod Do 2n1 z z mod Suy z mod z mod Mặt khác x2 y mod , 3z mod Với số nguyên x , ta có x2 y mod , x2 mod x y mod Do để phương trình có x2 mod Suy ra, với x, y x y mod3 , x2 y mod , x y mod Do để phương trình có nghiệm vế trái phương trình x2 y2 mod Điều xảy nghiệm vế trái phương trình x y mod Lập luận tương tự hai ví dụ ta có 0,0,0 nghiệm phương trình x2 mod y mod Suy 2.3 Rèn luyện thao tác tư khái quát hoá x x1 , y y1 Do phương trình trở thành Theo Hồng Chúng [1]: “Khái qt hố dùng trí óc tách chung đối tượng tượng, kiện Muốn khái quát hoá, thường phải so sánh nhiều đối tượng, tượng, kiện với nhau” x12 y12 z Suy z mod Vì z 3z1 Do ta có phương trình x12 y12 z12 Lập luận tương tự x1 x2 , y1 y2 , z1 3z2 x2 x y z , y2 , z2 32 3 ta có với x2 , y2 , z2 Tương tự ta có phương trình x y z xn2 yn2 zn2 xn n , yn n , zn n 3 18 Tác giả Đào Văn Trung [6] cho “Từ vật khác nhau, tìm tính chất chung chúng quy kết lại, phương pháp tư gọi khái quát hoá” Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 Chúng đồng ý với quan điểm Nguyễn Bá Kim [3] rằng: có hai dạng khái qt hố mơ tả chúng theo sơ đồ sau Khái quát hoá Khái quát hoá từ riêng lẻ đến tổng quát Khái quát hoá từ tổng quát đến tổng quát Khái quát hoá từ tổng quát biết Khái quát hoá từ tổng quát chưa biết Như vậy, khái quát hoá xem thao tác tư phức tạp, trình bao quát nhiều đối tượng khác thành loại, nhóm dựa sở số dấu hiệu thuộc tính giống sau gạt bỏ dấu hiệu khác riêng lẻ Khái quát hoá đặc biệt hoá hai thao tác tư trái ngược Nhờ đặc biệt hoá học sinh giải tốn dễ dàng Nhờ khái quát mà học sinh nhìn nhận vấn đề cách có hệ thống hơn, tồn diện Thao tác tư khái quát hoá tiền đề để học sinh phát triển lực tư sáng tạo Do vậy, dạy học toán, giáo viên nên thường xuyên luyện tập cho học sinh khả khái quát hoá toán từ toán cho Ta khái qt hố tốn theo nhiều cách Cách 1: Theo Định lý Fermat nhỏ “Nếu p số nguyên tố a số ngun khơng chia hết cho p a p 1 chia hết cho p ” Định lý phát biểu dạng tương đương “Nếu p số nguyên tố a số nguyên a p a chia hết cho p ” Do ta có tốn sau: Ví dụ 7: Cho p số nguyên tố Giải phương trình nghiệm nguyên x p y p z p x y z ( p 1) Giải: Phương trình tương đương với x y p z p x y z x p x y p y z p z p p Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên x y3 z x y z 2023 Giải: Phương trình tương Mặt khác x p x p, y p y p, z p z p với đương với x y z x y z 2023 3 p khơng chia hết cho p Do phương trình Hay x3 x y3 y z z 2023 Vì vơ nghiệm x3 x x x x tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Tương tự y3 y, z3 z chia hết cho Suy x3 x y y z z chia hết cho Nhưng 2023 không chia hết cho Vì phương trình vơ nghiệm x Suy x p y p z p x y z p Nhưng Cách 2: Thay ẩn x, y, z phương trình n ẩn thay p biểu thức khơng chia hết cho p Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! y Giải: 19 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 - Nếu x phương trình trở thành 1! y Suy y 1 Do phương trình có nghiệm 1, 1 , 1,1 x2 - Nếu phương trình trở thành Nếu y z y z 1; Nếu y z 3 y 3 z 1; Vì phương 3,3,1 , 3, 3,1 1! 2! y Suy y Hay y Do phương trình vơ nghiệm trình t 33 Hay t 33 Vì phương trình vơ nghiệm phương trình có nghiệm 3,3 , 3, 3 Do 1! 2! 3! 4! x4 phương trình trở thành 1! 2! 3! 4! y Suy y 33 Do y 33 2 Vì phương trình vơ nghiệm - Nếu x từ 5!, 6!,7!, , x! có tận Do 1! 2! 3! 4! x! có tận Mặt khác y khơng có tận Suy Mặt khác t khơng có tận Suy phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình (3,3,1) , (3,3,1), (1,1,z), (1,-1,z) Cách 2: Cho số mũ y số lẻ Ta có tốn sau: x! y z 1 , với z 1! 2! Từ Ví dụ khái qt hoá toán theo nhiều cách hợp x Cách Cho số mũ y số chẵn Ta có tốn sau: Giải: Đặt A 1! 2! x! y z , với z * hết cho Suy A 1! 2! chia hết cho Vì y Hay z Đặt y t Khi phương trình trở thành x! t (*) - Nếu x phương trình (*) trở thành 1! t Suy t 1 Suy y y 1 z y với z * y 1 với z chẵn + Nếu y z 1 y 1 z lẻ Trong trường hợp phương trình có nghiệm 1,1, z , (1, 1, z ) - Nếu x phương trình trở thành 1! 2! t Suy t Hay t Do phương trình vơ nghiệm - Nếu x ta có 1! 2! 3! t Suy t Hay t 3 Suy y z y z 3 20 x! Ta xét trường , x! chia x! y z 1 chia hết cho Do y 3t Do y z 1 3t z 1 33 x A 153 32.17 khơng chia hết 33 Suy phương trình vơ nghiệm hết cho 33 Suy phương trình vơ nghiệm + Với x A 5913 33.(3.73) chia hết z + Nếu y z + Với x A 873 32 97 khơng chia Lập luận tương tự Ví dụ ta có: + Với cho * Do 1! 2! 3! 4! 33, từ 5!,6!, Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! có tận Vậy phương trình có nghiệm (1,1), (1,-1) (3,3), (3,-3) Giải: Ta có y z y z , x! có tận - Nếu x từ 5!,6!,7!, Ví dụ 10: Tìm nghiệm ngun phương trình phương trình vơ nghiệm 1! 2! nghiệm - Nếu x ta có 1! 2! 3! 4! y Suy - Nếu x phương trình trở thành 1! 2! 3! y Suy y Do y 3 Vì - Nếu có cho 33 Nhưng 3.73 khơng có dạng t z ) Suy phương trình vơ nghiệm z 1 + x A 5913 40320 33.3.73 32.27.7.5 chia hết cho (do Với không 33 Suy phương trình vơ nghiệm + Với x 9! 10! x! chia hết cho Mà 1! 2! 8! không chia hết cho 33 Suy 1! 2! 9! 10! x! không chia hết cho Suy phương trình vơ nghiệm Do với x phương trình vơ nghiệm Vì ta xét trường hợp x - Nếu x y z 1 Suy z * y với Vậy nghiệm phương trình 1,1, z Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 - Nếu x y z 1 Suy y z Vơ lý z Do phương trình vơ nghiệm - Nếu x y z 1 32 Vì z Suy phương trình vơ nghiệm - Nếu x y z 1 33 Vì z Suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm 1,1, z Cách 3: Cho số mũ y số Ta có tốn sau Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! y z , với z * Để giải phương trình này, ta xét trường hợp z 2k , z 2k KẾT LUẬN Nội dung báo trình bày vấn đề rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá cho học sinh dạy học phương trình nghiệm nguyên Trong báo, qua việc phân tích số tốn giải phương trình nghiệm ngun, chúng tơi đưa gợi ý giúp giáo viên rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hố cho học sinh nhằm giúp học sinh có kỹ giải lớp toán, tự đề xuất tốn khó Từ góp phần phát triển lực tư cho người học, đồng thời nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông REFERENCES [1] Chung, H (1978), Methods of teaching Maths, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [2] V A Cruchetxki (1973), Psychology of Mathematical ability of students, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [3] Kim, N.B (2015), Methods of teaching Maths, University of Education Publishing House, Ha Noi [4] G Polya (2010), Mathematics and logical reasoning, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [5] Tho,C.C (2014), Developing thinking through teaching Mathematics in high school, University of Education Publishing House, Ha Noi [6] Trung,D.V (1996), How to learn Maths well in high school, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [7] Uan,N.Q (2010), Collection of psychological - educational studies, University of Education Publishing House, Ha Noi 21 ... Vì dạy học phương trình nghiệm ngun, giáo viên rèn luyện thao tác tư cho học sinh để phát triển lực tư cho người học Trong báo này, đề cập đến vấn đề rèn luyện thao tác tư duy: đặc biệt hoá, tư? ?ng... TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Nguyễn... quát hoá dạy học phương trình nghiệm ngun trường phổ thơng Nội dung báo trình bày Mục Mục 2.1 chúng tơi trình bày rèn luyện thao tác tư đặc biệt hố Mục 2.2 trình bày rèn luyện thao tác tư tương
Ngày đăng: 28/10/2022, 10:15
Xem thêm:
